课时作业20 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．复数(sin10°＋icos10°)3的三角形式为( B )
A．sin30°＋icos30°
B．cos240°＋isin240°
C．cos30°＋isin30°
D．sin240°＋icos240°
2．若z＝cos
θ－isin
θ，则使z2＝－1的θ值可能是( B )
A．0 B.
C．π D．2π
解析：∵z＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)，
∴z2＝z·z＝cos(－2θ)＋isin(－2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1，
∴∴θ＝.
3．4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝( D )
A．6＋6i
B．6－6i
C．－6＋6i
D．－6－6i
解析：4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝12[cos(60°＋150°)＋isin(60°＋150°)]＝12(cos210°＋isin210°)＝12＝－6－6i.故选D.
4．复数z1＝1，z2是由z1绕原点O逆时针方向旋转而得到，则arg()的值为( D )
A.
B.
C.
D.
5．(多选)设z1、z2是复数，argz1＝α，argz2＝β，则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的( ABC )
A．α＋β
B．α＋β－2π
C．2π－(α＋β)
D．π＋α＋β
解析：因为argz1＝α，argz2＝β，所以α∈[0,2π)，β∈[0,2π)，而arg(z1·z2)∈[0,2π)，则当α＋β∈[0,2π)时，arg(z1·z2)＝α＋β；当α＋β∈[2π，4π)时，α＋β－2π∈[0,2π)，则arg(z1·z2)＝α＋β－2π；当α＋β＝π时，2π－(α＋β)＝π＝α＋β，此时arg(z1·z2)＝α＋β＝2π－(α＋β)，故选ABC.
6．复数z＝sin－icos，若zn＝(n∈N)，则n的最小值是( C )
A．1
B．3
C．5
D．7
解析：因为z＝sin－icos＝cos＋isin，所以zn＝cosπ＋isinπ，＝cos－isin＝cos＋isin.因为zn＝，所以π＝＋2kπ，n＝，因为n∈N，k∈Z，所以当k＝4时，n＝5.
二、填空题
7．已知z＝2(cos80°＋isin80°)，则z3＝8(cos240°＋isin240°)，z3的代数形式为－4－4i.
解析：z3＝3
＝8；
其代数形式为8＝－4－4i.
8.÷3(cos120°－isin300°)＝－i.
解析：÷3(cos120°－isin300°)＝(cos60°＋isin60°)÷3(cos120°＋isin120°)＝[cos(60°－120°)＋isin(60°－120°)]＝[cos(－60°)＋isin(－60°)]＝(－i)＝－i.
9．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是－－i，－i.
解析：∵－i＝cos＋isin，其立方根是cos＋isin，k∈0,1,2，即i，－－i，－i.
三、解答题
10．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1·z的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式．
解：因为z1＝2(cos＋isin)，设z2＝2(cosα＋isinα)，α∈(0，π)，所以z1z＝8[cos(2α＋)＋isin(2α＋)]．由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2(cos＋isin)＝－1＋i.
11．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．
解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，
即|z1－z2|＝，
所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，
又argz2＝，
所以z2＝(cos＋isin)，z1＝z2＝(1＋i)z2
＝(cos＋isin)·(cos＋isin)
＝2(cos＋isin)，
所以z1的立方根为[cos＋isin]，k＝0,1,2，
即(cos＋isin)，(cos＋isin)，
(cos＋isin)．
——能力提升类——
12．设复数z1＝2sinθ＋icosθ(<θ<)在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数z2＝r(cosφ＋isinφ)，则tanφ＝( A )
A.
B.
C.
D.
13.＝( B )
A.
B.i
C．－
D．－i
解析：
＝
＝＝i.
14．(1－i)7＝64－64i.
解析：(1－i)7＝7
＝27
＝128＝64－64i.
15．已知复数z1＝－2＋i对应的点为P1，z2＝－3＋4i对应的点为P2，把向量绕P1点按顺时针方向旋转后，得到向量，求向量和点P对应的复数分别是什么？
解：由题意知向量对应的复数是z2－z1＝(－3＋4i)－(－2＋i)＝－1＋3i.再由复数乘法的几何意义得，向量对应的复数是(－1＋3i)·＝3＋i，最后由复数加法的几何意义得，向量＝＋，其对应的复数是(－2＋i)＋(3＋i)＝1＋2i，故点P对应的复数为1＋2i.(共30张PPT)
第七章
复数
7.3
复数的三角表示
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
