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第七章
复数
7.3
复数的三角表示
7．3.1 复数的三角表示式课时作业19 复数的三角表示式
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．若复数z＝(a＋i)2的辐角主值是，则实数a的值是( B )
A．1
B．－1
C．－
D．－
解析：∵z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝，
∴∴a＝－1，故选B.
2．(多选)复数z＝3＋i化为三角形式正确的是( AD )
A．z＝2(cos＋isin)
B．z＝2(cos－isin)
C．z＝2(cosπ＋isin)
D．z＝2(cosπ＋isin)
解析：z＝3＋i＝2(＋i)
＝2(cos＋isin)
＝2(cos＋isin)，故选AD.
3．设π<θ<，则复数的辐角主值为( B )
A．2π－3θ
B．3θ－2π
C．3θ
D．3θ－π
解析：＝cos3θ＋isin3θ.∵π<θ<，
∴3π<3θ<，∴π<3θ－2π<，故选B.
4．将复数4化成代数形式，正确的是( D )
A．4
B．－4
C．4i
D．－4i
解析：4＝4[0＋i(－1)]＝－4i，故选D.
5．设复数2－i和3－i的辐角主值分别为α，β，则α＋β等于( C )
A．135°
B．315°
C．675°
D．585°
6．复数z满足＝1，复数z的辐角为30°，复数z的模为( A )
A．1
B．－1
C．－
D．－
解析：设z＝r(cos30°＋isin30°)，代入r·(cos30°＋isin30°)－＝1，得r＝1.
二、填空题
7．复数z＝2的三角形式是2，复数z在复平面上对应的点位于第四象限．
解析：z＝2
＝2
＝2；
故z在复平面内所对应的点位于第四象限．
8．复数的代数形式是－i.
解析：＝cos－isin＝－i.
9．已知复数z满足z－2iz＝3－2ai(a∈R)，且
三、解答题
10．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)－2；
(2)sin＋icos.
解：(1)不是．
－2＝2
＝2＝2.
(2)不是．
sin＋icos＝cos＋isin
＝cos＋isin.
11．已知复数z满足等式＝，且argz＝，求z.
解：设z＝r(cos＋isin)
＝r＋ri(r>0)，
∴＝＝＝，
即3r2－4r＋4＝0.
解得r＝，∴z＝1＋i.
——能力提升类——
12．把下列复数转化为三角形式．
(1)－1；(2)2i.
解：(1)r＝＝1，
辐角主值为θ＝arg(－1)＝π，
所以－1＝cosπ＋isinπ.
(2)r＝＝2，辐角主值为θ＝arg(2i)＝，
所以2i＝2(cos＋isin)．
13．已知复数z的模为2，实部为，求复数z的代数形式和三角形式．
解：方法一：由题，可设z＝＋bi(b∈R)．
∵|z|＝2，
∴＝2，解得b＝±1，
∴z＝＋i或z＝－i.
化为三角形式，得z＝2
或z＝2.
方法二：由题，可设z＝2(cosθ＋isinθ)(0≤θ≤2π)．
∵复数z的实部为，
∴2cosθ＝，即cosθ＝，
∴θ＝或，
∴z＝2或z＝2.
化为代数形式，得z＝＋i或z＝－i.
14．已知复数z1＝cosθ－isinθ，z2＝sinθ－icosθ，当θ∈[0,2π)，求arg(z1－z2)的值．
解：z1－z2＝(cosθ－sinθ)＋(cosθ－sinθ)i
＝2cos(θ＋)＋2icos(θ＋)
＝2cos(θ＋)(cos＋isin)．
(1)cos(θ＋)>0，
即θ∈[0，)∪(，2π)，arg(z1－z2)＝.
(2)cos(θ＋)＝0，
即θ＝，，arg(z1－z2)∈[0,2π)．
(3)cos(θ＋)<0，即θ∈(，)，arg(z1－z2)＝.
15．若z∈C，|z－2|≤1，求|z|的最大值，最小值和argz范围．
解：如图，由|z－2|≤1，知z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心，1为半径的圆面(包括圆周)，|z|表示圆面上任一点到原点的距离．
显然1≤|z|≤3，∴|z|max＝3，|z|min＝1，
另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|＝1，|OC|＝2知∠AOC＝∠BOC＝，∴argz∈[0，]∪[π，2π)．