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第七章
复数
7.2 复数的四则运算
7.2.2 复数的乘、除运算课时作业18 复数的乘、除运算
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．若z(1＋i)＝2i，则z＝( D )
A．－1－i
B．－1＋i
C．1－i
D．1＋i
解析：z＝＝＝1＋i.故选D.
2．复数(i为虚数单位)的共轭复数是( B )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：化简可得z＝＝＝1＋i.∴z的共轭复数为1－i.
3．设z＝＋2i，则|z|＝( C )
A．0
B.
C．1
D.
解析：z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，则|z|＝1,
故选C.
4．设复数z满足(1＋i)z＝2i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面中对应的点在( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为(1＋i)z＝2i?z＝＝1＋i，所以＝1－i，所以共轭复数在复平面中对应的点在第四象限．
5．(多选)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋i，z·＝4，则a的值可以是( AB )
A．－1
B．1
C．－
D.
解析：因为z＝a＋i，所以＝a－i，则z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，解得a＝1或－1.
6．若z＝(i＋1)(i－2)，则复数z的虚部是( B )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
解析：由复数的乘法法则可得z＝(i＋1)(i－2)＝i2－i－2＝－3－i，因此，复数z的虚部为－1，故选B.
二、填空题
7．已知复数z满足z(1＋2i)＝2－i，i为虚数单位，则复数z的模1.
解析：∵z(1＋2i)＝2－i，∴z＝＝＝＝－i，因此，|z|＝1.
8．若复数是纯虚数，则实数a＝2.
解析：因为＝＝，所以3a－6＝0?a＝2.
9．以下四个命题：
①满足＝的复数只有±1，±i；
②若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；
③|z＋|＝2|z|；
④复数z∈R的充要条件是z＝，其中正确的有④.
解析：①令z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，若＝，则有a－bi＝，即a2＋b2＝1＝|z|2，错误；②(a－b)＋(a＋b)i＝2ai，若a＝b＝0，(a－b)＋(a＋b)i＝0，不是纯虚数，错误；③若z＝i，|i－i|≠2|i|，错误；④z＝，则其虚部为0，正确，综上所述，正确的命题为④.
三、解答题
10．设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.
(1)若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；
(2)若是纯虚数，求|z1|.
解：(1)∵z1＋z2＝5＋(a－4)i是实数，
∴a＝4，z1＝2＋4i，
∴z1z2＝(2＋4i)(3－4i)＝22＋4i；
(2)∵＝＝是纯虚数，
∴a＝，z1＝2＋i，故|z1|＝＝.
11．i是虚数单位，且a＋bi＝(a，b∈R)．
(1)求a，b的值；
(2)设复数z＝－1＋yi(y∈R)，且满足复数(a＋bi)z在复平面上对应的点在直线y＝x上，求z.
解：(1)∵a＋bi＝＝＝3－i，
∴a＝3，b＝－1.
(2)∵z＝－1＋yi，
∴(a＋bi)z＝(3－i)(－1＋yi)＝(－3＋y)＋(3y＋1)i，
由题意，－3＋y＝3y＋1，即y＝－2，∴z＝－1－2i.
——能力提升类——
12．(1＋i)(2－i)＝( D )
A．－3－i
B．－3＋i
C．3－i
D．3＋i
解析：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，故选D.
13．设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( A )
A．p1，p4
B．p1，p3
C．p2，p3
D．p2，p4
解析：p1，设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且x、y不同时为零，
则＝＝＝＝－i，若∈R，则y＝0，
所以z＝x∈R，该命题正确；
对于命题p2，若z＝yi(y∈R)，则z2＝y2i2＝－y2∈R，但z?R，该命题错误；
对于命题p3，取z1＝1＋i，z2＝2－2i，则z1z2＝(1＋i)(2－2i)＝2－2i2＝4，但z1≠2，该命题错误；
对于命题p4，当z∈R时，可设z＝x(x∈R)，则＝x∈R，该命题正确．故选A.
14．若＝ad－bc，则满足等式＝0的复数z＝－1.
解析：因为＝0，
所以z(1＋i)＋i(1－i)＝0，即z＝－＝－1.
15．已知复数z＝a＋i(a>0，a∈R)，i为虚数单位，且复数z＋为实数．
(1)求复数z；
(2)在复平面内，若复数(m＋z)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解：(1)因为z＝a＋i(a>0)，
所以z＋＝a＋i＋＝a＋i＋＝a＋i＋＝＋i，
由于复数z＋为实数，所以1－＝0，
因为a>0，解得a＝1，因此，z＝1＋i.
(2)由题意(m＋z)2＝(m＋1＋i)2＝(m＋1)2－1＋2(m＋1)i＝(m2＋2m)＋2(m＋1)i，
由于复数(m＋z)2对应的点在第一象限，则
解得m>0.
因此，实数m的取值范围是(0，＋∞)．
