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第七章
复数
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义课时作业17 复数的加、减运算及其几何意义
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( B )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵z＝z2－z1＝(1＋5i)－(3＋i)＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i，∴z在复平面内对应的点为(－2,4)，位于第二象限．
3．(多选)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么( BD )
A．z的虚部为i
B．z的虚部为1
C．z＝－－i
D．z＝＋i
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，
∴解得∴z＝＋i.∴z的虚部为1.
4．设z1＝3－4i，z2＝2＋3i，则z1－2z2在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵z1－2z2＝－1－10i，在复平面内对应的点(－1，－10)位于第三象限，故选C.
5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是( B )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．
6．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的( D )
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
解析：由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等，所以z对应的点为△ABC的外心．
二、填空题
7．z为纯虚数且|z－1－i|＝1，则z＝i.
解析：设z＝bi(b∈R且b≠0)，|z－1－i|＝|－1＋(b－1)i|＝＝1，解得b＝1，∴z＝i.
8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
解析：z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
所以解得
所以z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
9．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为2＋1.
解析：|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)，故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为2＋1.
三、解答题
10．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i，(a，b∈R)，且z1－z2＝4，求复数z＝a＋bi.
解：z1－z2＝[a＋(a＋1)i]－[－3b＋(b＋2)i]＝(a＋3b)＋(a－b－1)i，
∴解得∴z＝2＋i.
11．已知四边形OACB是复平面内的平行四边形，O为原点，点A，B分别表示复数3＋i,2＋4i，M是OC，AB的交点，如图所示，求点C，M表示的复数．
解：因为，分别表示复数3＋i,2＋4i，
所以＝＋O表示的复数为(3＋i)＋(2＋4i)＝5＋5i，
即点C表示的复数为5＋5i.
又＝，所以表示的复数为＋i，
即点M表示的复数为＋i.
——能力提升类——
12．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z( B )
A．在实轴上
B．在虚轴上
C．在第一象限
D．在第二象限
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－1|＝|z＋1|，得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，化简得x＝0.
13．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( A )
A．1
B．2
C．－2
D．－1
解析：z1－z2＝(y＋xi)－(－x＋yi)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，
∴∴x＝y＝1，∴xy＝1.
14．已知复数z与2＋4i的和为2－16i，则z＝－20i.
解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
则a＋bi＋2＋4i＝2－16i，
所以a＋2＝2，b＋4＝－16，
所以a＝0，b＝－20，即z＝－20i.
15．已知复数z1＝x2＋y2i，z2＝x2－y2i(x，y∈R)，z3＝2z1－z2，其中x2＋y2＝1，求|z3|的最小值．
解：因为z1＝x2＋y2i，z2＝x2－y2i，
所以z3＝2z1－z2＝2(x2＋y2i)－(x2－y2i)＝x2＋3y2i.
因为x2＋y2＝1，
所以z3＝1－y2＋3y2i，
所以|z3|＝
＝
＝，所以当y＝±时，|z3|min＝.
