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第七章
复数
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念课时作业15 数系的扩充和复数的概念
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．复数z＝2－3i的虚部为( D )
A．3i
B．－3i
C．3
D．－3
解析：∵z＝2－3i，∴z的虚部为：－3.
2．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( B )
A．1
B．2
C．－1或－2
D．1或2
解析：由得a＝2.
3．以复数3i－的虚部为实部，以复数3i2＋i的实部为虚部的复数是( A )
A．3－3i
B．－3＋3i
C．－＋i
D.＋i
解析：3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i，其实部为－3，故选A.
4．(多选)下列命题，其中不正确的是( ABC )
A．若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数
B．若z＋z＝0，则z1＝z2＝0
C．若a∈R，则ai为纯虚数
D．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0
解析：在A中a＝0，b≠0时满足，故A错误；在B中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故B错误；在C中忽视0·i＝0，故C错误；在D中复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故D正确．
5．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)为纯虚数??a＝±2，所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．
6．若z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( A )
A．－1
B．0
C．1
D．－1或1
解析：∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.
二、填空题
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝，y＝1.
解析：由复数相等可知所以
8．若x是实数，y是纯虚数，且(2x－1)＋2i＝y，则x，y的值为x＝，y＝2i.
解析：由(2x－1)＋2i＝y，得∴x＝，y＝2i.
9．给出下列说法：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；
②满足x2＝－1的数x只有i；
③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数；
④复数m＋ni的实部一定是m.
其中正确说法的个数为1.
解析：③中，b＝0时，bi＝0不是纯虚数，故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m，n不一定为实数，故①②④错误．
三、解答题
10．m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
解：复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
(1)复数为实数可得m2－3m＋2＝0，解得m＝1或2.
(2)复数为虚数可得m2－3m＋2≠0，解得m≠1且m≠2.
(3)复数为纯虚数可得：2m2－3m－2＝0且m2－3m＋2≠0，解得m＝－.
11．已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，Q＝{4i,5}，若P∩Q＝P∪Q，求实数m的值．
解：由题知P＝Q，所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
所以解得m＝2.
——能力提升类——
12．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( B )
A．－1或3
B．{a|a>3或a<－1}
C．{a|a>－3或a<1}
D．{a|a>3或a＝－1}
解析：由已知可以得到a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．
13．设a，b∈R，若(a＋b)＋i＝－10＋abi(i为虚数单位)，则(－)2等于( A )
A．－12
B．－8
C．8
D．10
解析：由可得(－)2＝a＋b－2＝－12.
14．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是－2.
解析：∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，
∴∴
∴∴x＝－2.
15．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根x0，求x0以及实数k的值．
解：x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件，
得
解得或
∴方程的实根为x0＝或x0＝－，相应的k值为k＝－2或k＝2.
