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第八章
立体几何初步
8．2 立体图形的直观图
温
示
提
馨
请
做：课时作业
23
PPT文稿
（点击进入）课时作业23 立体图形的直观图
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．(多选)关于斜二测画法所得直观图的说法不正确的是( ABC )
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
解析：由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．
2．由斜二测画法得到：
①相等的线段和角在直观图中仍然相等；
②正方形在直观图中是矩形；
③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；
④菱形的直观图仍然是菱形．
上述结论正确的个数是( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A.
3.如图所示的是水平放置的三角形ABC在平面直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有( C )
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把三角形ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD.故选C.
4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( A )
解析：由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．
5.正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是( B )
A．6
cm
B．8
cm
C．(2＋3)cm
D．(2＋2)cm
解析：如图，OA＝1
cm，
在Rt△OAB中，OB＝2
cm，
∴AB＝＝3
cm.
∴四边形OABC的周长为8
cm.
6．如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( C )
解析：根据斜二测画法知在A，B，D中，正三角形的顶点A，B都在x轴上，点C由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于C，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等．
二、填空题
7．在如图直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2
cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为矩形(填形状)，面积为8
cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2
cm，OC＝4
cm，所以矩形OABC的面积S＝2×4＝8
cm2.
8．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，AB＝，AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为3.
解析：直观图四边形的边BC在x′轴上，在原坐标系下x轴上，长度不变，点A在y′轴上，在原坐标系下y轴上，且BE长度为AB长的2倍，过E作EF∥x轴，且使EF长度等于AD，则点F为点D在原图形中对应的点，∴四边形EBCF为四边形ABCD的原图形，如图．在直角梯形ABCD中，由AB＝，AD＝1，∠ABC＝45°，得BC＝2.∴四边形EBCF的面积S＝(EF＋BC)·BE＝(1＋2)×2＝3.
9．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为.
解析：按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin45°＝.
三、解答题
10．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原平面图形的面积．
解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
又∵DC⊥BC且AD∥BC，
∴四边形ADCE是矩形，
∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，
AB＝AD＝1知BE＝，
∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋，高为2，
∴原平面图形的面积为×(1＋1＋)×2＝2＋.
11.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．
解：画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；
(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.
——能力提升类——
12.如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为( A )
A．6
B．3
C．3
D．3
解析：如图，过C′作C′D′∥O′y′交x′轴于D′，则2C′D′是△ABC的边AB上的高．
由于△B′C′D′是等腰直角三角形，
则C′D′＝B′C′＝3.
所以△ABC的边AB上的高等于
2×3＝6.
13．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，如图若O′B′＝1，那么原△ABO的面积与直观图的面积之比为2?1.
解析：由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB＝90°，OB＝1，
OA＝2O′A′＝2，
所以S△AOB＝×1×2＝.
S△A′B′O′＝×1×1＝，
所以原三角形面积与直观图面积之比为2?1.
14．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为(4,2)，点M′的找法是在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′.
解析：在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.
15.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
解：四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
所以在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，
因为DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝，
所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
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