第八章 立体几何初步
课时作业21 棱柱、棱锥、棱台
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．四棱柱的体对角线的条数为( C )
A．6
B．7
C．4
D．3
解析：共有4条体对角线，一个底面上的每个点与另一个底面上的不相邻的点连成一条体对角线．
2．(多选)下列关于棱柱的说法中，正确的是( ABD )
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
解析：显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确．
3．一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是( D )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
解析：正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l，由正六棱锥的高h、底面的半径r、侧棱长l构成直角三角形得，h2＋r2＝l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等，故选D.
4．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( C )
A．四边形
B．三角形
C．三角形或四边形
D．不可能为四边形
解析：按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
5．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( D )
A．是棱柱
B．是棱锥
C．是棱台
D．一定不是棱柱、棱锥
解析：由棱柱、棱锥的定义，可知A、B不正确；由棱台的定义可知所述几何体不一定是棱台；故D正确．
6．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( A )
解析：两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．
二、填空题
7．面数最少的棱柱为三棱柱，共有5个面围成．
解析：棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成．
8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成3个三棱锥．
解析：如图所示，在三棱台ABC?A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A?A1BC，B1?A1BC1，C?A1BC1.
9.
如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为.
解析：将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝.
三、解答题
10．试从正方体ABCD?A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥．
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥．
(3)三棱柱．
解：(1)如图所示，三棱锥A1?AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图所示，三棱锥B1?ACD1(答案不唯一)．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1?ABD(答案不唯一)．
11．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
解：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．
(3)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝a2.
——能力提升类——
12.如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，点E为AB上的动点，则D1E＋CE的最小值为( B )
A．2
B.
C.＋1
D．2＋
解析：
如图，将正方形ABCD沿AB向下旋转到对角面ABC1D1内，记为正方形ABC2D2.在矩形C1D1D2C2中连接D1C2，与AB的交点为E，此时D1E＋CE取得最小值，最小值为D1C2.因为BC1＝＝2，所以C1C2＝3，故D1C2＝＝＝.
13．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①③④⑤(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：
在如图正方体ABCD?A1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面，
即正方形或矩形，∴①正确，②错误．
棱锥A?BDA1符合③，∴③正确；
棱锥A1?BDC1符合④，∴④正确；
棱锥A?A1B1C1符合⑤，∴⑤正确．
14．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝1，DD1的中点为Q，过A，Q，B1三点的截面面积为.
解析：截面是如图所示的等腰梯形QEB1A，经过C1D1的中点E.
因为EQ＝，AB1＝，AQ＝B1E＝，所以该梯形的高为h＝＝＝，所以截面面积为S＝×(＋)×＝.
15．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．
解：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．
如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的三棱柱的上底．课时作业22 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( D )
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．两个圆锥
2.如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( B )
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
3．下列判断正确的是( C )
A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形
B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
解析：根据圆锥与圆台的定义和图形进行判断即可．
4.
(多选)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是( ABC )
A．圆柱
B．圆台
C．球体
D．棱台
解析：圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是圆面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形．只有棱台可以截出三角形．
5．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( D )
A．4
B．3
C．2
D．2
解析：圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2，即两底面之间的距离为2.
6．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( B )
A．4
B．3
C．2
D．0.5
解析：如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，
∴两个截面圆的半径分别为
r1＝，r2＝2.
∵球心到两个截面的距离
d1＝，d2＝，
∴d1－d2＝－＝1，
∴R2＝9，∴R＝3.
二、填空题
7．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，求此圆柱的底面半径为.(用Q表示)
解析：设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.∴4r2＝Q，解得r＝，∴此圆柱的底面半径为.
8．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是④.
①该几何体是由两个同底面的四棱锥组成的几何体；
②该几何体有12条棱、6个顶点；
③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；
④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．
解析：平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此该几何体是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面，而不是一个面，故填④.
9．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，则△ABC绕边AB所在的直线旋转一周所得几何体是圆锥，母线长l＝5.
解析：所得几何体是圆锥，母线长l＝AC＝＝＝5.
三、解答题
10．请描述如下图所示的组合体的结构特征．
解：题图a是由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的组合体；题图b是由一个三棱柱和一个四棱锥组合成的组合体．
11．圆台的上底面周长是下底面周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径．
解：设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.由题意，得2πr＝·2πR，即R＝3r.①
(2r＋2R)·h＝392，
即(R＋r)h＝392.②
又母线与底面的夹角为45°，
则h＝R－r＝l.③
联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，l＝14.
——能力提升类——
12.如图，三棱锥S?ABC中，SA＝SB＝SC＝2，△ABC为正三角形，∠BSC＝40°，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为( C )
A．2
B．3
C．2
D．3
解析：沿侧棱SB剪开，将侧面展开如图，则所求的最短路线长即为BB′，设BB′的中点为D，连接SD，BB′＝2BD＝2SBsin60°＝2.故选C.
13．如图，从半径为6
cm的圆形纸片上剪去一个圆心角为120°的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( A )
A．2
cm
B．3
cm
C．8
cm
D．5
cm
解析：设圆锥底面圆的半径为r
cm，根据题意得2πr＝，解得r＝4，所以这个圆锥的高h＝＝2(cm)．故选A.
14.
一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是( C )
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.
15．一个圆锥的底面半径为2
cm，高为6
cm，在圆锥内部有一个高为x
cm的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S;
(2)当x为何值时，S最大？
解：(1)如图，设圆柱的底面半径为r
cm，则由＝，得r＝，
∴S＝－x2＋4x(0(2)由S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6.
∴当x＝3时，Smax＝6
cm2.(共58张PPT)
第八章
立体几何初步
8.1 基本立体图形
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体(共46张PPT)
第八章
立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台
温
示
提
馨
请
做：课时作业
21
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