(共47张PPT)
第八章
立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课时作业25 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．圆锥的轴截面是正三角形，那么，它的侧面积是底面积的( D )
A．4倍 B．3倍
C.倍 D．2倍
解析：设底面半径为R，由条件知母线长为2R，
S侧＝πR·2R＝2πR2＝2S底．
2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( A )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：设圆台的高为h，由题意得V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.
3．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( B )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
解析：根据题意球的直径等于长方体的体对角线长度，半径R满足(2R)2＝6a2，所以S球＝4πR2＝6πa2，故选B.
4．(多选)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，若以其中一边所在直线为轴，旋转一周形成一个圆柱体，则该圆柱的体积可能为( AD )
A．48π
B．12π
C．9π
D．36π
解析：由题可知，圆柱的底面半径为4，高为3，或底面半径为3，高为4.
5．设一正方体的表面积为24
cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( D )
A.π
cm3
B.
cm3
C.
cm3
D.
cm3
解析：球的直径等于正方体的棱长．
6．一个球与一个上、下底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是( D )
A．96
B．16
C．24
D．48
解析：由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝×πr3＝，得r＝2，S底＝×a×＝a·r×3，得a＝2r＝4，所以V正三棱柱＝S底·2r＝48.
二、填空题
7．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6
cm，深为1
cm的空穴，则该球半径是5
cm，表面积是100π
cm2.
解析：如图，设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD＝R－1，则(R－1)2＋32＝R2，解得R＝5
cm，所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．
8．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了不会(填“会”或“不会”)溢出杯子．
解析：因为V半球＝×πR3＝×π×43≈134(cm3)，V圆锥＝Sh＝πr2h＝π×42×12≈201(cm3)，所以冰淇淋融化了不会溢出杯子．
9．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为2?1.
解析：S圆柱＝2·π2＋2π··a＝πa2，
S圆锥＝π2＋π··a＝πa2，
∴S圆柱?S圆锥＝2?1.
三、解答题
10．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5
cm，两个直径为5
cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？
解：设取出小球后，容器中水面下降h
cm，两个小球的体积为V球＝2＝(cm3)．
此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，
所以＝π×52×h，所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降
cm.
11．如图所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．
解：由题图可知，所成几何体为一圆台顶部挖去半径与上底面半径相等的半球所剩几何体．
S球＝×4π×22＝8π(cm2)，
S圆台侧＝π(2＋5)＝35π(cm2)．
S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，
即该几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又V圆台＝×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V半球＝××23＝(cm3)．
所以该几何体的体积为
V圆台－V半球＝52π－＝(cm3)．
——能力提升类——
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( B )
A．14斛
B．22斛
C．36斛
D．66斛
解析：由l＝×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝≈(尺)，所以米堆的体积V＝×πr2h＝××5＝(立方尺)，所以堆放的米有÷1.62≈22(斛)，故选B.
13．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：S表＝4πR2＝6π，所以R＝.设正四棱柱底面边长为x，则2＋1＝R2，所以x＝1.所以V正四棱柱＝2.故选B.
14．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为.
解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为π×52×4＋π×22×8＝.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则π×r2×4＋π×r2×8＝r2＝，解得r＝.
15．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
解：∵AB?BC?AC＝18?24?30＝3?4?5，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，∴斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，设O′C＝r，OC＝R，则球半径为R，截面圆半径为r，在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝＝，∴∠O′CO＝30°，
∴＝cos30°＝，即R＝r，(
)
又2r＝AC＝30，∴r＝15，代入(
)得R＝10.
∴球的表面积为
S＝4πR2＝4π(10)2＝1
200π.
球的体积为V＝πR3＝π(10)3＝4
000π.
