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第八章
立体几何初步
8．3 简单几何体的表面积与体积
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
温
示
提
馨
请
做：课时作业
24
PPT文稿
（点击进入）课时作业24 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( A )
A．6
B．3
C．11
D．12
解析：设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.
2．已知棱台的两个底面面积分别是245
cm2和80
cm2，截得此棱台的棱锥的高为35
cm，则这个棱台的高为( B )
A．20
cm
B．15
cm
C．10
cm
D．25
cm
解析：设棱台高为h，则截去的小棱锥的高为35－h，由截面性质知＝()2，解得h＝15，即棱台的高为15
cm.
3．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9
cm3，则其表面积为( A )
A．18
cm2
B．18
cm2
C．12
cm2
D．12
cm2
解析：设正四面体的棱长为a
cm，则底面积为a2
cm2，易求得高为a
cm，则体积为×a2×a＝a3＝9，解得a＝3，所以其表面积为4×a2＝18(cm2)．
4．一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体积是8，它的表面积是32，且满足b2＝ac，那么这个长方体棱长的和是( B )
A．28
B．32
C．36
D．40
解析：由已知得
将③代入①得b3＝8，b＝2，
∴ac＝4，代入②得a＋c＝6.
∴长方体棱长的和为4(a＋b＋c)＝4×8＝32.
5．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则三棱锥的侧面积等于( A )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
解析：如图，VO＝a，OA＝·＝a，
∴VA＝a，
∴S侧＝·3a·a＝a2，故选A.
6．长方体的高等于h，底面积等于a，过相对侧棱的截面面积等于b，则此长方体的侧面积等于( C )
A．2
B．2
C．2
D.
解析：如图，由条件知AB·BC＝a，且AC·h＝b，
∴AC＝，
即AB2＋BC2＝＝(AB＋BC)2－2a，
∴AB＋BC＝.
∴S侧＝2(AB＋BC)·h＝2，故选C.
二、填空题
7．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为.
解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝.
8．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12.
解析：设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得×6××2××h＝2，∴h＝1，
∴斜高h′＝＝2，∴S侧＝6××2×2＝12.
9．如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1?BB1D1D的体积为.
解析：∵正方体棱长为1，
∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1，.
∵四棱锥A1?BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为，∴V四棱锥A1?BB1D1D＝×1××＝.
三、解答题
10．如图，在三棱柱A1B1C1?ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F?ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1?ABC的体积为V2，求V1?V2.
解：设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F?ADE的高等于h，于是三棱锥F?ADE的体积V1＝×S×h＝Sh＝V2，故V1?V2＝1?24.
11．若E，F是三棱柱ABC?A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A?BEFC的体积．
解：如图所示，连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥A?BEFC的高与四棱锥A?B1EFC1的高相等，
∴VA?BEFC＝VA?B1EFC1＝VA?BB1C1C.
又VA?A1B1C1＝S△A1B1C1·h，
VABC?A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，
∴VA?A1B1C1＝，
∴VA?BB1C1C＝VABC?A1B1C1－VA?A1B1C1＝m，
∴VA?BEFC＝×m＝，
即四棱锥A?BEFC的体积是.
——能力提升类——
12．(多选)已知长方体ABCD?A1B1C1D1的一条棱AD＝3，沿其底面对角线及侧棱的一个截面是边长为6和10的矩形，则该长方体的体积可能为( AD )
A．90
B．180
C．60
D．18
解析：由题意可知，AD＝3，截面边长为6,10，则AD为底面的棱，底面对角线长为6或10，分类讨论．
13．在三棱锥A?BCD中，P、Q分别在棱AC、BD上，连接AQ、CQ、BP、DP、PQ，若三棱锥A?BPQ，B?CPQ，C?DPQ的体积分别为6,2,8，则三棱锥A?BCD的体积为( D )
A．20
B．24
C．28
D．40
解析：如图所示，VA?BPQ?VB?CPQ＝6?2，VB?APQ?VB?CPQ＝S△APQ?S△CPQ＝6?2.
类似地VA?DPQ?VC?DPQ＝VD?APQ?VD?CPQ＝S△APQ?S△CPQ＝6?2.
其中VC?DPQ＝8，∴VA?DPQ?8＝6?2.
∴VA?DPQ＝24，∴VA?BDC＝6＋2＋8＋24＝40.
14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8
cm和18
cm，侧棱长为13
cm，则这个正四棱台的侧面积为624_cm2，表面积为1_012_cm2.
解析：由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h＝＝12(cm)，
所以S侧＝4××(8＋18)×12＝624(cm2)，S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是表面积为S＝624＋64＋324＝1
012(cm2)．
15．如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
解：(1)交线围成的正方形EHGF.如图所示．
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，
所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确)．
