课时作业27 空间点、直线、平面之间的位置关系
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．在正方体的6个面中，互相平行的平面的组数有( C )
A．1组
B．2组
C．3组
D．1组或3组
解析：正方体的6个面中，对面互相平行，所以共有3组，故选C.
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( C )
A．一定平行
B．一定异面
C．相交或异面
D．一定相交
解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C.
3．若直线a，b是异面直线，a?β，则b与平面β的位置关系是( D )
A．平行
B．相交
C．b?β
D．平行或相交
解析：∵a，b异面，且a?β，∴b?β，∴b与β平行或相交．故选D.
4．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( C )
A．2对
B．3对
C．6对
D．12对
解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C.
5．(多选)平面α∥平面β，直线a?α，下列四个命题中，正确的命题是( BCD )
A．a与β内的所有直线平行
B．a与β内的无数条直线平行
C．a与β内的任何一条直线都不相交
D．a与β无公共点
解析：借助于长方体模型，可以举出反例说明A是错误的；利用平面与平面进行判断，则有B，C，D是正确的．
6．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( D )
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
解析：①中GH∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，故GH，MN必相交，所以①③中GH，MN共面，故选D.
二、填空题
7．若一个平面内的一条直线与另一个平面相交，则这两个平面的位置关系是相交．
8．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是b与α平行或相交或b在α内．
解析：如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b?α(其中E，F为棱的中点)．
9．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，与直线BD成异面直线的有6条，分别是AA1，CC1，A1B1，C1D1，A1D1，B1C1.
解析：正方体ABCD?A1B1C1D1如图所示．
直线BD分别与直线AA1，CC1，A1B1，C1D1，A1D1，B1C1成异面直线．故共有6条．
三、解答题
10.已知四棱台ABCD?A1B1C1D1，底面A1B1C1D1是梯形，A1D1∥B1C1，如图所示．
(1)直线A1B1与四棱台的各面有什么位置关系？
(2)平面ABCD与四棱台的其他面有什么位置关系？
解：(1)直线A1B1与平面ABCD平行；直线A1B1与平面BCC1B1、平面ADD1A1、平面CDD1C1均相交；直线A1B1在平面A1B1C1D1、平面AA1B1B内．
(2)平面ABCD与平面A1B1C1D1平行；平面ABCD与平面AA1D1D、平面DD1C1C、平面CC1B1B、平面BB1A1A均相交．
11．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．
解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．
——能力提升类——
12．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线数为( D )
A．1或2
B．2或3
C．2
D．1或2或3
解析：当α过β与γ的交线时，三平面有一条交线．
当β∥γ时，有两条交线．
当α与β，γ两两相交且不交于同一直线时，有三条交线．故选D.
13．在正方体ABCD?A1B1C1D1上有一只蚂蚁从A点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2
018条棱之后的位置可能在( D )
A．点A1处
B．点A处
C．点D处
D．点B1处
解析：由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4条．蚂蚁从A点出发，走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．
∵2
018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2
018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB→BB1，AB→BC，AD→DC，AD→DD1，AA1→A1B1，AA1→A1D1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1.故选D.
14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为①②.
解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN与CD相交，只有①②正确．
15．如图所示，ABCD?A1B1C1D1是正方体，在图中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．
解：如图①所示，过点E作EN平行于BB1交CD于N，连接NB并延长交EF的延长线于M，连接AM，则直线AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
如图②所示，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则直线BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
证明：在图①中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，因此EF与NB相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF?平面AEF，NB?平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面ABCD与平面AEF的公共点，故直线AM为两平面的交线．
在图②中，C1M在平面CDD1C1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B也是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．(共40张PPT)
第八章
立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
