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第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直课时作业33 直线与直线垂直
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．下列说法正确的个数是( C )
①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；
③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：①中a与c也可能异面，③中a与c也可能相交或异面，②正确．
2．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为
( A )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：如图，取AD的中点H，连接FH，EH，则EH∥CD，FH∥AB.∠FEH(或其补角)是EF与CD所成的角，∠EFH(或其补角)是EF与AB所成的角．∵EF⊥AB，∴在△EFH中，∠EFH＝90°.∵CD＝2AB，∴HE＝2HF，∴∠FEH＝30°.
3．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G、H
分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( B )
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
解析：连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点．所以A1B∥EF，BC1∥GH.所以A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连接A1C1，知△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.
4．(多选)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列说法中，正确的为( ABD )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
解析：因为截面PQMN是正方形，
所以PQ∥MN，QM∥PN，
则PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确．
综上，选ABD.
5．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，F为线段CD上一动点(不含端点)，现将△ADF沿直线AF进行翻折，在翻折过程中不可能成立的是( C )
A．存在某个位置，使直线AF与BD垂直
B．存在某个位置，使直线AD与BD垂直
C．存在某个位置，使直线CF与DA垂直
D．存在某个位置，使直线AB与DF垂直
解析：对于A，连接BD，在Rt△ABD中，可以如图作AO⊥BD于O，并延长交CD于F，则AF⊥BD成立，翻折过程中，这个垂直关系保持不变，故A正确；对于B，令AF⊥BD，在翻折过程中，≥BD≥，AD＝1，AB＝2，因为>>，所以当AD＝1，AB＝2，BD＝，AD⊥BD，故B正确；
对于C，在翻折过程中，AD⊥DF保持不变，若AD⊥CF成立，则AD⊥平面CDF，从而AD⊥CD，
AD＝1，AC＝，得CD＝2，
在翻折过程中，CF＋DF>CD，即CD<2，所以CD＝2不成立，故C不正确；
对于D，在翻折过程中，AD⊥DF保持不变，若AB⊥DF成立，则DF⊥平面ABD，从而DF⊥BD，
设此时DF＝x，则BF＝，
BD＝＝，只要06．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( D )
A．平行
B．相交且垂直
C．异面直线
D．相交成60°角
解析：把展开图恢复成如图所示的正方体，连接AC，其中△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选D.
二、填空题
7．如图，在三棱锥A?BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为60°.
解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
8．如图所示，已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．
(1)直线AB1和CC1所成的角为45°；
(2)直线AB1和EF所成的角为60°.
解析：如图．(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B(或其补角)即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.
(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C(或其补角)即为异面直线AB1和EF所成的角．
连接AC，则△AB1C为正三角形，
所以∠AB1C＝60°.
9．如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为60°.
解析：将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥A?DEF中，IJ綉AD，GH綉DF，所以∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成角为60°.
三、解答题
10．如图，在三棱锥A?BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AO⊥OC，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
解：如图，取AC的中点M，连接OM，ME，OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
EM＝AB＝，OE＝DC＝1，
因为OM是Rt△AOC斜边AC上的中线，
所以OM＝AC＝1，
取EM的中点H，连接OH，则OH⊥EM，
所以在Rt△OEH中，
cos∠OEM＝＝＝.
11．如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.
证明：(1)如图，连接AC，AB1.
由几何体ABCD?A1B1C1D1是正方体，知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1.
从而AC与B1C所成的角为A1C1与B1C所成的角．
由AB1＝AC＝B1C，
可知∠B1CA＝60°.
故A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)证明：如图，连接BD.
由题知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1.
因为EF为△ABD的中位线，所以EF∥BD.
又AC⊥BD，所以EF⊥AC，所以A1C1⊥EF.
——能力提升类——
12.如图，E、F分别是三棱锥P?ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为( B )
A．30°
B．60°
C．0°
D．120°
解析：如图所示，取AC中点G，连接EG，FG，
因为E、F分别是棱AP、BC的中点，且G为AC中点，所以GE∥PC且GE＝PC＝5，所以GF∥AB且GF＝AB＝3，所以异面直线AB与PC所成的角即为∠EGF或其补角，则cos∠EGF＝＝－，所以∠EGF＝120°，所以异面直线AB与PC所成的角即为∠EGF的补角，即60°.
13．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是.
解析：如图，连接A1B，BC1，根据三角形中位线定理得到EF∥A1B，所以∠BA1C1(或其补角)是异面直线EF与A1C1所成角．在三角形A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，所以三角形A1BC1是等边三角形，故∠BA1C1＝.
14．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，E，F分别为BC，AD的中点，则EF和AB所成的角为15°或75°.
15．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱AA1＝2，E为棱CC1的中点．
(1)求异面直线AE与BC1所成角的大小．
(2)求三棱锥B1?ADE的体积．
解：(1)取BC的中点F，连接EF，AF，
因为EF∥BC1，所以∠AEF(或其补角)为异面直线AE与BC1所成的角，
又AE＝＝3，EF＝，AF＝，
所以cos∠AEF＝＝，
又0<∠AEF<π，
所以异面直线AE与BC1所成角的大小为.
(2)取BB1的中点H，连接EH，
则EH∥AD，则VB1?ADE＝VE?ADB1＝VH?ADB1＝VD?AB1H＝××1×2×2＝.
