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第八章
立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.3 平面与平面平行
第2课时 平面与平面平行的性质
温
示
提
馨
请
做：课时作业
32
PPT文稿
（点击进入）课时作业32 平面与平面平行的性质
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( D )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行、相交或异面
解析：如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，易知平面ABCD∥平面A1B1C1D1.对于AA1＝BB1，此时AA1∥BB1；对于A1D＝A1B，此时A1D∩A1B＝A1；对于AD1＝A1B，此时AD1与A1B是异面直线，故选D.
2．已知平面α∥平面β，P?α，P?β，过点P的两直线分别交α、β于A、B和C、D四点，A、C∈α，B、D∈β，且PA＝6，AB＝2，BD＝12，则AC之长为
( C )
A．10或18
B．9
C．18或9
D．6
解析：由PA＝6，AB＝2知，P点不可能在α与β之间，∴点P在两平行平面所夹空间外面，∴＝或＝，∴AC＝9或AC＝18，故选C.
3．(多选)下列命题中正确的是( BCD )
A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β
B．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β
C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线
解析：选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选BCD.
4．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C( D )
A．不共面
B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．无论点A，B如何移动都共面
解析：无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．
5．如图，在多面体ABC?DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( A )
A．BF∥平面ACGD
B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG
D．平面ABED∥平面CGF
解析：取DG的中点为M，连接AM，FM，如图所示．则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，∴DE綉FM.
∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM.又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM.又BF?平面ACGD，∴BF∥平面ACGD.故选A.
6.一正方体木块如图所示，点P在平面A′B′C′D′内，经过点P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，共有N种锯法，则N为( B )
A．0
B．1
C．2
D．无数
解析：在平面A′B′C′D′上，过点P作EF∥B′C′，则EF∥BC，所以沿EF，BC所确定的平面锯开即可．由于此平面唯一确定，所以只有一种方法，故选B.
二、填空题
7．已知平面α∥平面β，直线a，b分别与平面α，β所成角相等，则直线a，b的位置关系是平行、相交或异面．
8．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的位置关系是l∥AC，l与A1C1的位置关系是l∥A1C1.
解析：如图，
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
AC?平面ABCD，
∴AC∥平面A1B1C1D1.
又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，∴AC∥l.
又∵AC∥A1C1，∴l∥A1C1.
9．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则N只需满足条件点N在EH上，就有MN∥平面B1CD1.
解析：由题得MH∥A1B∥CD1，HE∥A1D∥B1C，因此可得平面MHE∥平面B1CD1，从而只要点N在HE上，就有MN∥平面B1CD1.
三、解答题
10.如图，在三棱锥P?ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
11.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：N为AC的中点．
证明：因为平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，
所以四边形ANC1M为平行四边形，
所以AN＝C1M＝A1C1＝AC，
所以N为AC的中点．
——能力提升类——
12.如图，在多面体ABC?DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则
( A )
A．BF∥平面ACGD
B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG
D．平面ABED∥平面CGF
解析：取DG的中点为M，连接AM、FM，如图所示．则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，
∴DE綉FM.
∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，
平面DEFG∩平面ADEB＝DE，
∴AB∥DE，∴AB∥FM.
又AB＝DE，∴AB＝FM，
∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM.
又BF?平面ACGD，
∴BF∥平面ACGD.故选A.
13.如图所示，在三棱台ABC?A1B1C1中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是( C )
A．平面
B．直线
C．线段，但只含1个端点
D．圆
解析：因为平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1＝DM，平面A1C∩平面A1B1C1＝A1C1，所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1，则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点)．
14.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是平行四边形．
解析：由面面平行的性质定理可以推出四边形ABCD的两组对边分别平行，故四边形ABCD是平行四边形．
15.如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.
证明：如图，取OB的中点G，连接GN、GM.
∵M为OA的中点，∴MG∥AB.
∵AB∥CD，
∴MG∥CD.
∵MG?平面OCD，CD?平面OCD，
∴MG∥平面OCD.
又∵G、N分别为OB、BC的中点，
∴GN∥OC.
∵GN?平面OCD，OC?平面OCD，
∴GN∥平面OCD.
又∵MG?平面MNG，GN?平面MNG，MG∩GN＝G，
∴平面MNG∥平面OCD.
∵MN?平面MNG，
∴MN∥平面OCD.课时作业31 平面与平面平行的判定
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不可能
解析：易知两平面可能平行或相交．
2．在以下四个命题中，真命题是( B )
①在一个平面内有两点到另一个平面的距离相等都是d(d＞0)，则这两个平面平行；
②在一个平面内有三点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行；
③在一个平面内有无数个点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行；
④一个平面内任意一点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行．
A．②③④
B．④
C．②③
D．①②④
解析：命题①中的两点无论在另一个平面的同侧还是异侧，这两个平面均有可能相交，所以①是错误的；同理可知②③均错；只有④正确．
3．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a?α，b?α，c?β，d?β，则α与β的位置关系是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
解析：根据图1和图2可知α与β平行或相交．
4．(多选)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，可以判定α与β平行的条件有( AD )
A．存在平面γ，使得α，β都平行于γ
B．存在l，m两条直线在α内，且l∥β，m∥β
C．α内有不共线的三点到β的距离相等
D．存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β
解析：存在平面γ，使得α，β都平行于γ；α与β平行，所以A正确．
当l与m平行时，不能判定α与β平行，B不正确．
C不能判定α与β平行．如α面内不共线的三点不在β面的同一侧时，此时α与β相交；
D可以判定α与β平行．因为可在α面内作l′∥l，m′∥m，则l′与m′必相交．又因为l∥β，m∥β，所以l′∥β，m′∥β，所以α∥β.
5.如图，在正方体EFGH?E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( A )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：正方体中E1F∥H1G，E1G1∥EG，从而可得E1F∥平面EGH1，E1G1∥平面EGH1，所以平面E1FG1∥平面EGH1，故选A.
6．如图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD?A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( A )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
解析：∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，
∴A1D1∥E1F1，又A1D1?平面BCF1E1，E1F1?平面BCF1E1，
∴A1D1∥平面BCF1E1.
又E1和E分别是A1B1和AB的中点，
∴A1E1綉BE，
∴四边形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1，
又A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，
∴A1E∥平面BCF1E1，
又A1E?平面EFD1A1，A1D1?平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
二、填空题
7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面的位置关系为平行或相交．
解析：如图，AB∥CD∥EF且AB＝CD＝EF，则α∥β或α∩β＝l.
8.如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，则EF与平面BCHG的位置关系是平行；与平面BCHG平行的平面为平面A1EF.
解析：∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G＝EB且A1G∥EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面A1EF∥平面BCHG.
9.如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；
③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
其中，正确命题的序号是①②③④.
解析：展开图可以折成如图(1)所示的正方体．
在正方体中，连接AN，如图(2)所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN.因为AN?平面DE，BM?平面DE，所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图(3)所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．
三、解答题
10．如图所示，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.
证明：因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.
由FH?平面AFH，AF?平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
11.如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明：连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连接ED.
∵A1B∥平面AC1D，ED?平面AC1D，
∴A1B与ED没有交点．
又∵ED?平面A1BC，A1B?平面A1BC，∴ED∥A1B.
∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD∥C1D1，且BD＝C1D1，
∴四边形C1D1BD为平行四边形，
∴C1D∥BD1，∴BD1∥平面AC1D.
又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.
——能力提升类——
12．已知直线l、m，平面α、β，下列命题正确的是
( D )
A．l∥β，l?α?α∥β
B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C．l∥m，l?α，m?β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β
解析：如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB?平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．
13．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②PA∥平面BDG；
③直线EF∥平面PBC；
④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是①②③④.
解析：把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理可知①②③④正确．
14.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足点M在线段FH上时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：连接FH、FN.
∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，
又平面FHN∩平面EFGH＝FH，
∴当M∈FH时，MN?平面FHN，
∴MN∥平面B1BDD1.
15．如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由．
解：存在．当F为AB的中点时，平面C1CF∥平面ADD1A1.
证明如下：
连接AD1.∵在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，F为AB的中点，
∴CD綉AF綉C1D1，
∴四边形AFCD是平行四边形，
且四边形AFC1D1是平行四边形，
∴CF∥AD，C1F∥AD1.
又CF∩C1F＝F，CF，C1F都在平面C1CF内，
∴平面C1CF∥平面ADD1A1.(共51张PPT)
第八章
立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
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