课时作业35 直线与平面垂直的性质
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
其中正确的个数是( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①②③均正确．
2．在空间中，下列命题中正确的是( B )
①平行于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
A．①③④
B．①④
C．①
D．①②③④
3．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( C )
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
解析：因为平面α与平面β相交，直线m⊥α，所以m垂直于两平面的交线，所以β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直．
4．(多选)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下各命题中，真命题为( ABCD )
A．BC⊥PC
B．OM∥平面APC
C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D．三棱锥M?PAC的体积等于三棱锥P?ABC体积的一半
解析：因为PA⊥圆O所在的平面，BC?圆O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，而PC?平面PAC，所以BC⊥PC，故A正确；
因为点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，所以OM∥PA，而OM?平面PAC，PA?平面PAC，所以OM∥平面APC，故B正确；
因为BC⊥平面PAC，所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故C正确；
三棱锥M?PAC和三棱锥P?ABC均可以平面PAC为底面，此时M到底面的距离是B到底面距离的一半，故三棱锥M?PAC的体积等于三棱锥P?ABC体积的一半，故D正确．
5.如图，?ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝( D )
A．2
B．3
C.
D.
解析：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF綉DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE
＝＝＝.
6．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( C )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
解析：因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.
二、填空题
7．长方体ABCD?A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M，则MN与AA1的位置关系是平行．
解析：如图．易知AB⊥平面BCC1B1.
又∵MN?平面BCC1B1，∴AB⊥MN.
又∵MN⊥BC，AB∩BC＝B，∴MN⊥平面ABCD，易知AA1⊥平面ABCD.故AA1∥MN.
8．直线a和b在正方体ABCD?A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是①②③.(只填序号即可)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
解析：①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为基本事实4的应用，故①②③正确．
9．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则MN与AD1的位置关系为平行；若AM＝λAB，则λ＝.
解析：∵ABCD?A1B1C1D1为正方体，∴CD⊥平面AA1D1D，∴CD⊥AD1，又∵四边形AA1D1D为正方形，∴A1D⊥AD1，∴AD1⊥平面A1DC，又MN⊥平面A1DC，∴AD1∥MN，连接ON，则四边形AMON为平行四边形，AM＝ON＝AB，故λ＝.
三、解答题
10．如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB.
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC?A1B1C1的高．
解：(1)证明：如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．
因为侧面BB1C1C为菱形，
所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C，
所以B1C⊥AO，
故B1C⊥平面ABO.
由于AB?平面ABO，故B1C⊥AB.
(2)方法1：在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.
在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H.如图．
由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，
所以OH⊥BC.
又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．
又BC＝1，可得OD＝.
由于AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.
由OH·AD＝OD·OA，
且AD＝＝，得OH＝.
又O为B1C的中点，
所以点B1到平面ABC的距离为，
故三棱柱ABC?A1B1C1的高为.
方法2：由于侧面BB1C1C为菱形，
∠CBB1＝60°，BC＝1.
故B1C＝1，BO＝，又AC⊥AB1，
则AO＝，AC＝，易得AB＝1，
在△ABC中，易得AC边上的高h＝，
由VA?BB1C＝VB1?ABC，得
S△BB1C·AO＝S△ABC·h三棱柱，
所以×＝××·h三棱柱，
所以h三棱柱＝.
所以三棱柱ABC?A1B1C1的高为.
11.如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求多面体A?PBC的体积．
解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.
∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD.
又PC?平面PCD，∴PC⊥BC.
(2)∵PD⊥平面ABCD，
∴VA?PBC＝VP?ABC＝·S△ABC·PD.
∵AB∥DC，∠BCD＝90°，
∴△ABC为直角三角形且∠ABC为直角．
∵PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，
∴VA?PBC＝·S△ABC·PD＝×·AB·BC·PD＝××4×2×2＝.
——能力提升类——
12．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则( B )
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
解析：因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.
13．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( D )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析：若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．
设α∩β＝直线a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，则m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.
因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.
因为m⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，
所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.
又因为l?α，l?β，所以l与a不重合．
所以l∥a，综上知，选D.
14．如图所示，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中D?PC，则DE与平面PAC的位置关系是平行．
解析：∵DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，∴DE∥PA.又DE?平面PAC，PA?平面PAC，∴DE∥平面PAC.
15．如图，在四面体P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝，AC＝2.
(1)证明：BC⊥平面PAB.
(2)在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD，若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由题知：AB＝1，BC＝，AC＝2.
则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
(2)在线段PC上存在点D，当PD＝时，使得AC⊥BD.
理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC内，过点E作DE∥PA，交PC于点D，连接BD，由PA⊥平面ABC，知DE⊥平面ABC，
所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
又因为BD?平面DBE，所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝＝，
所以AE＝，CE＝，
所以＝，所以CD＝，PD＝.(共34张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直的性质课时作业34 直线与平面垂直的判定
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是( A )
A．①③
B．②
C．②④
D．①②④
解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两条直线有可能是平行的．
2.如图，三棱锥P?ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是( B )
A．∠BPA
B．∠PBA
C．∠PBC
D．对上都不对
解析：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.
3.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为( A )
A．AD1⊥B1E
B．AD1∥B1E
C．AD1与B1E共面
D．以上都不对
解析：连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D，又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED，又B1E?平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.
4．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有( BD )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：在①中，AB与CE的夹角为45°，
所以直线AB与平面CDE不垂直，故①不符合；
在②中，AB⊥EC，AB⊥CD，所以AB⊥平面CDE，故②符合；
在③中，AB与EC的夹角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故③不符合；
在④中，连接AC，由ED⊥平面ABC，得AB⊥DE，同理可得AB⊥CE，所以AB⊥平面CDE，故④符合．
5．在三棱柱ABC?A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝a，DE＝a.
∴tan∠ADE＝.∴∠ADE＝60°.
6．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．
易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则
DD1＝1，DO＝，D1O＝，
∴cos
∠DD1O＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为.
二、填空题
7．?ABCD的对角线交点为O，点P在?ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是垂直．
解析：∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.
8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则BD与平面PAC的位置关系是垂直，平行四边形ABCD一定是菱形．
解析：由于PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.
又PC⊥BD，且PC?平面PAC，PA?平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.
又AC?平面PAC，所以BD⊥AC.
又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．
9.如图，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4
cm，点P到角的两边AC，BC的距离都等于2
cm，则PC与平面ABC所成角的大小为45°.
解析：如图，过P作PO⊥平面ABC于点O，连接CO，则CO为∠ACB的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ，
连接OF，易知△CFO为直角三角形．
又PC＝4，PF＝2，∴CF＝2，∴CO＝2，在Rt△PCO中，cosθ＝＝，∴θ＝45°.
三、解答题
10.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
11．如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，BC＝BA＝AD＝m，VA⊥平面ABCD.
(1)求证：CD⊥平面VAC.
(2)若VA＝m，求CV与平面VAD所成角的大小．
解：(1)证明：因为AB＝BC，∠ABC＝90°，
所以∠CAB＝∠ACB＝45°，
取AD中点G，连接CG，如图，
因为BC∥AD，所以四边形ABCG为正方形．
所以CG＝GD，∠CGD＝90°，所以∠DCG＝45°，所以∠DCA＝90°，所以CD⊥CA，又VA⊥平面ABCD，所以CD⊥VA，因为CA∩VA＝A，所以CD⊥平面VAC.
(2)如图，连接VG，由?CG⊥平面VAD，
所以∠CVG是CV与平面VAD所成的角，
VC＝＝2m，CG＝m，
所以∠CVG＝30°，所以CV与平面VAD所成角为30°.
——能力提升类——
12．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( A )
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，取A1C1的中点D，连接AD，B1D，则易证得B1D⊥平面ACC1A1，∴∠DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角．不妨设正三棱柱的棱长为2，则在Rt△AB1D中，sin∠DAB1＝＝＝，故选A.
13．在长方体ABCD
?A1B1C1D1中，正方形ABCD的面积为16，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( B )
A．64
B．64
C．48
D．64
解析：因为正方形ABCD的面积为16，
所以AB＝CD＝4，因为AB⊥平面BB1C1C，
故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，
即∠AC1B＝30°，
所以BC1＝4，所以CC1＝＝4，
所以长方体的体积V＝16×4＝64.
14.如图，四棱锥S?ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有4个．
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
解析：因为SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD.
因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，
所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．
因为AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，
所以AB∥平面SCD，故②正确．
因为AD是SA在平面ABCD内的射影，
所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．
因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．
15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
解：如图，当F为CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
连接A1B、CD1、DE，
则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，
又A1D1∩A1B＝A1，
∴AB1⊥平面A1BCD1.
又D1E?平面A1BCD1，
∴AB1⊥D1E.
又DD1⊥平面BD，
∴AF⊥DD1.
又由△ADF≌△DCE，∠ECD＝∠ADF＝90°得AF⊥DE，∴AF⊥平面D1DE，∴AF⊥D1E.
∴D1E⊥平面AB1F.
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.(共52张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
温
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