课时作业37 平面与平面垂直的性质
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，则应增加的条件是
( B )
A．m∥n
B．n⊥m
C．n∥α
D．n⊥α
解析：由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.
2．下列命题中错误的是( D )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．
3.如图所示，三棱锥P?ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( B )
A．PD?平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
解析：∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.
4．(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD?BC?AB＝2?3?4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论，在翻折过程中，可能成立的结论的为( BC )
A．DF⊥BC
B．BD⊥FC
C．平面DBF⊥平面BFC
D．平面DCF⊥平面BFC
解析：如图，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，
所以BC与DF不垂直，则A错误；
设点D在平面BCF上的射影为点P，
当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD?BC?AB＝2?3?4，可使条件满足，所以B正确；
当点P落在BF上时，DP?平面BDF，
从而平面BDF⊥平面BFC，所以C正确；
因为点D的投影不可能在FC上，
所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即D错误．
5．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB?A′B′等于( A )
A．2?1 B．3?1
C．3?2 D．4?3
解析：由已知条件可知∠BAB′＝，
∠ABA′＝，设AB＝2a，
则BB′＝2asin＝a，A′B＝2acos＝a，
∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB?A′B′＝2?1.
6.如图，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在( A )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：连接AC1，如图所示，
∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.
∵BC1⊥AC，AB∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC?平面ABC，
∴平面ABC1⊥平面ABC，
又∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，
∴点C1在底面ABC上的射影点H必在AB上．故选A.
二、填空题
7．如图，把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起，使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有3对，其中1对是平面ADC与平面BDC(答案不唯一)．
解析：由已知得CD⊥AB，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，又因为平面ADC⊥平面BDC，综上可知，互相垂直的平面有3对．
8．已知直二面角α?l?β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为.
解析：如图，连接BC，∵二面角α?l?β为直二面角，AC?α，且AC⊥l，∴AC⊥β，又BC?β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝＝.
9．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα?cosβ＝?2.
解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cosα＝＝，cosβ＝，所以cosα?cosβ＝?2.
三、解答题
10.把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.
证明：∵平面ABC⊥平面BCD，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.
又AB?平面ABC，∴CD⊥AB，
又AB⊥AC，CD∩AC＝C，
∴AB⊥平面ACD.又AB?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD.
11.如图，在三棱锥P?ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.
求证：平面PEF⊥平面PBC.
证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.
又∵平面PAC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.
∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.
又∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.
——能力提升类——
12．如图所示，三棱锥P?ABC的底面在平面α内，PB⊥平面α，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( D )
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，
∴AC⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′?BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( B )
A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
D．四面体A′?BCD的体积为
解析：取BD的中点O，连接A′O，OC，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD，又A′C∩A′O＝A′，∴BD⊥平面A′OC，∴BD⊥OC与OC不垂直于BD矛盾，∴A′C不垂直于BD，A错误．∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′D，∴A′C＝，∵A′B＝1，BC＝＝，∴A′B2＋A′C2＝BC2，A′B⊥A′C，B正确．∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误．VA′?BCD＝S△A′BD·CD＝，D错误，故选B.
14．m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；
④α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的序号为①④.
解析：根据平面与平面垂直的性质定理知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m?α时，有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m?β或m与β相交，不正确．
15．如图，已知PA⊥平面ABC，AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC＝90°.
(1)证明：平面ADE⊥平面PAC.
(2)作出平面ADE与平面ABC的交线l，并证明∠EAC是二面角E?l?C的平面角．(在图中体现作图过程不必写出画法)
解：(1)证明：在三棱锥P?ABC中，BC⊥AB，
BC⊥PA，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，
又AD?平面PAB，所以BC⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩BC＝B，所以AD⊥平面PBC，
又PC?平面PBC，所以PC⊥AD，
因为AE⊥PC且AE∩AD＝A，
所以PC⊥平面ADE，因为PC?平面PAC，
所以平面ADE⊥平面PAC.
(2)作图(如图)．
在平面PBC中，记DE∩BC＝F，连接AF，则AF为所求的l，
证明如下：因为PC⊥平面AED，l?平面ADE，所以PC⊥l，
因为PA⊥平面ABC，l?平面ABC，所以PA⊥l，
又PA∩PC＝P，所以l⊥平面PAC，
又AE?平面PAC且AC?平面PAC，
所以AE⊥l，AC⊥l，
所以∠EAC就是二面角E?l?C的一个平面角．课时作业36 平面与平面垂直的判定
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( C )
A．有1个
B．有2个
C．有无数个
D．不存在
解析：经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C.
2．已知二面角α?l?β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( B )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
解析：m，n所成的角等于二面角α?l?β的平面角(或其补角)．
3．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是( C )
A．平面ABCD
B．平面PBC
C．平面PAD
D．平面PBC
解析：由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.
4．(多选)如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个命题正确的是( BD )
A．PA∥平面MOB
B．MO∥平面PAC
C．OC⊥平面PAC
D．平面PAC⊥平面PBC
解析：因为PA?平面MOB，故A错误；
因为OM是△PAB的中位线，所以OM∥PA，
又OM?平面PAC，PA?平面PAC，
所以OM∥平面PAC，故B正确；
因为AB是直径，所以BC⊥AC，
又因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC，故C错误；
又BC?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC，故D正确．
5.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P?BC?A的大小为( C )
A．60°
B．30°
C．45°
D．15°
解析：由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P?BC?A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.
6.如图所示，在三棱锥D?ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是( C )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC，BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC?平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.
二、填空题
7．如图，在三棱锥S?ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝a，SB＝2a，则二面角S?AC?B的大小为90°.
解析：因为AC⊥平面SBC，SC，BC?平面SBC，∴AC⊥SC，AC⊥BC，则∠SCB即为二面角S?AC?B的平面角．又SC＝a，BC＝a，SB＝2a，所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB为直角三角形，∴∠SCB＝90°.∴二面角S?AC?B的大小为90°.
8．如图，在四面体PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面②⑤(或①⑤或①②)．(只填序号，只填一组即可)
①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；
⑤平面POC.
解析：因为四面体PABC中，PA＝PB＝PC，
底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，
所以CO⊥AB，
PO⊥AB，CO∩PO＝O，
所以AB⊥平面POC，因为AB?平面ABC，AB?平面PAB，
所以平面POC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面POC，
因为△ABC为等腰直角三角形，PA＝PB＝PC，
所以PC2＝PA2＝PO2＋OA2＝PO2＋OC2，
所以PO⊥OC，又PO⊥AB，OC∩AB＝O，
所以PO⊥平面ABC，又PO?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABC，
所以两个相互垂直的平面为②⑤或①⑤或①②.
9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B?AD?C的平面角为∠BDC，其大小为60°.
解析：由已知得，BD＝2CD.
翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B?AD?C的平面角，其大小为60°.
三、解答题
10.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P?ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.
证明：∵PA⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝＝，
tan∠BAC＝＝，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC.
又BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.
11.如图，四棱锥P?ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.
(1)求证：平面PAD⊥平面PAB；
(2)若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．
解：(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，
AD?平面ABCD，
∴PB⊥AD.
∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，
∴AD⊥平面PAB.又∵AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB.
(2)由(1)的证明知，∠PAB为平面PDA与平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60°，∴PB＝a.
∴VP?ABCD＝·a2·a＝.
——能力提升类——
12．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是( D )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PAE⊥平面ABC
D．平面PDF⊥平面ABC
解析：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，又∵DF?平面PDF，BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．
∵PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确．
∵BC⊥平面PAE，BC?平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故C正确．
设AE∩DF＝O，连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．
13．在二面角α?l?β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α?l?β的平面角的大小为( D )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
解析：如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，
∵BC⊥α，∴BC⊥l，
∴l⊥平面ABC.
设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α?l?β的平面角(或其补角)，
∵AB＝6，BC＝3，
∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，
∴二面角大小为60°或120°.
14.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点．当点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析：如图，连接AC，则BD⊥AC.由PA⊥平面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
15.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求二面角P?AC?D的正切值．
解：(1)证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，
∴PC2＝PD2＋DC2，
∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD.
(2)证明：由(1)知PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
∴AC⊥平面PDB.
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)设AC∩BD＝O，如图，连接PO.
由PA＝PC，知PO⊥AC.
又由DO⊥AC，故∠POD为二面角P?AC?D的平面角．
易知OD＝a.
在Rt△PDO中，tan∠POD＝＝＝.(共35张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质(共50张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
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36
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