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第九章
统计
9.2 用样本估计总体
9.2.4 总体离散程度的估计课时作业42 总体离散程度的估计
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．(多选)“微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况(步数里程)的公众号，用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况．某人根据2018年1月至2018年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)的数据绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是( BCD )
A．月跑步的里程逐月增加
B．月跑步里程最大值出现在10月
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳
解析：由题图可知：月跑步里程不是逐月递增的，故选项A错误；月跑步里程最大值出现在10月，故选项B正确；月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，故选项C正确；1月至5月的月跑步平均里程相对6月至11月，波动性更小、变化比较平稳，故选项D正确，故选BCD.
2．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：
甲：7,7,8,8,10；
乙：8,9,9,9,10.
若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用x1，x2表示，方差分别用s，s表示，则( D )
A.1>2，s>s
B.1>2，sC.1<2，sD.1<2，s>s
解析：由题意可得1＝＝8，
2＝＝9，
s＝＝，
s＝＝.故1<2，s>s.故选D.
3．10名小学生的身高(单位：cm)分成了甲、乙两组数据，甲组：115,122,105,111,109；乙组：125,132,115,121,119.两组数据中相等的数字特征是( C )
A．中位数、极差
B．平均数、方差
C．方差、极差
D．极差、平均数
解析：甲组数据由小到大排列依次为：105,109,111,115,122，极差为17，平均数为112.4，中位数为111，方差为33.44，乙组数据由小到大排列依次为：115,119,121,125,132，极差为17，平均数为122.4，中位数为121，方差为33.44，因此，两组数据相等的是极差和方差，故选C.
4．某人为了检测自己的解题速度，记录了5次解题所花的时间(单位：分)分别为x，y,55,60,50，已知这组数据的平均数为55，方差为，则|x－y|＝( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为这组数据的平均数为55，方差为，所以x＋y＝110，(x－55)2＋(y－55)2＝2.设x＝55＋t，y＝55－t，因为(x－55)2＋(y－55)2＝2，所以2t2＝2，即t2＝1，则|x－y|＝2|t|＝2.故选B.
5．已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形图如图所示，则下列四个选项中判断不正确的是( D )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：甲的成绩的平均数为：甲＝(5＋6×2＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7.5，乙的成绩的平均数为：乙＝(6＋7×3＋8×2＋9×3＋10×1)＝8,
∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A正确；
甲的成绩的中位数为：＝7.5；乙的成绩的中位数为：＝8，
∴甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数，故B正确；
由题图得甲的成绩相对分散，乙的成绩相对稳定，
∴甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差，故C正确；
甲的成绩的极差为：10－5＝5
；乙的成绩的极差为：10－6＝4，
∴甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故D不正确．故选D.
6．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均数分别为m1，m2，标准差分别为n1，n2则( C )
A．m1B．m1n2
C．m1>m2，n1D．m1>m2，n1>n2
解析：由题中甲、乙两名同学6次考试的成绩统计图知：甲组数据靠上，乙组数据靠下，甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，由甲、乙两组数据的平均数分别为m1，m2，标准差分别为n1，n2，得m1>m2，n1二、填空题
7．甲、乙两位射击爱好者在某次射击比赛中各射靶5次，命中的环数分别为：甲：7,8,7,4,9；乙：9,5,7,8,6，则射击更稳定的爱好者成绩的方差为2.
解析：根据题意，甲＝＝7，
s＝＝，同理乙＝7，s＝2，故更稳定的为乙，方差为2.
8．一组数据175,177,174,175,174的方差为.
解析：因为＝＝175，所以s2＝[(175－175)2＋(177－175)2＋(174－175)2＋(175－175)2＋(174－175)2]＝(02＋22＋12＋02＋12)＝.
9．已知一组样本数据x1，x2，…x10，且x＋x＋…＋x＝180，平均数＝4，则该组数据的方差为2.
解析：由题意知x1＋x2＋x3＋…＋x10＝4×10＝40，
则s2＝＝
＝＝2.
三、解答题
10．若x1，x2，…，x2
018的平均数为3，方差为4，且yi＝－2(xi－2)，i＝1,2，…，2
018，求新数据y1，y2，…，y2
018的平均数和标准差．
解：因为x1，x2，…，x2
018的平均数为3，方差为4，
所以(x1＋x2＋…＋x2
018)＝3，
[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x2
018－3)2]＝4.
又yi＝－2(xi－2)＝－2xi＋4，i＝1,2，…，2
018，
所以＝[－2(x1＋x2＋…＋x2
018)＋4×2
018]＝
－2[(x1＋x2＋…＋x2
018)]＋4＝－2，
s2＝[(－2x1＋4＋2)2＋(－2x2＋4＋2)2＋…＋
(－2x2
018＋4＋2)2]＝[4(x1－3)2＋4(x2－3)2＋…＋4(x2
018－3)2]＝4×[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x2
018－3)2]＝16，
所以新数据y1，y2，…，y2
018的平均数和标准差分别为－2，4.
11．某单位开展
“党员在线学习”
活动，统计党员某周周一至周日(共7天)学习得分情况，下表是党员甲和党员乙学习得分情况：
党员甲学习得分情况
日期
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
得分
10
25
29
13
35
31
25
党员乙学习得分情况
日期
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
得分
35
26
15
20
25
17
30
(1)求本周党员乙周一至周日(共7天)学习得分的平均数和方差；
(2)根据本周某一天的数据，将全单位80名党员的学习得分按照[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]进行分组，绘制成频率分布直方图(如图)．
已知这一天甲和乙学习得分在80名党员中排名分别为第30和第68名，请确定这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图并说明理由．
解：(1)平均数：＝＝24，
方差：
s2＝＝44.
(2)周三．理由：由题图知，学习得分落在[30,35]，[25,30)，[20,25)，[15,20)，[10,15)区间内的人数依次为：80×0.15＝12(人)，80×0.25＝20(人)，80×0.3＝24(人)，80×0.2＝16(人)，80×0.1＝8(人)，由甲学习得分排名第30，可知当天甲学习得分在[25,30)，只有周二、周三和周日；由乙学习得分排名第68，可知当天乙学习得分在[15,20)，只有周三和周六，所以周三符合要求．
——能力提升类——
12．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( A )
A．81.2,4.4
B．78.8,4.4
C．81.2,84.4
D．78.8,75.6
解析：设这组数据为x1，x2，…，xn，平均数为，方差为s2，
则新数据为x1－80，x2－80，…，xn－80，
它的平均数是
′＝
＝＝－80＝1.2，
∴＝81.2.
方差为s′2＝[(x1－80－1.2)2＋(x2－80－1.2)2＋…＋(xn－80－1.2)2]＝[(x1－81.2)2＋(x2－81.2)2＋…＋(xn－81.2)2]＝4.4＝s2，故选A.
13．为评估“脱贫攻坚”成果，某市在一次统计中得到的A样本数据如下：982,684,684,686,686,686,688,688,688,688.若B样本数据恰好是A样本数据每个数都加10后所得数据，则A，B两样本的数字特征相同的为( D )
A．众数
B．平均数
C．中位数
D．标准差
解析：由于B样本数据恰好是A样本数据每个数都加10后所得数据，所以众数、平均数和中位数都发生了变化，但是两者波动程度或稳定程度是相同的，即两者的标准差相同，故选D.
14．在某次考试中，要对甲、乙两同学的学习成绩进行比较，甲同学的平均分甲＝76，方差s＝4，乙同学的平均分乙＝77，方差s＝10，则乙同学的平均成绩好，甲同学各科发展均衡．
解析：代表平均水平，因为甲＜乙，所以乙同学的平均成绩好，s2表示相对于平均成绩的集中与分散、稳定与波动的大小，因为s＜s，所以甲同学各科发展均衡．
15．某小组10名学生参加的一次数学竞赛的成绩分别为：92、77、75、90、63、84、99、60、79、85，求总体平均数、中位数m、方差s2和标准差s.(列式并计算，结果精确到0.1)
解：平均数
＝＝80.4,10名学生按成绩自低到高排列为：60,63,75,77,79,84,85,90,92,99，则中位数为m＝＝81.5，
方差s2＝[(92－80.4)2＋(77－80.4)2＋(75－80.4)2＋…＋(85－80.4)2]≈136.8，标准差s＝＝≈11.7.
