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第十章
概率
10.1 随机事件与概率
10.1.2 事件的关系和运算课时作业44 事件的关系和运算
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是( BCD )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故选BCD.
2．2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( A )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
解析：事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，故选A.
3．在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，则下列说法正确的是( D )
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
解析：由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故其事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故只有D中的说法正确．
4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一次击中飞机”，D＝“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是( D )
A．A?D
B．B∩D＝?
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
解析：显然A?D，B∩D＝?，A∪C＝D.故选D.
5．从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是( B )
A．至少有一个红球，至少有一个白球
B．恰有一个红球，都是白球
C．至少有一个红球，都是白球
D．至多有一个红球，都是红球
解析：由题意可知，在罐中取两个球的事件分三类：一类是两个红球；一类是两个白球；一类是一红一白．选项A：至少有一个红球，包括一红球一白球，两个红球，至少有一个白球，包括一个白球一个红球，两个白球，这两个事件不互斥；选项B：恰有一个红球，则另一个是白球，与两个都是白球，显然互斥但不对立，因为还有一个事件是两个都是红球；选项C：至少有一个红球，包括一红一白，两红，显然与两白是对立事件；选项D：至多一个红球，包括一红一白，两白，显然与两红是对立事件，故选B.
6．在手工课上，老师将5个环(颜色分别为蓝、黑、红、黄、绿)分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学加工制作，每人分得一个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”( C )
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥但不是对立事件
D．不是互斥事件
解析：甲、乙不可能同时得到红环，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红环，即“甲或乙分得红环”事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C.
二、填空题
7．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是②③.
①A与C是互斥事件；
②B与E是互斥事件，且是对立事件；
③B与C不是互斥事件；
④C与E是互斥事件．
解析：①A与C不是互斥事件；②B与E
是互斥事件，且是对立事件；③B与C不是互斥事件；④C与E不是互斥事件．
8．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，不同的结果共有3个．
解析：用列举法可知结果：(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)．共3种．
9．掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是A，B，是对立事件的是A，B.
解析：A，B既是互斥事件，也是对立事件．
三、解答题
10．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝“出现1点”，B＝“出现3点或4点”，C＝“出现的点数是奇数”，D＝“出现的点数是偶数”．
(1)说明以上4个事件的关系．
(2)求两两运算的结果．
解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种，
记作Ai＝“出现的点数为i”(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝?，A∩C＝A＝{1}，A∩D＝?.
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{1,3,4}，
A∪C＝C＝{1,3,5}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{1,2,4,6}．
B∩C＝A3＝{3}，
B∩D＝A4＝{4}．
B∪C＝
A1∪A3∪A4∪A5＝{1,3,4,5}．
B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{2,3,4,6}．
C∩D＝?，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{1,2,3,4,5,6}．
11．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝“出现1点”，事件C2＝“出现2点”，事件C3＝“出现3点”，事件C4＝“出现4点”，事件C5＝“出现5点”，事件C6＝“出现6点”，事件D1＝“出现的点数不大于1”，事件D2＝“出现的点数大于3”，事件D3＝“出现的点数小于5”，事件E＝“出现的点数小于7”，事件F＝“出现的点数为偶数”，事件G＝“出现的点数为奇数”，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，用C1，C2，C3，C4，C5，C6来表示D1，D2，D3，E，F，G.
解：(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以事件D3包含事件C1，C2，C3，C4.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.所以事件E还包含事件D1，D2，D3，F，G.
(2)因为事件D2＝{4,5,6}，
所以D2＝C4＋C5＋C6(或D2＝C4∪C5∪C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
——能力提升类——
12．已知事件M＝“3粒种子全部发芽”，事件N＝“3粒种子都不发芽”，那么事件M和N是( C )
A．互斥且对立事件
B．不是互斥事件
C．互斥但不对立事件
D．对立事件
解析：事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，故事件M和事件N互斥，
而事件M表示3粒种子全部发芽的对立事件为3粒种子不都发芽，有可能1个不发芽，也有可能2个不发芽，也有可能3个不发芽，故事件M和事件N不对立，故事件M和事件N互斥不对立．
13．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( C )
A．A?B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
解析：由题意知A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3，故选C.
14．从1,2，…，9中任取两数，①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是③.
解析：从1,2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)．
15．某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购．记事件A＝“只买甲产品”，事件B＝“至少买一种产品”，事件C＝“至多买一种产品”，事件D＝“不买甲产品”，事件E＝“一种产品也不买”，事件F＝“只买乙产品”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E；(6)A与F.
解：(1)事件C中的“至多买一种产品”包含事件A中的“只买甲产品”，所以它们不是互斥事件也不是对立事件；
(2)事件B中的“至少买一种产品”与事件E中的“一种产品也不买”不可能同时发生，并且事件B与事件E包含了所有的可能情况，所以它们是互斥事件也是对立事件；
(3)事件B中的“至少买一种产品”包含了事件D中的“不买甲产品”，
所以它们不是互斥事件也不是对立事件；
(4)事件B中的“至少买一种产品”包含“只买一种产品”，而事件C中的“至多买一种产品”也包含这种情况，所以它们不是互斥事件也不是对立事件；
(5)事件C中的“至多买一种产品”包含了事件E中的“一种产品也不买”，
所以它们不是互斥事件也不是对立事件；
(6)事件A中的“只买甲产品”与事件F中的“只买乙产品”不可能同时发生，但事件A与事件F并不包括所有的可能事件，所以它们是互斥事件但不是对立事件．
