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第十章
概率
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型课时作业45 古典概型
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．(多选)下列是古典概型的是( CD )
A．任意抛掷两枚骰子所得点数之和作为样本点时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币，反面向上
解析：A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项满足古典概型的有限性和等可能性，故D是．
2．一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有一个红球的概率为( A )
A. B.
C. D.
解析：由题意知：白球有5－3＝2(个)．
记三个红球为：A，B，C；两个白球为：a，b，
一次摸出2个球所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，至少有一个红球的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，共9种，∴所求概率P＝.
3．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( C )
A. B.
C. D.
解析：甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故所有可能的结果有5×5＝25(种)，“心有灵犀”的情况包括：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共13种，故他们“心有灵犀”概率为.
4．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，恰好是两面涂色的概率是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：由题可得：大正方体的最上层有4个恰好是两面涂色的小正方体，大正方体的中间一层及最底层都有4个恰好是两面涂色的小正方体，所以恰好是两面涂色的小正方体个数为4×3＝12(个)，所以从这些小正方体中任取一个，恰好是两面涂色的概率是P＝＝.
5．某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：此人从小区A前往H的所有最短路径为：A→G→O→H，A→E→O→H，A→E→D→H，共3个．记M＝“此人经过市中心O”，则M包含的样本点为：A→G→O→H，A→E→O→H，共2个．∴P(M)＝，即他经过市中心的概率为.
6．下列命题中正确的命题有( A )
(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
(2)从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；
(3)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么每个同学当选的可能性相同；
(4)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由题意，(1)中，因为某袋中装由大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，红球出现的概率是，黑球出现的概率为，白球出现的概率为，所以每种颜色的球被摸到的概率不相同，所以不正确；
(2)中，从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0的概率为；不小于0的概率为，所以不相同，故不正确；
(3)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么男同学被选中的概率为，每位女同学被选中的概率为，所以每个同学当选的可能性不相同，所以是不正确的；
(4)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性是相同的，所以不正确，故选A.
二、填空题
7．过点O(0,0)作直线与以点(4，8)为圆心，半径长为13的圆相交，若在被截弦长为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则被截弦长长度不超过14的概率为.
解析：由题意可知，最长弦为圆的直径：2r＝2×13＝26.
∵O(0,0)在圆内部且圆心到O的距离为＝12，
∴最短弦长为：2×＝10，
∴弦长为整数的直线的条数有：2×(25－10)＋2＝32(条)．
其中长度不超过14的条数有：2×(14－10)＋1＝9(条)，
∴所求概率：P＝.
8．盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为.
解析：由题可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，所以根据等可能事件的概率得到P＝＝.
9．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为.
解析：从正方形四个顶点A，B，C，D及其中心O这5个点中，任取2个点，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，O)，(B，C)，(B，D)，(B，O)，(C，D)，(C，O)，(D，O)共10种情况，这2个点的距离不小于该正方形边长的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(A，D)，(A，C)，(B，D)共6种情况，∴这2个点的距离不小于该正方形边长的概率P＝＝.
三、解答题
10．袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的两个黑球和编号为c，d，e的三个红球，从中任意摸出两个球．
(1)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；
(2)求至少摸出1个黑球的概率．
解：(1)记事件A＝“恰好摸出1个黑球和1个红球”，该试验样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，共10个样本点，A＝{(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)}，共6个样本点，由古典概型的概率公式可知，P(A)＝＝；
(2)事件B＝“至少摸出1个黑球”，则B＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)}，共7个样本点，由古典概型的概率公式可知，P(B)＝.
11．东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20,70]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：
(1)求频率分布直方图中x的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数m(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(2)为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层随机抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．
①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：
年龄
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
人数
②若从年龄在[30,50)的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[30,40)的概率．
解：(1)由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1，得x＝0.025，
在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数为：
＝25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.4＋65×0.25＝52，
设中位数为m，由0.05＋0.1＋0.2＋(m－50)×0.04＝0.5，
解得m＝53.75.
(2)①每组应各抽取人数如下表：
年龄
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
人数
1
2
4
8
5
②根据分层随机抽样的原理，年龄在[30,40)有2人，在[40,50)有4人，设在[30,40)的是a1，a2，在[40,50)的是b1，b2，b3，b4，列举选出2人的所有可能如下：
(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)共15种情况．
设A＝“这2人至少有一人的年龄在区间[30,40)”，则包含：
(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)9种情况，则P(A)＝＝.
——能力提升类——
12．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数有2×3＝6(种)，其两数之和为4的情况有两种：(2,2)，(1,3)，所以这两数之和等于4的概率P＝＝，故选B.
13．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，故他们选择相同颜色运动服的概率为＝，故选A.
14．小李在做一份调查问卷，共有4道题，其中有两种题型，一种是选择题，共2道，另一种是填空题，共2道．小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为；小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为.
解析：将2道选择题依次编号为1,2；2道填空题依次编号为4,5.从4道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,4)}，包含12个样本点．设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)}，包含8个样本点，所以P(A)＝＝；
从4道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,4)，(5,5)}，包含16个样本点．
设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由A知所选的题不是同一种题型的样本点共8个，所以P(B)＝＝.
15．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，60件，30件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一个样本量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了2件．
(1)应从甲、丙两个车间的产品中分别抽取多少件，样本量n为多少？
(2)设抽出的n件产品分别用A1，A2，…，An表示，现从中随机抽取2件产品．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M＝“抽取的2件产品来自不同车间”，求事件M发生的概率．
解：(1)由已知得甲、乙、丙三个车间抽取产品的数量之比是4?2?1，由于采用分层随机抽样的方法乙车间的产品中抽取了2件产品，因此应从甲、丙两个车间分别抽取4件和1件，样本量n为7.
(2)①从抽出的7件产品中随机抽取两件产品的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A1，A7)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A2，A7)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A3，A7)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A4，A7)，(A5，A6)，(A5，A7)，(A6，A7)，共21种．
②不妨设抽出的7件产品中，来自甲车间的是A1，A2，A3，A4，来自乙车间的是A5，A6，来自丙车间的是A7，则从7件产品中抽取的2件产品来自不同车间的所有可能结果为(A1，A5)，(A1，A6)，(A1，A7)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A2，A7)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A3，A7)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A4，A7)，(A5，A7)，(A6，A7)，共14种．
所以，事件发生的概率为P(M)＝＝.
