课时作业47 事件的相互独立性
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是( A )
A．“两次得到的点数和是12”
B．“第二次得到6点”
C．“第二次的点数不超过3点”
D．“第二次的点数是奇数”
解析：“第二次得到6点”“第二次的点数不超过3点”“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立，故选A.
2．(多选)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( AB )
A．A与B相互独立
B．A与C相互独立
C．A与C互斥
D．A与B互斥
解析：由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥．
3．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为P，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则P＝( A )
A．0.4
B．0.6
C．0.1
D．0.2
解析：由题意可得该同学本次测试不合格，即三次投篮均未投中的概率为(1－P)3＝1－0.784＝0.216.解得：P＝0.4.
4．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：
①事件A与事件B相互独立；
②事件B与事件C相互独立；
③事件C与事件A相互独立．
以上命题中，正确的个数是( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝，
因为P(AB)＝＝P(A)P(B)，故A，B相互独立；
因为P(AC)＝＝P(A)P(C)，故A，C相互独立；
因为P(BC)＝＝P(B)P(C)，故B，C相互独立．综上，选D.
5．事件A，B是相互独立的，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(B)＝0.18；③P(A)＝0.28；④P( )＝0.42.其中正确的有( A )
A．4个
B．2个
C．3个
D．1个
解析：事件A，B是相互独立的，由P(A)＝0.4，P(B)＝0.3知：在①中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正确；在②中，P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正确；在③中，P(A)＝P(A)P()＝0.4×0.7＝0.28，故③正确；在④中，P()＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42，故④正确．
6．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%,3%,5%,3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率约为( D )
A．22.5%
B．15.5%
C．15.3%
D．12.4%
解析：四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品．设事件A＝“加工出来的零件是次品”，则P()＝(1－2%)(1－3%)(1－5%)(1－3%)≈87.6%，故加工出来的零件的次品率约为1－87.6%＝12.4%.
二、填空题
7．甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率分别为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是.
解析：依题意，设A表示“至少有1人破译出密码”，则A的对立事件表示“三人都没有破译密码”，则P(A)＝1－P()＝1－××＝.
8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4?1获胜的概率是0.18.
解析：前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4?1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4?1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，综上所述，甲队以4?1获胜的概率是P＝0.108＋0.072＝0.18.
9．已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝；P(
)＝.
解析：因为P(A)＝，P(B)＝，
P()＝，P()＝，
所以P(A)＝P(A)P()＝×＝，
P(
)＝P()P()＝×＝.
三、解答题
10．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.
已知各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题被淘汰的概率．
解：(1)记Ai(i＝1,2,3,4)＝“该选手能正确回答第i轮的问题”，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.
该选手被淘汰的概率：
P＝P(1＋A12＋A1A23＋A1A2A34
)
＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3
)＋P(A1)P(A2)P(A3)·P(4)
＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.
(2)
P＝P(A12＋A1A23＋A1A2A34)
＝P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3
)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)
＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8
＝0.576.
11．某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试.
现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表.
规定：数据≥60，体质健康为合格.
等级
数据范围
男生人数
男生平均分
女生人数
女生平均分
优秀
[90,100]
5
91.3
2
91
良好
[80,89]
4
83.9
4
84.1
及格
[60,79]
8
70
11
70.2
不及格
60以下
3
49.6
3
49.1
总计
——
20
75.0
20
71.9
(1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；
(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级优秀的概率．
解：(1)样本中合格的学生数为：5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，样本总数为：20＋20＝40，这名学生体质健康合格的概率为＝.
(2)设事件A＝“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，
P(A)＝＝.
事件B＝“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，
P(B)＝＝.
因为A，B为独立事件，
故所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)[1－P(B)]＋(1－P(A))P(B)＝×＋×＝.
——能力提升类——
12．科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲每次通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，故所求概率为(1－)2×＝.
13．在一只布袋中有形状大小一样的32颗棋子，其中有16颗红棋子，16颗绿棋子．某人有放回地依次从中摸出1颗棋子，则第1次摸出红棋子，第2次摸出绿棋子的概率是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意，有放回地依次从中摸出1颗棋子，则第1次摸出红棋子的概率是＝，第2次摸出绿棋子的概率是，根据相互独立事件的概率公式可得，第1次摸出红棋子，第2次摸出绿棋子的概率是P＝×＝.
14．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768.
解析：至少连续2天预报准确包含3种情况：
①三天都预报准确，其概率为0.83＝0.512；
②第一、二天预报准确，第三天预报不准确，其概率为0.82×0.2＝0.128；
③第一天预报不准确，第二、三天预报准确，其概率为0.2×0.82＝0.128.
∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是P＝0.512＋0.128＋0.128＝0.768.即所求概率为0.768.
15．如图所示，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作；系统N1，N2正常工作的概率分别为P1，P2.
(1)若元件A、B、C正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.8，求P1，P2；
(2)若元件A、B、C正常工作的概率都是P(0
解：(1)设A＝“元件A正常工作”，B＝“元件B正常工作”，C＝“元件C正常工作”，则A，B，C相互独立．P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8，故P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.5×0.6×0.8＝0.24，
P2＝P(A)[1－P(
)]＝0.5×(1－0.4×0.2)＝0.46.
(2)P(A)＝P(B)＝P(C)＝P，P1＝P(ABC)
＝P(A)P(B)P(C)＝P3，
P2＝P(A)[1－P(
)]＝P[1－(1－P)2]，
P1－P2＝P3－P[1－(1－P)2]＝2P3－2P2
＝2P2(P－1)，
又0第十章
概率
10.2 事件的相互独立性