高一数学人教A版必修1课件：3.2.2 函数模型的应用实例 课件（共43张PPT）

学习目标：
1、找出简单的实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数解决实际问题；
2、综合运用所学函数建立分段函数模型，并对实际问题加以解答.
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间关系如图所示
(1)求图中阴影部分的面积，
说明所求面积的实际含义；
解：（1）阴影面积为：
50×1+80×1+90×1+75 ×1+65 ×1=360
含义：表示汽车5小时内行驶的路程为360km。
分段函数模型
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间，关系如图所示
(2)根据图表请写出速率 v 关
于时间 t 的函数关系式；
从图上很明显看出汽车在每一小时
都有固定速率，而进入下一小时后
速率则变为另一个固定值，
这是很明显的分段函数特征。
一次函数模型
（3）假设这辆汽车的里程表在汽车
行驶这段路程前的读数为2004km，
试建立汽车行驶这段路程时汽车里
程表读数 s(km)，与时间 t (h)的函数
解析式，并作出相应图象。
分段函数模型
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本
为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量
的关系如表所示
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能
获得更大利润？
单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销量/桶
480
440
400
360
320
280
240
构建函数模型
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本
为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量
的关系如表所图示，求最大利润？
单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销量/桶
480
440
400
360
320
280
240
解：由表可得，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。
设销售单价定为x元，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为：
480-40(x-6)=720-40x（桶）
由x>5，且720-40x>0，即5y=(x-5)(720-40x) -200=-40x2+920x-3800，5易得，当x=11.5时，y有最大值。
答：只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本
为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量
的关系如表所图示，求最大利润？
单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销量/桶
480
440
400
360
320
280
240
函数拟合
相关练习P90 第12题
2、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水位h的关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
H
h
V
A
B
C
D
B
o
一次函数模型
二次函数模型
【题型归纳】 建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际
中的最优化问题。注意：一定要注意自变量的取值范围，根据
图象的对称轴与x所取区间之间的位置关系讨论求解.
1、用长度为24m的材料围成一个矩形家禽养殖场，要使矩形面积最大，则矩形的长为( )
A、3 B、4 C、6 D、12
C
变式：如图，若要在场地中间再加两道隔墙，则隔墙长为多少时面积最大？
即隔墙长 3m时，面积最大.
x
随堂练习
指数函数型
例4. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：
y=y0ert,
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
表3-8是1950~1959年我国人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
61456
62828
64563
65994
67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解： （1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.
由 55196（1+r1）=56300，
可得1951年的人口增长率
r1≈0.0200.
同理可得，
r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，
r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
r8≈0.0222，r9≈0.0184.
于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为
r=（r1+r2+… +r9）÷9≈0.0221.
令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
y=55196e0.0221t，t∈N.
根据表3-8中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t（t∈N）的图象（图3.2-9）.
1
2
3
4
5
t
s
O
5000
5500
6000
6500
7000
6
9
7
8
由图3.2-9可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将y=130000代入
y=55196e0.0221t（t∈N），
由计算器可得
t≈38.76.
所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
函数拟合问题
例6. 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值
如表3-10.
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据表3-10提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
分析：根据表3-10的数据画出散点图（图3.2-10）
O
y
x
观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y与身高x的函数关系.
思考：散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型.
解： （1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图3.2-10.
O
y
x
根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重与身高关系的函数模型.
如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y=a·bx得：
用计算器算得
这样，我们就得到一个函数模型：
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3.2-11）
O
y
x
可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）将x=175代入y=2×1.02x，得
y=2×1.02175，
由计算器算得
y≈63.98.
由于 78÷63.98≈1.22>1.2，
所以，这个男生偏胖.
建立函数模型解决实际问题的基本过程；
收集数据
画散点图
选择函数模型
求函数模型
用函数模型解释实际问题
检验
不符合实际
符合实际