人教版九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角教案

第二十四章
圆
24.1
圆的有关性质
24.1.3
弧、弦、圆心角
一、教学目标
1．掌握圆的旋转不变性，理解圆心角的概念．
2．理解和掌握弧、弦、圆心角之间的关系．
二、教学重点及难点
重点：弧、弦、圆心角之间的关系及其应用．
难点：探索弧、弦、圆心角之间的关系．
三、教学用具
多媒体课件，三角板、直尺、圆规。
四、相关资源
五、教学过程
【合作探究，形成知识】
1．剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
师生活动：学生拿课前准备好的圆形纸片操作，小组交流、讨论；教师用多媒体课件演示，引导学生得到
（1）圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，圆具有旋转不变性．
（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
2．按下面的步骤做一做：
（1）在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；
（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图所示，圆心固定；
注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与O′A′重合时，OB与O′B′不能重合．
（3）将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．
问题1
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．
师生活动：教师叙述步骤，同学们一起动手操作、探究，在学生操作完毕后，教师指出在上述“做一做”过程中的发现：固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与OA′重合时，由于∠AOB=∠A′O′B′．这样便可得到半径OB与OB′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以与重合，弦AB与弦AB′重合，即，AB=AB′．
问题2
由此你们能探究出弧、弦、圆心角之间的关系吗？
师生活动：由一名学生回答，教师根据学生的回答板书，并用符号语言表示出来．
弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．根据对上述关系的理解，下列命题是正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．
师生活动：学生观察思考、分组讨论，交流各自的意见．教师巡查，指导有困难的学生．由两名小组代表汇报，教师根据学生讨论的结果总结结论．
总结：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
设计意图：讨论的目的是让学生在交流过程中取长补短，有易于学生积极构建自己的认知．证明过程中学生容易借助全等三角形对应边、对应高相等证明，但这里解决不了证明弧相等，采用多媒体演示进行旋转，使学生认识到要证明弧相等，可根据定义证明弧重合．
问题：这个定理中不能忘记哪个前提？如果没有这个前提会怎样？?
师生活动：小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如，可以请同学们画一个只有圆心角相等这一个条件的图．
如图所示，虽然∠AOB=∠A′OB′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题“（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等”中的条件“在同圆或等圆中”是否能够去掉．
设计意图：使学生加深印象，明白这个定理只有在同圆或等圆中才能成立，为解决实际问题打好基础．
【例题分析，深化提升】
例
如图，在⊙O中，，∠ACB=60°．求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
师生活动：让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法．
教师引导：由，得到，△ABC是等腰三角形．由∠ACB=60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC．所以∠AOB=∠AOC=∠BOC．
证明：∵，
∴
AB=AC，△ABC是等腰三角形．
又∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA．
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC．
设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识．
【练习巩固，综合应用】
1．下列图形中表示的角是圆心角的是(　　
)．
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧与
的关系是(　　
)．
A．=2
B．＞2
C．＜2
D．不能确定
3．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=40°，
则∠AOE的度数为　　　　．
4．已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：
（1）如果AB=CD，那么_____________，____________；
（2）如果，那么__________，_______________；
（3）如果∠AOB=∠COD，那么___________，____________；
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，那么OE与OF相等吗？为什么？
师生活动：第(1)(2)(3)问由三名学生思考后回答，第(4)问由一名学生上黑板板演，全班订正，教师补充不足的地方．
设计意图：本练习是本节结论的综合应用，由于在圆中解决有关弦的问题时，常需要作“垂直于弦的直径”，且后面正多边形和圆等内容都涉及构造直角三角形，为给后面学习作铺垫，可以让学生归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等．通过本练习一方面巩固了新知，另一方面也进行了拓展．
5．如图，AB，AC都是⊙O的弦，且∠CAB=∠CBA．求证：∠COB=∠COA．
师生活动：教师鼓励学生独立思考，让学生表述自己的方法．
6．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，BE=BD．求证：．
设计意图：让学生准确掌握圆心角的概念及圆心角、弧、弦之间的关系．
参考答案
1．A
2．A
3．60°
5．证明：∵∠CAB=∠CBA（已知），
∴AC=BC（等角对等边）．
∴∠COA=∠COB（在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角也相等）．
6．证明：∵AB，CD是⊙O的两条直径，
∴∠AOC=∠BOD．
∴．
又BE=BD，
∴．∴．
设计意图：加深对圆心角、弧、弦之间的关系的理解和掌握．
六、课堂小结
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心．
圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．
圆心角、弧、弦关系的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
此知识卡片反映圆心角、弦、弧的关系
设计意图：总结回顾，培养学生的知识整理能力与语言表达能力，帮助学生自我评价学习效果．在PPT上呈现主要内容，更进一步加深学生对所学知识的印象．
七、板书设计
24.1
圆的有关性质——24.1.3
弧、弦、圆心角
1．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
2．圆心角的定义
3．圆心角、弧、弦关系的定理