人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径》教案

第二十四章
圆
24.1
圆的有关性质
24.1.2
垂直于弦的直径
一、教学目标
1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．
2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
二、教学重点及难点
重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．
难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．
三、教学用具
多媒体课件，三角板、直尺、圆规。
四、相关资源
《赵州桥》图片．
五、教学过程
【合作探究，形成知识】
探究圆的对称性
1．学生动手操作
问：大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
师生活动：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．
2．探索得出圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
师生活动：学生总结操作结论，教师强调圆的对称轴是直径所在的直线．
3．问：圆有几条对称轴？
师生活动：学生回答，教师强调圆有无数条对称轴．
4．你能证明这个结论吗？
师生活动：四人一小组，小组合作交流，尝试证明．让学生注意要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上．教师板书分析及证明过程．
设计意图：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法．
探究垂径定理
按下面的步骤做一做，回答问题：
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；
第二步，得到一条折痕CD；
第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂足为点M；
第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B，如图1．
图1
图2
问题1
在上述操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？
师生活动：学生动手操作，观察操作结果，得出结论，看哪个小组做得又快、又好，记入今天的英雄榜．最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解决本节课的又一难点——垂径定理的证明，此时再板书垂径定理及其推理的过程．
证明：如上图2所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB，即OA=OB．因为CD⊥AB，所以△OAM与△OBM都是直角三角形．又因为OM为公共边，所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM．又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称，所以A点和B点关于直线CD对称．所以当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合．因此AM=BM，=．同理可得．
垂直于弦的直径的性质：
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
问题2
你能用符号语言表达这个结论吗？
师生活动：学生尝试将文字转变为符号语言，用数学符号表达定理的逻辑关系．教师更正并板书．
符号语言表达：
设计意图：增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学知识最深刻的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力．
【例题应用
提高能力】
例1
如图，所在圆的圆心是点O，过点O作OC⊥AB于点D．若CD=4
m，弦AB=
16
m，求此圆的半径．
师生活动：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形．在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．
解：设圆的半径为R，由题意可得OD=R－4，AD=8
m．
在Rt△ADO中，，即．
解得R=10（m）．
答：此圆的半径是10
m．
设计意图：增加一道引例，是基础应用题，为课本例题的实际应用作铺垫，有过渡作用，不但让学生掌握了知识，又增加了学习数学的兴趣，更体会到成功的喜悦．
例2
如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1
400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37
m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23
m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．
【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
师生活动：此题是垂径定理计算题中的另一种题型，主要考查垂径定理与勾股定理及方程知识的综合应用．教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，提醒学生做好笔记，养成良好的学习习惯．
设计意图：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．
【练习巩固，综合应用】
1．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长为(　
　)．
A．4
　B．8
C．2
D．4
2．如图，将半径为2
cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为______cm．
3．⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，则OP长的取值范围为　　　　　　．
4．已知⊙O中，若弦AB的长为8
cm，圆心O到弦AB的距离（弦心距）为3
cm，求⊙O的半径．
师生活动：教师分析“要求⊙O的半径，只要求出OA的长就可以了，因为已知点O到弦AB的距离为3
cm，所以作OE⊥AB于点E，
AE=EB=AB=4
cm．此时就可以得到一个Rt△AEO”．学生回答，教师板书计算过程．
5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
（1）求证：BC=BD；
（2）若CD=6，求⊙O的半径长．
6．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图1所示，污水水面宽度为60
cm，水面至管道顶部距离为10
cm，问修理人员应准备内径多大的管道？
图1
图2
师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．
参考答案：
1．D
2．2
3．3≤OP≤5
4．解：作OE⊥AB于点E，连接OA．则AE=EB．
∵AB=8
cm，∴AE=4
cm．
又OE=3
cm，∴在Rt△AOE中，．
∴⊙O的半径为5
cm．
教师引导：弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样．求圆的半径问题，首先要利用弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，然后和勾股定理联系起来．
5．解：（1）如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴CH=DH，BC=BD．
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r，
则OH=r．
∵CD=6，
∴CH=CD=3．
∵∠CHO=90°，
∴OH2＋CH2=CO2，即(r)2＋32=r2．
∴r=2．
故⊙O的半径长是2．
6．解：如图2所示，连接OA，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于点F，
则AE=AB=30
cm．
令⊙O的半径为R
cm，
则OA=R，OE=OF－EF=(R－10)cm．
在Rt△AEO中，OA2=AE2＋OE2，即
R2=302＋(R－10)2．
解得R=50．
所以修理人员应准备内径为100
cm的管道．
设计意图：加深对勾股定理基本图形的认识，进一步体会利用垂径定理与直角三角形的知识解决实际问题．
六、课堂小结
师生活动：教师出示小结的问题，学生两人一组交流讨论，然后班内交流，不足之处教师给予补充．
问题1
从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理及其推论．
问题2
从方法上学习了什么？
（1）垂径定理和勾股定理的结合．
（2）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线：
①过圆心作垂直于弦的线段；
②连接半径．
设计意图：总结回顾所学内容，让学生学会归纳、反思，提炼解决问题的方法．
七、板书设计
24.1
圆的有关性质——24.1.2
垂直于弦的直径
1．圆的轴对称性
2．垂径定理及其推论