(共36张PPT)
复习回顾
正弦定理：
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。
AAS
（2）已知两边和一边的对角。SSA
千岛湖
3.4km
6km
120°
）
情景问题
?
千岛湖
千岛湖
情景问题
3.4km
6km
120°
）
?
3.4km
6km
120°
A
B
C
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，∠B=120o，求
AC
用正弦定理能否直接求出
AC？
）
C
B
A
a
b
c
c2
＞
a2+b2
c2
＜
a2+b2
看一看想一想
直角三角形中的边a、
b不变，角C进行变动
勾股定理仍成立吗？
c2
=
a2+b2
是寻找解题思路的最佳途径
c=
c2=
=
算一算试试！
联想
C
B
A
c
a
b
﹚
﹚
探
究：
若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB
边
c.
C
B
A
c
a
b
﹚
余弦定理
探
究：
若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB
边
c.
对余弦定理，还有其他证明方法吗?
证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：
解析法
证明
当角C为锐角时
几何法
当角C为钝角时
余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。
证明
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,
作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后
自己完成。
余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC
你能用文字说明吗？
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
归纳
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC
变形
归纳
想一想：
余弦定理在直角三角
形中是否仍然成立？
a2+b2=c2
问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？
勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
问题2：公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美;
剖
析
定
理
（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）
剖析
思考：
已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？
如：已知b=4,c=
,C=60°求边a.
（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？
剖
析
定
理
剖析
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求
AC
解决实际问题
解：由余弦定理得
答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24
km.
剖
析
定
理
分析：
剖析
（1）已知三边
求三个角
SSS
问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
SAS
剖
析
定
理
剖析
练习1.
C
练习2.
练习3.
C
会用才是真的掌握了
余弦定理在解三角形
中能解决哪些问题？
角边角
角角边
边边角
边角边
边边边
正弦定理
余弦定理
运用
2、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断△ABC的形状.
A
D
C
B
)300
)450
3、如图所示，已知BD=3，DC=5，∠B=300，∠ADC=450，求AC的长。
例题讲解
1、在△ABC中,若a＝10，b＝12，c＝9，解这个三角形。
练一练：
变一变：
再练：
2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A=
，求BC的长。
3、以2、3、X为三条边，构成一个锐角三角形，
求X的范围。
继续练
思考：
（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状
分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。
（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积
2.余弦定理
3.由余弦定理知
1.证明定理:
课堂小结
向量法、解析法、几何法
（1）已知三边求三个角；（SSS）
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
(SAS)
5.余弦定理的作用
（3）判断三角形的形状，求三角形的面积
4.余弦定理适用于任何三角形
课后作业：
1.
在△ABC中,
已知b＝4,
c＝10,
B＝30o,
解这个三角形。
2.
设x、x＋1、x＋2是钝角三角形的三边
长，求实数x的取值范围.
3.
在△ABC中,
A＝60o,
a＝1,
b＋c＝2,
判
断△ABC的形状.
4.
三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所
夹的角的余弦为方程5x2－7x－6＝0的根，
求这个三角形的面积.(共18张PPT)
复习目标：
1、进一步熟悉正余弦定理内容;
2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化;
3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状;
4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。
复习重点：利用正余弦定理进行边角互换
难点：
1、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向
2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系
的寻求。
正、余弦定理
复习回顾
正弦定理：
可以解决几类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。
AAS
（2）已知两边和一边的对角。SSA
（1）已知三边求三个角；（SSS）
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
(SAS)
余弦定理的作用
（3）判断三角形的形状，求三角形的面积
解三角形中常用的关系式:
角平分线性质
圆内接四边形对角互补
由余弦定理易得:
三角形面积计算公式
练习题
A
2、在△ABC中，bcosA=acosB,则三角形为
A、直角三角形
B、锐角三角形
C、等腰三角形
D、等边三角形
C
3、在△ABC中，若a=6,b=7,c=8,则△ABC的形状是
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、无法确定
A
5、在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB,则△ABC为
A、等边三角形
B、直角三角形
C、等腰三角形
D、等腰三角形或直角三角形
C
（事实上，C为钝角，只有C项适合）
D
6、在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于
A、30o
B、60o
C、120o
D、150o
D
C
等腰三角形
10、在△ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB,则△ABC是_______________
钝角三角形
等腰三角形
锐
例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。
解：连接BD
（例1变式）
（三维）
（例1变式）
三角形ABC是正三角形
（三维）
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形
tanA=tanB=tanC
∴△ABC是等边三角形
（例1变式）
小结
1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形
的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有
一边)，那么这个三角形一定可解。
2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即
利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角
的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。
3、判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变
形。一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦
定理结合使用;另一个方向是角，走三角变形之路，
通常是运用正弦定理，要注意边角转化的桥梁----
正、余弦定理。
4、根据条件选用定理可使解题简便
1)已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理，
如已知A,B,a解三角形，则用正弦定理。
2)已知三边a,b,c,一般选用余弦定理求角
3)已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边
再用正弦定理求角。
4)已知两边和一边的对角，用正弦定理求一个角，
但需要进行讨论，有两解的可能。(共27张PPT)
正弦定理
复习三角形中的边角关系
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系
大角对大边，小边对小角
（一）三角形中的边角关系
（二）直角三角形中的边角关系
（角C为直角）
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系
探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？
正弦定理及其应用
1、正弦定理形式的提出
正弦定理的推导：
证明：如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，
BD为直径,
则
∠A=∠D,
证明：
类似可推出，三角形为钝角三角形时，以上关系式仍然成立．
2、正弦定理的向量证明
想一想：如何用向量法证明正弦定理？
BA在Y轴上的投影为
CA在Y轴上的投影为
公式变形式：
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a:b:c=sinA:sinB:sinC
利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下
两类问题：
1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。AAS
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。SSA
(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)
例1.
在△ABC中，已知c=10，A=45o
，C=30o，求a
,
b和B.
随堂练习
D
C
A
解：由正弦定理：
为什么有两解的情况？
A是锐角时
知识归纳
①已知两角及一边解三角形一定只有一解。
②已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、
aa=bsinA时一解
a>bsinA时
若b>a时两解，b≦a时一解
A为直角或钝角时
a>b时有一解，
一解或两解。
a≦b时无解。
4、在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的___条件。
A、充分不必要
B、必要不充分
C、充分必要
D、不充分也不必要
C
5、在△ABC中，a=18,b=20,A=150o,则满足此条件的三角形的个数是
A、0
B、1
C、2
D、无数个
A
B
例4
在三角形ABC中已知
试判断三角形ABC的形状．
C
3或6
课堂小结：
作用：
1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。
2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
3）可以进行边角之间的互化。
注意：
已知两边和其中一边的对角，求解三角形时,要注意解的取舍。
又A=30o,
B=45o,所以C=105o
例3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。
B=60o或120o,
当B=60o时，C=90o.
当B=120o时，C=30o.
∵b>a,∴B>A=45o,∴有两解B=60o或120o
（例2变式）
所以此三角形为等腰直角三角形
形状。
所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。
练习：
C
D
正弦定理
练习：
∴
等式成立
正弦定理
（2）在
中，若
，则 的形状．
