(共81张PPT)
第二课
数 列
【网络体系】
【核心速填】
1.数列的通项与前n项和的关系
(1)Sn=a1+a2+…+an.
(2)an=
2.等差数列
(1)通项公式：an=a1+_______，
an=am+_______.
(2)前n项和公式：Sn=________=___________.
(n-1)d
(n-m)d
(3)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫作a，b的
等差中项，且有_______.
(4)常用性质：
①若m+n=p+q(m，n，p，q∈N
)，则__________；
②在等差数列{an}中，Sk，S2k-Sk，______，…成等差
数列.
a+b=2A
am+an=ap+aq
S3k-S2k
(5)等差数列的判断
①定义式：______=d(d为常数)；
②等差中项：an+an+2=_____；
③通项公式：an=dn+b；
④前n项和：Sn=an2+bn.
an+1-an
2an+1
3.等比数列
(1)通项公式：an=_____，an=_____.
(2)前n项和公式：
Sn=
a1qn-1
amqn-m
(3)等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的等比中项，且有G2=___或G=_____.
(4)等比数列的性质：
①若m+n=p+q(m，n，p，q∈N
)，则____________；
②在等比数列{an}中，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等比数列.(q≠-1)
ab
am·an=ap·aq
(5)等比数列的判断：
①定义式：______(q为非零常数)；
②等比中项：an·an+2=___；
③通项公式：an=aqn(a，q为非零常数)；
④前n项和：Sn=A-Aqn(A为非零常数，q≠0且q≠1).
【易错提醒】
1.关注an与Sn的关系式的应用
应用an=
解题时，应注意分类讨论的应用，即要注意分n=1和n≥2两种情况进行讨论.
2.重视等差(比)数列的定义
等差(比)数列的定义中都强调从第2项开始，每一项与前一项的差(比)，是同一常数.利用定义法证明等差(比)数列时，要特别注意n的取值范围.
3.忽视等比数列项的符号
等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同，解题时常因忽略这点而致误.
4.求等比数列的前n项和时注意分类讨论
在等比数列的公比不确定的情况下，求其前n项和时应对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
5.找规律，“数清”数列的项数
在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数.如果把数列的项数弄错了，将会前功尽弃.
类型一
数列通项公式的求法
【典例1】(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则此数列的通项公式为an=__________.
(2)写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式.
①a1=1，an+1=2n·an(n≥1)；
②a1=2，an+1=an+3n+2.
【解析】(1)当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.
当n=1时，a1=S1=21-1=1，适合上式.
综上有an=2n-1.
答案：2n-1
(2)①方法一：因为an+1=2n·an，所以
所以
将上述n-1个式子累乘，得
=21+2+3+…+(n-1)，
即an=
(n∈N
).
方法二：an+1=2n·an=2n·2n-1an-1
=…=2n·2n-1·…·22·21a1
=21+2+…+n-1+na1=
所以an=
②因为an+1=an+3n+2，所以an-an-1=3n-1(n≥2).
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=
(n≥2).
当n=1时，
×(3×1+1)=2=a1，a1符合公式，
所以an=
【延伸探究】典例1(1)中的条件“Sn=2n-1”改为“Sn=3n2-2n+1”，结果如何？
【解析】当n=1时，a1=S1=3×12-2×1+1=2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5，
显然当n=1时，不满足上式.
故数列的通项公式为an=
【方法技巧】数列通项公式的求法
(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.
(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an=
求解.
(3)累加或累乘法
形如an-an-1=f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如
=f(n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式.
【拓展延伸】用待定系数法由递推公式求通项公式
(1)基本思路
把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式.
(2)具体方法
在递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造
数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之
成为等差或等比数列.例如an=can-1+d(c≠0，c≠1)的
递推关系式，在递推关系式两端同时加上A，
an+A=can-1+d+A，即an+A=
令A=
，解出A，此时数列{an+A}是等比数列，可解.
【变式训练】若a1=1，Sn=
an，则通项an=____.
【解析】由题设知，a1=1.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
所以
所以
以上n-1个式子的等号两端分别相乘，
得到
又因为a1=1，所以an=
a1=1也符合此式，所以an=
答案：
类型二
等差数列、等比数列的判定
【典例2】(1)已知数列{an}，则有( )
A.若an2=4n，n∈N
，则{an}为等比数列
B.若an·an+2=
，n∈N
，则{an}为等比数列
C.若am·an=2m+n，m，n∈N
，则{an}为等比数列
D.若an·an+3=an+1·an+2，n∈N
，则{an}为等比数列
(2)在数列{an}中，a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且n∈N
).
①求a2，a3的值.
②设bn=
(n∈N
)，证明：{bn}是等差数列.
【解析】(1)选C.若a1=-2，a2=4，a3=8，满足an2=4n，
n∈N
，但{an}不是等比数列，故A错；若an=0，满足
an·an+2=
，n∈N
，但{an}不是等比数列，故B错；
若an=0，满足an·an+3=an+1·an+2，n∈N
，但{an}不是
等比数列，故D错；若am·an=2m+n，m，n∈N
，则有
=2，则{an}是等比数列.
(2)①因为a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且n∈N
)，所以a2=2a1+22+3=1，a3=2a2+23+3=13.
②对于任意n∈N
，
因为
=
[(2n+1+3)-3]=1，
所以数列{bn}是首项为
=0，公差为1的等差数列.
【方法技巧】等差数列、等比数列的判断方法
(1)定义法：an+1-an=d(常数)?{an}是等差数列；
=q(q为常数，q≠0)?{an}是等比数列.
(2)中项公式法：2an+1=an+an+2?{an}是等差数列；
=an·an+2(an≠0)?{an}是等比数列.
(3)通项公式法：an=kn+b(k，b是常数)?{an}是等差数列；an=c·qn(c，q为非零常数)?{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法：Sn=An2+Bn(A，B为常数，n∈N
)?{an}是等差数列；Sn=Aqn-A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N
)?{an}是等比数列.
【变式训练】已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，且lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn=
，n=1，2，3，…，求证数列{bn}为等比数列.
【证明】因为lga1，lga2，lga4成等差数列，
所以2lga2=lga1+lga4=lg(a1·a4)，所以a22=a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d)，
所以d2=a1·d，所以d(a1-d)=0，
所以d=0或d=a1.
①当d=0时，{an}为常数列，{bn}也为常数列，此时数列{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列.
②当d=a1时，
=a1+(2n-1)d=2nd，
因为a1>0，所以d>0，所以bn=
显然bn≠0.
所以
(n≥1)，
此时数列{bn}是首项为b1=
，公比为
的等比数列.
综上可知，数列{bn}是等比数列.
【补偿训练】已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，bn=an+1(n∈N
).
(1)求证：{bn}是等比数列.
(2)求{an}的通项公式.
【解析】(1)因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，即bn+1=2bn.因为b1=a1+1=2≠0，所以bn≠0.所以
=2，所以{bn}是等比数列.
(2)由(1)知{bn}是首项b1=2，公比为2的等比数列，
所以bn=2×2n-1=2n，即an+1=2n，所以an=2n-1.
类型三
数列求和
【典例3】(1)数列{an}中，an=
Sn=9，则n=____.
(2)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.
①求{an}的通项公式.
②求数列{
}的前n项和.
【解析】(1)an=
所以Sn=
=
-1=9，
所以n=99.
答案：99
(2)①方程x2-5x+6=0的两根为2，3，
由题意得a2=2，a4=3，设数列{an}的公差为d，
则a4-a2=2d，故d=
，从而a1=
，
所以{an}的通项公式为an=
n+1.
②设数列{
}的前n项和为Sn，
由①知
则Sn=
两式相减得：
所以Sn=2-
【方法技巧】数列求和的常用方法
(1)公式法.
(2)分组求和法.
(3)倒序求和法.
(4)错位相减法.
(5)裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(6)并项求和法.一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
【变式训练】已知函数f(x)=2x-3x-1，点(n，an)在f(x)的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.
【解析】由题得an=2n-3n-1，
Sn=a1+a2+…+an
=(2+22+…+2n)-3(1+2+3+…+n)-n
【补偿训练】设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13.
(1)求{an}，{bn}的通项公式.
(2)求数列{
}的前n项和Sn.
【解析】(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则依题意有q>0且
解得
所以an=1+×2=2n-1，bn=1×2n-1=2n-1.
(2)
②-①，得Sn=
类型四
函数思想在数列中的应用
【典例4】(1)(2015·益阳高二检测)已知an=
（n∈N
），则在数列的前50项中最小项和最大项分
别是( )
A.a1，a50
B.a1，a8
C.a8，a9
D.a9，a50
(2)已知数列{an}满足a1=0，an+1=
(n∈N
)，则a2015=__________.
【解析】(1)选C.an=
=1+
，因为
>0，
所以y=1+
在(-∞，
)上是减函数，在(
+∞)上为减函数，又8<
<9，
所以1>a1>a2>…>a8，1
所以在数列的前50项中最小项和最大项分别是a8，a9.
(2)由已知条件可推得a2=-
，a3=
，a4=0，a5=
-
，故可知数列{an}的周期为3，所以a2015=a2=
-
.
答案：-
【方法技巧】
1.函数思想在数列中的应用
(1)数列本身就是一种函数，这种函数的定义域是N
(或其子集)，从而表现在图象上就是孤立的点.
(2)数列具有单调性，如等差数列(除去公差为0的情况)，等比数列(如a1>0，q>1).
(3)数列具有周期性，如数列
2.研究数列问题的策略
可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，或解不等式问题.
【变式训练】数列{-2n2+29n+3}中最大项是( )
A.107
B.108
C.108
D.109
【解析】选B.设an=-2n2+29n+3，
则an=-2n2+29n+3=
因为
且n∈N
，
所以当n=7时，an最大，最大值为a7=108.
【补偿训练】已知数列2008，2009，1，-2008，
-2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项之和S2016等于__________.
【解析】由题意得，an+1+an-1=an(n≥2)，an+an+2=an+1，两式相加得an+2=-an-1，所以an+3=-an，所以an+6=an，
即{an}是以6为周期的数列.
因为2016=336×6，a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，
所以S2016=a1+a2+…+a2016=336×0=0.
答案：0
类型五
方程思想在数列中的应用
【典例5】(1)记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3=12，且a22=2a1(a3+1)，则Sn=__________.
(2)已知等比数列中，a1+a3=
10，a4+a6=
，求其第4项及前5项和.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d，依题意有
即
解得
或
因此Sn=
n(3n-1)=
或Sn=2n(5-n)=10n-2n2.
答案：
或10n-2n2
(2)设公比为q，由已知得
即
②÷①得q3=
，即q=
，
将q=
代入①得a1=8，
所以a4=a1q3=8×(
)3=1，
所以S5=
【方法技巧】方程思想在数列中的应用
在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的几个，求另外几个时，往往是设出基本量，建立方程或方程组来解决问题.但需注意数列看作函数时的定义域与一般函数定义域的区别.
【变式训练】等比数列中，
那么公比q=__________.
【解析】因为等比数列{an}中，a3=
，前3项之和
S3=
所以a1+a2=
=3，
所以
整理可得2q2-q-1=0，即(2q+1)(q-1)=0，解得q=1或
q=-
.
答案：1或-
【误区警示】解答本题容易出现直接套用公式
Sn=
，导致漏掉q=1的情况.
【补偿训练】已知等比数列{an}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{an}的前8项和为( )
A.127
B.255
C.511
D.1
023
【解析】选B.因为2a4，a6，48成等差数列，
所以2a6=2a4+48，
所以2a1q5=2a1q3+48，又因为q=2，所以a1=1，
所以S8=
=255.
类型六
分类讨论思想在数列中的应用
【典例6】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n=1，2，…).
(1)求q的取值范围.
(2)设bn=an+2-
an+1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小.
【解析】(1)因为{an}是等比数列，Sn>0，
可得a1=S1>0，q≠0.
当q=1时，Sn=na1>0；
当q≠1时，Sn=
>0，
所以
>0.
所以
或
所以-11.
综上所述，q>-1且q≠0.
(2)由bn=an+2-
an+1得bn=
所以Tn=
Sn，
所以Tn-Sn=
所以当-1或q>2时，Tn>Sn；
当-
当q=-
或q=2时，Tn=Sn.
【方法技巧】分类讨论思想在数列中的应用
(1)涉及等比数列前n项和问题时，需要对公比q进行讨论，在对公比q进行讨论时，除去q=1，q≠1两种情况外，有时还需对01进行讨论，这需认真审题弄清题意，切实做到分类讨论时不漏不重，合情合理.
(2)已知Sn求an时，需对n=1与n≥2两种情况进行讨论.最后需进行验证，能否将通项公式写为一个通式.若能，则写为一个通式；若不能，则需写成分段函数的形式.
(3)在研究与项数有关的问题时，有时需对n是奇数还是偶数进行讨论.
【变式训练】已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)令bn=(-1)n-1
，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)d=2，S1=a1，S2=2a1+d，S4=4a1+6d，
因为S1，S2，S4成等比数列，所以S22=S1S4，
解得a1=1，所以an=2n-1.
(2)
当n为偶数时，Tn=
所以Tn=
当n为奇数时，Tn=
所以Tn=
所以Tn=
【补偿训练】在数列{an}中，a1=1，an·an+1=3n，求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】因为a1=1，an·an+1=3n，
所以a2=3，an+1·an+2=3n+1，所以
=3，
所以a1，a3，a5，…，a2m-1，…是以1为首项，3为公比的等比数列.
a2，a4，a6，…，a2m，…是以3为首项，3为公比的等比数列.
所以当n为奇数2m-1时，
Sn=(a1+a3+a5+…+a2m-1)+(a2+a4+a6+…+a2m-2)=
当n为偶数2m时，
Sn=(a1+a2+a3+…+a2m-1)+a2m
=3m-2+3m=2×3m-2=2×
-2.
所以Sn=(共59张PPT)
第一课
解三角形
【网络体系】
【核心速填】
1.正弦定理
(1)公式表达：___________________.
(2)公式变形：
①a=2RsinA，b=2RsinB，c
=2RsinC；
②sinA=
，sinB=
，sinC=
；
③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；
④
2.余弦定理
(1)公式表达：
a2=_____________，b2=_____________，
c2=_____________.
(2)推论：cosA=_________，cosB=_________，
cosC=_________.
b2+c2-2bccosA
a2+c2-2accosB
a2+b2-2abcosC
3.三角形中的常用结论
(1)a+b>c，b+c>a，c+a>b.
(2)a-b(3)A+B+C=π.
(4)a>b?A>B?sinA>sinB.
(5)a=b?A=B.
(6)A为锐角?cosA>0?a2A为钝角?cosA<0?a2>b2+c2；
A为直角?cosA=0?a2=b2+c2.
(7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC.
(8)
4.三角形中的计算问题
在△ABC中，边BC，CA，AB记为a，b，c，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则
(1)ha=bsinC=______.
(2)hb=csinA=______.
(3)hc=asinB=______.
csinB
asinC
bsinA
(4)
(5)
【易错提醒】
解三角形中易忽视的三点
(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围.
(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补情况.
(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情况.
类型一
利用正、余弦定理解三角形
【典例1】(1)△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=
，BC=
，则
等于( )
(2)在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos
2A=
，sinB=
①求A+B的值；
②若a-b=
-1，求a，b，c的值.
【解析】(1)选C.因为AB=2，
所以BC2=AB2+AC2，
所以A=
，所以BC为圆的直径，O为斜边BC的中点，
所以CO=BO=AO=
BC=
，又AC=
，
设∠AOC=α，由余弦定理得cosα=
则
(2)①因为A，B为锐角，sinB=
所以cosB=
又因为cos
2A=1-2sin2A=
所以sinA=
，cosA=
所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
因为0②由①知C=
，所以sinC=
由正弦定理
得
即a=
b，c=
b.因为a-b=
-1，所以
b-b=
-1，所以b=1，所以a=
，c=
.
【方法技巧】应用正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角(如a，B，C)
正弦定理
由A+B+C=180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△ABC=
acsinB；在有解时只有一解
已知条件
应用定理
一般解法
两边和夹角(如a，b，C)
余弦定理正弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180°求出另一角；S△ABC=
absinC；在有解时只有一解
三边(a，
b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A，B；再利用A+B+C=180°，求出角C；S△ABC=
absinC；在有解时只有一解
已知条件
应用定理
一般解法
两边和其中一边的对角(如a，b，A)
正弦定理
由正弦定理求出角B；由A+B+C=180°，求出角C；再利用正弦定理求出第三边c；S△ABC=
absinC；可有一解、两解或无解
【变式训练】在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2
，
=4，2sinBcosC
=sinA，求A，B及b，c.
【解析】因为
=4，
所以
=4.所以
所以sinC=
.又因为C∈(0，π)，所以C=
或C=
由2sinBcosC=sinA，得2sinBcosC=sin(B+C)，
即sin(B-C)=0.
所以B=C，所以B=C=
，A=π-(B+C)=
由正弦定理
，得
【补偿训练】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=45°，b=
，cosC=
(1)求边长a.
(2)设AB的中点为D，求中线CD的长.
【解析】(1)由cosC=
得sinC=
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
由正弦定理得
(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(3
)2+(
)2-
2×3
×
×
=4，所以c=2，在△BCD中.由余弦
定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cosB=12+(3
)2-
2×1×3
×
=13，所以CD=
类型二
判断三角形的形状
【典例2】(1)在△ABC中，已知3b=2
asinB，且cosB=cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
(2)已知在△ABC中，
=c2，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状.
【解析】(1)选D.由3b=2
asinB，得
根据正弦定理，得
所以
，即sinA=
又角A是锐角，所以A=60°.
又cosB=cosC，且B，C都为三角形的内角，
所以B=C，故△ABC为等边三角形.
(2)由
=c2，得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3，
所以a2+b2-ab=c2，所以cosC=
，所以C=60°.
由acosB=bcosA，得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为△ABC外接圆的半径)，所以sin(A-B)=0，所以A-B=0，
所以A=B=C=60°，所以△ABC为等边三角形.
【方法技巧】判定三角形形状的两种途径
(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a=2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA=sinB?A=B，sin(A-B)=0?A=B，sin2A=sin2B?A=B或A+B=
等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=
cosA=
等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.
【变式训练】在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，试判断△ABC的形状.
【解析】方法一：由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，
因为B=60°，所以A+C=120°，A=120°-C，
将其代入上式，得2sin60°=sin(120°-C)+sinC，
展开整理，得
sinC+
cosC=1，
所以sin(C+30°)=1，所以C+30°=90°.
所以C=60°，故A=60°，所以△ABC是等边三角形.
方法二：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，
因为B=60°，b=
，所以(
)2=a2+c2-2accos60°.
所以(a-c)2=0，所以a=c，
所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形.
【补偿训练】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
=k(k∈R).
(1)判断△ABC的形状.
(2)若c=
，求k的值.
【解析】(1)因为
=cbcosA，
=cacosB，
又因为
，所以bccosA=accosB，
所以bcosA=acosB.
方法一：因为bcosA=acosB，所以sinBcosA=sinAcosB，
即sinAcosB-sinBcosA=0，所以sin(A-B)=0.
因为-π所以△ABC为等腰三角形.
方法二：因为bcosA=acosB，所以
所以b2+c2-a2=a2+c2-b2，所以a2=b2，所以a=b.
故此三角形是等腰三角形.
(2)由(1)知a=b，所以
=bccosA=bc·
=
=k.因为c=
，所以k=1.
类型三
正、余弦定理的实际应用
【典例3】已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20
海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？
【解析】如图所示，在△ABC中，
依题意得BC=20
海里，
∠ABC=90°-75°=15°，
∠BAC=60°-∠ABC=45°.
由正弦定理，得
所以AC=
=10(
)(海里).
过点A作AD⊥BC.
故A到航线的距离为AD=ACsin60°=10(
)×
=(
)(海里).
因为
>8，所以货轮无触礁危险.
【方法技巧】正、余弦定理在实际应用中应注意的问题
(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图.
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等.
(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形.
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.
(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位.
【变式训练】如图，为了解某海域海底
构造，在海平面内一条直线上的A，B，
C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，
于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值.
【解析】如图，作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M，
DF=
DE=
EF=
在△DEF中，由余弦定理得：
cos∠DEF=
【补偿训练】如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为__________km.
【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以∠B+∠D=π，由余弦定理得AC2=52+32-2×5×3cosD=34-30cosD，
AC2=52+82-2×5×8cosB=89-80cosB，
由cosB=-cosD，得
，解得AC=7.
答案：7
类型四
正、余弦定理与三角函数的综合
【典例4】(2019·陕西模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a，
b)与n=(cosA，sinB)平行.
(1)求A.
(2)若a=
，b=2，求△ABC的面积.
【解析】(1)因为m∥n，所以asinB-
bcosA=0，
由正弦定理得sinAsinB-
sinBcosA=0，
又sinB≠0，从而tanA=
，由于0.
(2)方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，
而a=
，b=2，A=
，得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0，
因为c>0，所以c=3.故△ABC的面积为
bcsinA=
方法二：由正弦定理得
，从而sinB=
又因为a>b，所以A>B，所以cosB=
所以sinC=sin(A+B)=
所以△ABC的面积为
【方法技巧】正、余弦定理与三角函数综合应用的处理策略
(1)首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的.
(2)利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简.
【变式训练】(2019·武汉高一检测)如
图，经过村庄A有两条夹角为60°的公
路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM=PN=MN=2(单位：千米).如何设计，可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
【解析】设∠AMN=θ，0°<θ<120°，在△AMN中，
因为MN=2，所以AM=
sin(120°-θ)，
在△APM中，cos∠AMP=cos(60°+θ)，
AP2=AM2+MP2-2MP·AMcos∠AMP
=
sin2(120°-θ)+4-2×2×
sin(120°-θ)
cos(60°+θ)
=
sin2(60°+θ)-
sin(60°+θ)cos(60°+θ)+4
=
[1-cos(2θ+120°)]-
sin(2θ+120°)+4
=-
[
sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+
=
-
sin(2θ+150°)，0°<θ<120°，
当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2
，
答：当∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.
【补偿训练】如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.
问：当∠AOB为多少时，四边形OACB的面积最大？
【解析】设∠AOB=α.
在△AOB中，由余弦定理，得
AB2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα.
所以四边形OACB的面积为
S=S△AOB+S△ABC=
OA·OBsinα+
AB2
=
×2×1×sinα+
(5-4cosα)
=sinα-
所以当sin(
)=1时，S有最大值.
因为0<α<π，
所以
故当∠AOB=
π时，四边形OACB的面积最大.(共60张PPT)
第三课
不 等 式
【网络体系】
【核心速填】
1.比较两实数a，b大小的依据
a-b>0?____.a-b=0?____.a-b<0?____.
a>b
a=b
a2.不等式的性质
<
>
>
>
>
>
<
性质1
如果a>b，那么b__a；如果bb?b性质2
如果a>b，b>c，那么a__c，即a>b，b>c?a__c.
性质3
如果a>b，那么a+c__b+c.
性质4
如果a>b，c>0，那么ac__bc，
如果a>b，c<0，那么ac__bc.
>
>
>
性质5
如果a>b，c>d，那么a+c__b+d.
性质6
如果a>b>0，c>d>0，那么ac__bd.
性质7
如果a>b>0，那么an__bn，(n∈N
，n≥1).
性质8
如果a>b>0，那么
(n∈N
，n≥2).
3.一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系
设f(x)=ax2+bx+c，方程ax2+bx+c=0(a>0)的判别式Δ=b2-4ac
判别式
Δ>0
Δ=0
Δ<0
方程
f(x)=0的根
(1)求方程f(x)=0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1，x2
没有
实数解
{x|xx2}
R
{x|x1?
?
设f(x)=ax2+bx+c，方程ax2+bx+c=0(a>0)的判别式Δ=b2-4ac
方程
f(x)=0的根
(2)画函数y=f(x)的示意图
(3)得
不等
式的
解集
f(x)>0
____________
_________
__
f(x)<0
___________
__
__
4.二元一次不等式表示的平面区域
Ax+By+C(B>0)
表示对应直线
区域.
5.二元一次不等式组表示的平面区域
每个二元一次不等式所表示的平面区域的_________，
就是不等式组所表示的区域.
__0
__0
>
<
_____
_____
上方
下方
公共部分
6.线性规划中的基本概念
最大值或最小值
不等式组
关于变量的一次函数
名 称
定 义
目标函数
要求_______________的函数，叫做目标函数
约束条件
目标函数中的变量所要满足的_________
线性目标函数
如果目标函数是___________________，则称为线性目标函数
关于变量的一次不等式
(或等式)
最
大值或最小值
最大值或最小值
可行解
名 称
定 义
线性约束条件
如果约束条件是_____________________
_________，则称为线性约束条件
线性规划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的___
_____________问题，称为线性规划问题
最优解
使目标函数达到_______________的点的坐标，称为问题的最优解
可行解
满足线性约束条件的解，叫做可行解
可行域
由所有_______组成的集合叫做可行域
7.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2+b2≥2ab(a，b∈R)
“a=b”时取等号
基本不等式
≤_____(a>0，
b>0)
“a=b”时取等号
【易错提醒】
（1）求解一元二次不等式时注意讨论二次项系数是否为零，容易在解题中忽略.
（2）利用线性规划求最值时容易弄错直线间倾斜角之间的大小关系，要掌握利用斜率的大小判断倾斜角的大小的方法.
（3）利用基本不等式求最值时，注意对式子的整体变换，如果多次利用基本不等式则要保证每一个等号同时取到.
类型一
不等式性质的应用
【典例1】(1)如果a∈R，且a2+a<0，那么a2，a，-a，
-a2的大小关系是( )
A.a2>a>-a>-a2
B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2
D.a2>-a>-a2>a
(2)若A=(x+3)(x+7)，B=(x+4)(x+6)，则A，B的大小关系为__________.
【解析】(1)选B.因为a2+a<0，所以a(a+1)<0，所以
-1，可知-a>a2>-a2>a.
(2)A-B=(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)
=x2+10x+21-(x2+10x+24)=-3<0，所以A答案：A【方法技巧】数或式的大小比较
(1)作差或作商比较法.
(2)找中间量来比较，往往找1或0.
(3)特值法，对相关的式子赋值计算得出结果.
(4)数形结合法，画出相应的图形，直观比较大小.
(5)利用函数的单调性比较大小.
【变式训练】已知a，b为正数，试比较
与
的大小.
【解析】
因为a，b为正数，所以
≥0，当且仅当a=b时取等号.所以
，当且仅当a=b时取等号.
【补偿训练】如果a>b，给出下列不等式：①
②a3>b3；③
④2ac2>2bc2；⑤
>1；⑥a2+b2+
1>ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是_______.
【解题指南】解此类问题主要是依据不等式的性质进行判断，其实质就是看是否满足相关性质所需要的条件.
【解析】①若a>0，b<0，则
，故①不成立；②因为y=x3在x∈R上单调递增，且a>b，故a3>b3，故②成立；③取a=0，b=-1，知③不成立；④当c=0时，2ac2=2bc2，故④不成立；⑤取a=1，b=-1，知⑤不成立；⑥因为a2+b2+1-(ab+a+b)=
[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]>0，所以a2+b2+1>ab+a+b，故⑥成立.
答案：②⑥
类型二
不等式的解法
【典例2】若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0.
(2)b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R.
【解析】(1)由题意知1-a<0且-3和1是方程(1-a)x2-
4x+6=0的两根，所以
解得a=3，所以不等式2x2+(2-a)x-a>0即为2x2-x-3>0，
解得x<-1或x>
.
所以所求不等式的解集为{x|x<-1或x>
}.
(2)ax2+bx+3≥0，即为3x2+bx+3≥0.
若此不等式解集为R，则b2-4×3×3≤0，所以-6≤
b≤6.
【延伸探究】若本例(2)中不等式改为bx2+3x+3≥0，如何求解？
【解析】当b=0时，原不等式化为3x+3≥0，不满足解集为R；
当b≠0时，则
解得b≥
，综上知，b≥
.
【方法技巧】不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
①将不等式化为ax2+bx+c>0(a>0)
或ax2+bx+c<0(a>0)的形式；
②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集.
(2)含参数的一元二次不等式
解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.
【变式训练】(2015·武汉高二检测)已知a<0，解关于x的不等式ax2-(a-2)x-2<0.
【解析】因为a<0，
所以不等式ax2-(a-2)x-2<0
可化为：(ax+2)(x-1)<0，
即(x+
)(x-1)>0，
所以方程(ax+2)(x-1)=0的两根为：x1=
，x2=1，
所以当a<-2时，1>
，
不等式的解集为{x|x<
或x>1}.
当a=-2时，
=1，原不等式可化为(x-1)2>0，其解集为x≠1，
当-2>1，
不等式的解集为{x|x<1或x>
}.
综上：当a<-2时，解集为{x|x<
或x>1}，
当a=-2时，解集为{x|x≠1}，
当-2
}.
【补偿训练】解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.
【解析】原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0，
即
<0.
①当
，即a>0时，
②当
，即a=0时，原不等式解集为?；
③当
，即a<0时，
综上知，当a>0时，原不等式的解集为
当a=0时，原不等式的解集为?；当a<0时，原不等式的
解集为
类型三
线性规划应用问题
【典例3】某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？
【解析】设每盒盒饭需要面食x百克，米食y百克，
所需费用为z=0.5x+0.4y，且x，y满足
作出可行域，如图所示.
由图可知，平行直线系
过点A时，纵截距
z最小，即z最小.由
，解得点A
所以每盒盒饭为面食
百克，米食
百克时，既科学又费用最少.
【方法技巧】解线性规划问题的一般步骤
(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数.
(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域.
(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.
(4)求：通过解方程组求出最优解.
(5)答：作出答案.
【变式训练】若变量x，y满足约束
条件
则z=2x+y的最大值等于( )
A.7
B.8
C.10
D.11
【解析】选C.作出可行域OABCD是3×4的矩形去掉一个直角三角形，其中B(2，3)，C(4，2)，所以当动直线z=2x+y经过点C(4，2)时取得最大值10.
【补偿训练】设x，y满足约束条件
则z=x+4y的最大值为________.
【解析】如图所示的可行域，当目标函数z=x+4y过点B(1，1)时，取得最大值，zmax=1+4×1=5.
答案：5
类型四
应用基本不等式求最值
【典例4】某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.
(1)该船捕捞几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)
(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算，请说明理由.
【解析】(1)设捕捞n年，盈利为y元，则y=50n-
[12n+
×4]-98=-2n2+40n-98.
由y>0，得n2-20n+49<0，
解得10-
，
又n∈N，则3≤n≤17，故捕捞3年后，开始盈利.
(2)①年平均盈利为
=-2n-
+40≤-2
+
40=12，当且仅当2n=
，即n=7时，年平均盈利最大.
故经过7年捕捞后年平均盈利最大，共盈利12×7+26=110万元.
②因为y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102，
所以当n=10时，y的最大值为102.
即经过10年捕捞盈利总额最大，共盈利102+8=110万元.
综上知两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算.
【方法技巧】利用基本不等式求最值的方法
(1)基本不等式常用来求最值：一般a+b≥2
(a>0，
b>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤
解“定和求积，积最大”问题.
(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)=x+
(k>0).一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.
【变式训练】已知正数x，y满足x+2y=1，求
的最小值.
【解析】因为x+2y=1且x>0，y>0.
所以
≥
当且仅当
，即x=
y，又x+2y=1，
即x=
-1，y=
时等号成立.所以
【补偿训练】在下列各函数中，最小值等于2的函数
是( )
【解析】选D.选项A中，x<0时不成立；选项B中，cosx≠1，故最小值不等于2；选项C中，
当x=0时，ymin=2
；选项D中，ex+
-2≥
=2，当且仅当ex=2，x=ln2时，最小值为2.
类型五
转化与化归思想
【典例5】(1)对任意的a∈[-1，1]，函数f(x)=x2+(a-4)x-2a+4的值总大于0，则x的取值范围为( )
A.(1，3)
B.(-∞，1)∪(3，+∞)
C.(-∞，1)
D.(3，+∞)
(2)若对任意x>0，
≤a恒成立，则a的取值范围是__________.
【解析】(1)选B.y=g(a)=(x-2)a+x2-4x+4，
当x=2时，y=0，所以x≠2，只需
即
解得x∈(-∞，1)∪(3，+∞).
(2)因为
当且仅当x=1时取等号，所以a≥
.
答案：a≥
【方法技巧】(1)含参变量的不等式中，求参数取值范围是高考的一大热点，当变量易于分解时，转化为a>f(x)(或a(2)若已知条件等式，求某一代数式的取值范围时，常将其转化为求函数的值域问题或利用基本不等式解决.
【变式训练】设a>0，b>0，且不等式
≥0恒成立，则k的最小值等于( )
A.0 B.4 C.-4 D.-2
【解题指南】可采用分离参数的方法，将k移到不等式的一边，转化为求另一边的最大值问题.
【解析】选C.由
≥0得k≥
，而
≥4(a=b时取等号)，所以
≤
-4，要使k≥
恒成立，只要k≥-4，即k的最小值等于-4.