(共23张PPT)
例1、在等比数列中，填空：
(1)
1，
，
，
，……
中第
15
项是
__________
(2)
2，2
，4，4
，……
中第
____
项是
32
(3)
第
7
项为
，公比为
，则第一项为
________
(4)
a
1
=
－2
且
a
5
=
－162，则
q
=
________
9
10000
±3
等
比
数
列
例2、已知数列
{
a
n
}
中，a
1
=
－2
且
a
n
+
1
－2a
n
=
0，
(1)
求证：
{
a
n
}
是等比数列；(2)
求通项公式。
解:
(1)
由题
a
n
+
1
=
2a
n
故{
a
n
}
是公比为
2
的等比数列
(2)
由
a
1
=
－2
且公比
q
=
2
∴
a
n
=
(－2
)
×2
n
－1
=
－2
n
故
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
=
－2
n
例3、在
8
和
5832
之间插入
5
个数，使它们成等比数列，
求这
5
个数。
故所求数为
24，72，216，648，1944
或
－24，72，
－
216，648，
－
1944
例4、公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数
列，求公比
q
,
∵
q
≠1
故
q
=
3
想一下：本题还又没有其他解法？
练习题
等比数列的性质
类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？
思考：
如果在a与b中间插入一个数G，使a,
G，b成等比数列，那么称这个数G为a与
b的等比中项.
即
(a,b同号)
反之，若
即a,G,b成等比数列.
∴a,
G,
b成等比数列
则
?
(a·b≠0)
讲解范例:
例1.
三个数成等比数列，它的和为14，
它们的积为64，求这三个数.
例2、等比数列
{an}
中，
a
4·a
7
=
－512，
a
3
+
a
8
=
124,
公比q为整数，求a10
法一：直接列方程组求
a
1、q
法二：由
a
4
·
a
7
=
a
3
·
a
8
=
－512
∵
公比
q
为整数
∴
a
10
=
a
3×q
10
－3
=
－4×(-2)
7
=
512
思考:
通项为an＝2n－1的数列的图象与
函数
y＝2x－1的图象有什么关系？
讲解范例:
例4.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数
列，求证{an
·
bn}是等比数列.
思考:
2.
已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，
是等比数列吗？
1.
{an}是等比数列，C是不为0的常数，数列{can}是等比数列吗？
例4.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数
列，求证{an
·
bn}是等比数列.
课堂小结
1.
等比中项的定义；
2.
等比数列的性质；
3.
判断数列是否为等比数列的方法．
a，a+d，a+2d
a,
aq,
aq2
a-3d，a-d，a+d，
a+3d
an=am
+(n-m)
d
an=amqn-m
数
列
等
差
数
列
等
比
数
列
关
系
式
性
质
中
项?
构造三数?
构造四数?(共37张PPT)
2.5
等比数列的前n项和(一)
求等比数列的前30项的和。
(二)问题探究
问题1：这个故事中，地主中计了吗？
到底谁吃亏了？
问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？
问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？
（1000粒米约40克）
40×30=1200（斤）
问题4：这是什么数列求和？求前多少项的和？
现在我们一起来寻找答案。
米粒的总数为:
问题5：如何求出这个和？用计算器怎么样？
问题7：怎样求等比数列的前n项和公式？
问题6：等差数列有求和的公式，那么等比数列是否也有求和的公式呢？若有就直接用公式
时间很长，太麻烦了。
(二)问题探究
问题8：能否类比等差数列前n项和公式的求法？
复习回顾
(2)
在等比数列中若
m+n
=
p+q
,
则
1、等比数列的定义：
=q
(q=0)
2、等比数列的通项公式：
n-1
3、等比数列的性质:
(1)??若
a
,
G
,
b成等比数列
a
a
=
a
a
m
n
p
q
国王奖励国际象棋发明者问题
没问题！！！
1+2+4+8+……+263=?
264-1
超过7000亿吨
二、新课讲解：
根据①式，如何构造另一个式子②？
②
把这两个式子怎么样？
等差数列求和公式的推导
①
①
+
②
得：
倒序相加
(三)方法回顾
的目的：出现相等的项，从而化简
等比数列的前n项和公式
解析1：找个具体的等比数列来检验
问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。
?
(四)类比探究
每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!
所以
解析2：一般地，对于等比数列，因为：
问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。
?
等比数列的前n项和公式
(四)类比探究
无法化简
问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。
?
反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。而是要挖掘此方法的本质（求和的根本目的）。
问题2：求和的根本目的是什么？
答：求和的根本目的是消项。消项后就可化简。
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示。
①
等比数列的前n项和公式
(四)类比探究
①
问题4：类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子②，而要达到消项的目的，就须使两式具有＿＿＿＿
问题3：观察求和的式子①，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？
后项=前项×公比
相同的项
问题5：如何构造式子②？
将式子①的两边都乘以
②
问题6：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？
相减
等比数列的前n项和公式
(四)类比探究
①
-
②
得：
问题7：要求出
，是否可以把上式两边同除以
？
当
时，
①
②
注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！
等比数列的前n项和公式
(四)类比探究
当
q=1
时，
当q≠1时，
则
探究成果：
①
等比数列的前n项和公式
(四)类比探究
等差数列
方法小结：
课后思考：用错位相减法求和时只能乘以公比吗？能否乘以其它的数？
联想我们所学过的知识，即类比＿＿＿＿＿＿＿＿，挖掘其方法的＿＿＿（求和的根本目的是＿＿＿），结合等比数列自身的＿＿＿来构造式子②，再把两式＿＿＿，这种求和方法叫做＿＿＿＿＿＿
求和方法
本质
消项
特征
相减
错位相减
(四)类比探究
问题1：还有其它的推导方法吗？
①
问题2：根据①式的特点，能否建立一个关于
的方程？若能，就可从方程中解出
问题3：①式的左边是
,要建立一个关于
的方程,那就要将①式的右边也用含
的式子来表示。
问题4：观察①式的右边，从第二项开始，每一项都含有因式
，是否可考虑将之提出来？
(五)方程探究
等比数列的前n项和公式
①
问题5：括号里面的，与①式右边对照，少了哪一项？
问题6：括号里面的，怎样用含
的式子表示？
从这个方程解出
问题7：这样就得到了一个什么方程？
问题8：解方程时要注意对＿＿＿＿＿＿进行＿＿。
一元一次方程
未知量的系数
讨论
(五)方程探究
等比数列的前n项和公式
移项，得：
当
q=1
时，
当q≠1时，
①
①
(五)方程探究
等比数列的前n项和公式
(建立方程)
用
表示
注意：方程法是一种重要的数学思想方法！
一部分项提公因式
过程小结：
解方程
根据等比数列求和式子的特点，对其部分项提出公因式＿＿后，可将其用含＿＿＿的式子表示出来，从而建立关于＿＿＿的方程，解此方程即可。
课后思考：对和式①的右边部分，只能提出公比吗？能否提出其它的公因式？
(五)方程探究
(六)熟悉理解等比数列前n项和公式
当q≠1时，
当q＝1时，
①
②
思考1：根据公式①，要求一个等比数列的前n项和，一般要先求出哪些量？
思考2：能否将Sn和用a1,
q,
an来表示？
思考3：什么时候用公式①,
什么时候用公式②?
例1.求下列等比数列前8项的和．
(七)公式的应用
思考：能否用公式②求
？
答：可以。但要先求出公比
和
解题思路：求出公比
后用公式①求
变式1
判断正误：
反思总结:
用公式前，先弄清楚数列的首项
、公比
、项数n
①
②
③
(七)公式的应用
×
×
×
(八)问题解决
问题1：这个故事中，地主中计了吗？
到底谁吃亏了？
问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？
问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？
（1000粒米约40克）
40×30=1200（斤）
地主中计
米粒的总数为:
启示：这个故事告诉我们
(八)问题解决
(九)课堂小结
1.
一个公式：
2.
两种方法：
3.
三种数学思想：
这节课我们主要学到了什么？
错位相减
解方程
类比
方程
分类讨论
2.课外思考题：
(十)作业布置
(2)请从等比数列定义的两种形式出发，分别用不同的方法推导出等比数列前n项和的公式:
形式①
形式②
(1)求数列
的前n项和
1.必做题：P61——A组
1、2、3
例1.求和：
①在等比数列中，已知
中的三个，可求另外两个。
变式2
填空：
反思总结:
②如果不能用公式直接求出某个量，就要建立方程组来求解。
96
189
5
15.5
-4
76.5
1
1.5
-6
5
知三求二
等比数列的前n项和练习1
q
n
第1题
3
2
6
第2题
8
0.5
0.5
第3题
-1.5
4
96
第4题
1.5
3
4.5
第5题
-2
-96
-66
等比数列的前n项和练习2
1.
求等比数列
1，2，4，…从第5项到第10项的和.
从第5项到第10项的和:
2.
求等比数列
从第3项到第7项的和.
从第3项到第7项的和:(共37张PPT)
等差数列与等比数列对比记忆表
等
差
数
列
等
比
数
列
定
义
一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫公差．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列．这个常数叫公比．
an+1-an=d
d
叫公差
q叫公比
an=
a1+(n-1)d
an=a1qn-1
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
等差数列与等比数列对比记忆表
数
列
等
差
数
列
等
比
数
列
定义式
公差（比）
通项公式?
推广形式
公差(比)
a，a+d，a+2d
a,
aq,
aq2
a-3d，a-d，a+d，
a+3d
等差数列与等比数列对比记忆表
数
列
等
差
数
列
等
比
数
列
前n项和公
式
性
质
中
项?
构造三数?
构造四数?
数
列
求
和
介绍求一个数列的前
n
项和的几种方法：
1、运
用
公
式
法
2、错
位
相
减
法
3、裂
项
相
消
法
4、分组求和
法
5、倒序相加
法
一、运用公式法
运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。
如：等差数列的求和公式：
等比数列的求和公式：
还有一些常用公式：
数
例1
求数列
的前n项和
分析：
由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为
、公比为
的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前
n项和与一个等比数列的前n项和的和。
解：
归纳出：奇数列的前n项和
列
求
和
1
分组求和
法
,
+
n
1
练习1:求数列
+
2
3
,
+
的前n项和
。
...
,
2
,
+
cn=an+bn
({an}、{bn}为等差或等比数列。）
分组求和法的反思与小结：
要善于从通项公式中看本质：一个等差{n}
＋一个等比{2n}
，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题。
练习2.求数列2+3,
22
+32
,
23
+33
,
……,
2n
+3n
的前n项和。
二、错
位
相
减
法
错位相减法在推导等比数列求前
n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列求和。
求法步骤如下：
1、在
的两边同时乘于公比q
2、两式相减
；左边为
，右边q的同次式相减
3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的
各项组成等比数列，可用公式求和。
看以下例子
数
列
求
和
例2
求数列
的前n项和
考一本第19课时
分析：
该数列可看作等差数列
等比数列
的积数列
这里等比数列的公比
q
=
解：
两式相减：
所以：
运算整理得：
数
列
求
和
2
例3
设
,求数列
的前n项和
分析：
这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等于1，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需进行分类讨论
解：
两边同乘a:
两式相减：
所以：
运算并整理得：
数
列
求
和
2
cn=an·bn
({an}为等差数列,{bn}为等比数列)
二、错位相减求和法
小结
练习题
考一本P53
习题
三、裂
项
相
消
法
顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。
求
法
步
骤
1、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”成几项。
（注意：裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行）
2、解题时；对裂开后的通项式令n取1，2，3，
,n
然后相加得
3、把和式中每一对相消为0的式子除去，整理剩下的
式子即为和式。
请
看
下
面
例
子
数
列
求
和
例4
求数列
的前n
项和。
分析：
该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3，就可以裂项了。
解：
数
列
求
和
3
例5
求数列
的前n项和
分析：
该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。
注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；
所以使用处理分式函数的常用手段：“分离常数法”即可把分子化为常数。变化如下：
数
列
求
和
3
解：
共
n
项
数
列
求
和
3
（数列{an}是等差数列）
三、裂项相消求和法
小结
注意裂项相消法的关键：
将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
常见的拆项公式：
练习：（求和）
四、倒序相加法
教材P40等差数列前n项的和公式推导即为此法！
例1：已知lg(xy)=a,
求Ｓ＝lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn
与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可先将Sn顺着写，再将Sn倒着写，最后将两个Sn相加。
Ｓ＝lgyn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+…+lgxn
2Ｓ＝lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n+…+lg(xy)n
＝(n+1)lg(xy)n
＝
n(n+1)lgxy
Ｓ＝n(n+1)a/2
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
练习：
1.
求数列
前n项和
2.
求数列
的前n项和
3.
求和：
4.
求和：1×4+2×5+3×6+…+n×(n
+
3)
5.
求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，…，
(1+a+a2+…+an?1)，…的前n项和.
学
有
所
思
举
一
返
三
四、通
项
分
析
法
通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础，对数列的通项公式进行分析，从而决定使用那种方法求和。
求
法
步
骤
1、确定所求和数列的通项公式，必要时，注意使用由已
知数列的前几项，求这数列的一个通项公式的方法
2、分析通项公式时，在确定首项、末项、及项数的同时
还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。
请
看
下
面
例
子
数
列
求
和
例7
求数列
的前n项和
分析：
由数列的结构来分析，该数列的第k项应该是：
通过分析可知：该数列是以
为首项，以
为末项，共有n项的数列。
从通项公式的结构来分析，该数列是一个以2为首项，以2为公比的等比数列与一个常数列的差数列。所以它的前n项和是一个等比数列的前n项和与一个常数为1的常数列的前
n项和的差。
通过这样分析，确定解题方向就方便了
解：
数
列
求
和
4
例8
求和
分析：
这个数列是数列1，2，3.
.
.
n与它的倒序数列的积数列，共有n项，在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了。
(k取从1到n的自然数）
所以，该数列可以看作通项为
的三个数列的差、和数列
解：
数
列
求
和
4
例9
求数列
前n项和
分析：
由
所求数列的每一项都是一个等比数列的和，其第k项
通项公式理解清楚后，现在可以就以上三种情况考虑求和了
该数列是自然数列，求和容易。
n为偶数时
n为奇数时
此时的和式，转化为求数列
的通项公式
解：
数
列
求
和
4
分析：
(
k
取1，2，3、、、n)
所以：
数
列
求
和
4
分析：
所以：
每一项由三个连续自然数的积组成，前后两项有两个因子相同，很自然联想使用裂项相消求和。
对例10的两种解法进行归纳可以清楚看到平时练习时有意识的经验积累，在关键时产生联想是很有帮助的。
数
列
求
和
4
例11
设等差数列
的前n项为
，且
，
若
，求数列
的前n项和
分析：
由已知该数列是等差数列且已知
，所以必能求出通项和前n项和
这样确定
就没问题了。
1、
2、
3、
现在来边解题边研究
解：
数
列
求
和
4
分析：
所以：
求和时，先分n为奇，偶数进行讨论，后考虑并合。
所以：
数
列
求
和
4(共48张PPT)
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
1.等差数列的定义：
2.通项公式：
3.重要性质:
高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？
??
高斯（1777---1855），
德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。
高斯“神速求和”的故事:
首项与末项的和：
1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和：
2＋99
=101，
第3项与倒数第3项的和：
3＋98
＝101，?
·
·
·
·
·
·
第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，
于是所求的和是：
求
S=1+2+3+······+100=？
你知道高斯是怎么计算的吗？
高斯算法：
高斯算法用到了等差数列的什么性质？
如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。
即求：S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法：
S=（4+10)
+（5+9）+（6+8）+7
=
14×3+7=49.
还有其它算法吗？
S=10+9+8+7+6+5+4.
S=4+5+6+7+8+9+10.
相加得：
倒序相加法
怎样求一般等差数列的前n项和呢？
等差数列的前n项和公式
公式1
公式2
结论：知
三
求
二
思考：
(1)两个求和公式有何异同点？
公式记忆
——
类比梯形面积公式记忆
等差数列前n项和公式的函数特征：
特征：
思考：
结论：
例1、计算：
例2、
注：本题体现了方程的思想.
解：
例3、
解：
又解：
整体运算的思想!
例4、
解：
1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
解：
解:
四、随堂练习
1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的sn
(1)a１=5,an=95,n=10
(2)a1=100,d=－2,n=50
(3)a1=14.5,d=0.7,an=32
2、(1)求正整数列中前n个数的和；
(2)求正整数列中前n个偶数的和。
3、等差数列5,4,3,2,1,…前多少项的和是－30？
［前15项］
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;
3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.
①已知首项、末项用公式Ⅰ；
已知首项、公差用公式Ⅱ.
②应用求和公式时一定弄清项数n.
③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.
作
业
P46
习题2.3
A组
第2题
2.3
等差数列的前n项和
——性质及其应用（上）
一、复习引入
1.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。
2.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若
热身练习
比值问题
整体思想
方法一：方程思想
方法二：
成等差数列
等差数列前n项和性质：
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)
等差数列前项和的最值问题：
考一本第13课时知识点2：
解：
方法一
练习
解：
方法二
练习1、已知一个等差数列中满足
—————性质以及应用（下）
等差数列
奇、偶项和问题
1、已知一个等差数列前12项的和是354，前
12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．
分析：方法一：直接套用公式；
方法二：利用奇数项与偶数项的关系．
解：方法一：
1、已知一个等差数列前12项的和是354，前
12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．
解：方法二：
分析：还是利用奇数项和偶数项之间
的关系，相差一个公差d.
求数列前n项和方法之一：裂项相消法
设{an}是公差为d的等差数列，则有
特别地，以下等式都是①式的具体应用：
①
(裂项相消法)
；
；
求数列前n项和方法之二：公式
单利：银行利息按单利计算（利息没有利息）
本利和=本金×（1+利率×存期）
例如：存入10000元，利率为0.72%
特点：每一项与前一项的差是同一个常数
存期
年初本金
年末本利和（元）
结果
第一年
10000
10000×（1+0.725×1）
10072
第二年
10000
10000×（1+0.725×2）
10144
第三年
10000
10000×（1+0.725×3）
10216
第四年
10000
10000×（1+0.725×4）
10288
复利：银行利息按复利计算（利滚利）
本金和=本金×（1+利率）存期
例如：存入10000元，利率为1.98%
特点：后一顶与前一项的比是同一个常数
存期
年初本金
年末本利和（元）
第一年
10000
10000×（1+1.98%）1
第二年
10000×1.0198
10000×（1+1.98%）2
第三年
10000×1.01982
10000×（1+1.98%）3
第四年
10000×1.01983
10000×（1+1.98%）4(共8张PPT)(共24张PPT)
等
比
数
列
忆一忆
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到第64个格子放满为止。”
国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？
左图为国际象棋的棋盘，棋盘有8
8=64格
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
庄子
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”
。
如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为：
一种计算机病毒可以查找计算机中的地址本,通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：
1，
20，
202
，
203，
…
比一比
共同特点:
从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。
(1)
(2)
(3）
9，92，93，94，95，96，
97
（4）
以上4个数列有什么共同特点？
等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）
其定义式为：
注意：
1.
公比是等比数列从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数。
思考:
(1)
等比数列中有为0的项吗？
(2)
公比为1的数列是什么数列？
(3)
既是等差数列又是等比数列的数列
存在吗？
(4)
常数列都是等比数列吗？
判定下列数列是否可能是等比数列？
若是，说明公比；若不是，说出理由．
1、
263
，…，16，8，4，2，1；
2、
5，-25，125，-
625，…；
3、
1，2，3，6，12，24，48…;
4
、
1，0，1，0，1，……；
5、
1，1，1，1，……；
6、
0，0，0，0，0，…….；
7、
a,
a,
a,
a,
……；
思考：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？第n项能为0吗？
(2)公比q=1时是什么数列？
注意：
(1)公比q≠0，an≠0(n∈N)；
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.
①
－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②
8，16，32，64，128，256，…
③
1，1，1，1，1，1，1，…
④
243，81，27，9，3，1，，，…
⑤
31，29，27，25，23，21，19，…
做一做
等比数列
{an
}中,有:
(q不为0)
n为正整数
等比数列通项公式的推导
方法一:
递推法
等比数列通项公式的推导
方法二:
累乘法
通项公式一:
等比数列的通项公式:
通项公式二:
an+1-an=d
d
叫公差
q叫公比
an=
a1+(n-1)d
an=a1qn-1
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
等差数列与等比数列对比记忆表
数
列
等
差
数
列
等
比
数
列
定
义
公差（比）
通项公式?
一般形式
公差(比)
例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项
消元
讲解范例:
例2.
求下列各等比数列的通项公式：
(1)
a1＝－2,
a3＝－8;
(2)
a1＝5,
且2an＋1＝－3an.
讲解范例:
例3.
某种放射性物质不断变化为其他
物质，每经过一年剩留的这种物质是
原来的84%.这种物质的半衰期为多长
(精确到1年)？
讲解范例:
例4.
已知数列{an}满足
a1＝1，an+1＝2an＋1.
(1)求证数列{an+1}是等比数列；
(2)求{an}的表达式.
等比数列的通项公式练习1
求下列等比数列的通项公式，并求出其第４，5项：
（2）1.2，2.4，4.8，…
（1）
5，-15，45，…
练一练:
3.每次用相同体积的水洗一件衣物,且每次能洗去污垢的3/4,若洗n次后,存留的污垢在1%以下,则n的最小值为多少?
2.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=5/4,
求a2的值.
解：设洗之前的污垢为1个单位.
洗1次
剩下污垢为
(1-3/4)=1/4
洗2次
剩下污垢为
(1/4)2
则每洗1次剩下是的污垢是前一次的1/4,构成一个等比数列
{an
}
.
an=(1/4)n
当n=4时,
a4=
(1/4)4=1/256<1%
而
n=3时,
a3=
(1/4)3=1/64>1%
答:
n的最小值为4.
作
业(共31张PPT)
等差数列
同学们好
教学目标及重点难点
教学目标
1.理解等差数列的概念，理解并掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决简单的问题。
2.培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力。
重点难点
1.等差数列概念的理解与掌握
2.等差数列通项公式的推导及应用
3.等差数列“等差”特点的理解、把握及应用
复习导入
请看以下几例：
4，5，6，7，8，9，10，······
3，0，-3，-6，-9，-12，······
1/10,2/10,3/10,4/10,5/10······
3，3，3，3，3，3，3，······
你还记得吗？
数列的定义
给出数列的两种方法
创设问题情境，引入新课
得到数列：
6000，6500，7000，7500，
8000，8500，9000
等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。
返回
等差数列的公差
公差d
1.an-an-1=d
(n≥2)（数学表达式）
3.d的范围
d∈R
2.常数 如2，3，5，9，11就不是等差数列
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
例:已知三个数2，x，98成等差数列，求x
等差数列的通项公式
如果等差数列｛an｝的首项是a，公差是d，那么根据等差数列的定义得到：
a2-a1=d
a2=a1+d
由此得到
an=a1+(n-1)d
返回
an-a1=(n-1)d
an-an-1=d
a4-a3=d
a3-a2=d
an=a1+(n-1)d
a4=a1+3d
a3=a1+2d
(题型一)求通项an
例1：①a1=1,
d=2,
则
an=
?
解：an=1+(n－1)·2=2n－1
②已知等差数列8，5，2，…求
an及a20
解
:
由题
a1=8,
d=5－8=－3
∴a20=－49
∴an=8+(n－1)·(－3)=－3n+11
练习1：已知等差数列3，7，11，…
则
an=___________
a4=_________
a10=__________
4n-1
15
39
an=a1+(n－1)d
(n∈N
)
(题型二)求首项a1
例2
：已知等差数列{an}中，a20=－49,
d=－3，
求首项a1
解：由a20=a1+(20－1)·(－3)
得a1=8
练习2：a4=15
d=3
则a1=_________
6
an=a1+(n－1)d
(n∈N
)
例3：判断－400是不是等差数列－5，－9，
－13，…
的项？如果是，是第几项？
解：a1=－5,
d=－4，an=－5+(n－1)·(－4),
假设-400是该等差数列中的第n项，
则
－400=－5+(n－1)·(－4)
所以－400不是这个数列的项
an=a1+(n－1)d
(n∈N
)
(题型三)求项数n
练习3：100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？
如果不是，说明理由.
an=a1+(n－1)d
(n∈N
)
(题型四)求公差d
例4：
一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,
中间还有10级，各级的宽度成等差数列。
求公差d及中间各级的宽度。
分析：用｛an｝表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。
解：由题意知
a1=33,
a12=110,
n=12
由
an=a1+(n-1)d
得
110=33+(12-1)d
解得
d=7
从而可求出
a2=33+7=40
(cm)
a3=40+7=47(cm)
a4=54(cm)
…。
an=a1+(n－1)d
(n∈N
)
总结：
在
an=a1+(n－1)d，n∈N
中，有an,a1,n,d
四个量,
已知其中任意3个量即可求出第四个量。
那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？
an=a1+(n－1)d
(n∈N
)
例5：在等差数列｛an｝中已知a3
=10,
a9=28,
求a1、d及an
（题型五）综合
∴an=4+(n－1)·3=3n+1
an=a1+(n－1)d
(n∈N
)
解法1：由an=a1+(n－1)d
猜想：任意两项an和am(n>m)之间的关系：
证明:
∵
am=a1+(m－1)d
an=a1+(n－1)d
(n∈N
)
∴
an
=a1+(n－1)d
∴
a1=am-(m－1)d
=
am-(m－1)d
+(n－1)d
=am+(n-m)d
an=am+(n-m)d
例5：在等差数列｛an｝中已知a3
=10,
a9=28,
求an
an=am+(n－m)d
(n、m∈N
,
n>m)
∴an=a3+（n-3）·3
解法2：∵
a9=a3+(9－3)d
(n∈N
)
∴28=10+6d
∴d=3
=10+（n-3）·3
=3n+1
等差数列的应用
例1.
1）等差数列8，5，2,······的第20项是几？
2）-401是不是等差数列-5,-9,-13······的项？如果是，是第几项？
解：
1）由题意得，a1=8,d=-3
2）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401
an=a1+(n-1)d
∴n=100
∴-401是这个数列的第100项。
∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49
-401=-5+(n-1)×(-4)
课堂练习（二）
1）求等差数列3，7，11······的第4项与第10项。
答案：a4=15
a10=39
2)100是不是等差数列2，9，16······的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
答案：是第15项。
3)-20是不是等差数列0,-3.5,-7···的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
解：a1=0,d=-3.5
∴-20不是这个数列中的项。
n=47/7
-20=0+(n-1)×(-3.5)
等差数列的应用
例2.在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。
解：由题意，a5=a1+4d
a12=a1+11d
解之得 a1=-2
d=3
若让求a7，怎样求？
即 10=a1+4d
31=a1+11d
课堂练习（三）
1.在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12
答案：a12=0
2.在等差数列｛an｝中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8
解：由题意得，a1+d=3,
a1+3d=7
∴a6=a1+5d=1+5×2=11
a8=a1+7d=1+7×2=15
∴
a1=1,
d=2
课
堂
练
习
在等差数列｛an｝中，
1）已知a1=2,d=3,n=10,求an
解：a10=a1+9d=2+9×3=29
2）已知a1=3,an=21,d=2,求n
解：21=3+(n-1)×2
n=10
3）已知a1=12,a6=27,求d
解：a6=a1+5d,即27=12+5d
d=3
4）已知d=-1/3,a7=8,求a1
解：a7=a1+6d
8=a1+6×(-1/3)
∴a1=10
课堂练习：
2.
求等差数列2，9，16…的第10项,100是不是这个数列
的项。如果是，是第几项？
1.
等差数列-5，-1，3…的公差是（
）
A.
4
B.
-
4
C.
8
D.
-8
3.
等差数列中，已知a3=9,
a9=3,
则a12
=_____
4.
数列{an}中,a1=
,
an+1=an-
(n∈N
),
则通项an=（
）
5.
已知等差数列的前三项依次为：a-1,
a+1,
a+3,
则此数列的通项为（
）
A.
an=2n-5
B.an=a+2n-3
C.
an=a+2n-1
D.
an=2n-3
A
0
D
A.
B.
D.
不能确定
C.
C
1.求出下列等差数列中的未知项:
(1)
2，a
，6
(2)
8，b
，c，-4
(3)
8，b
，-4，c
2.已知
a
,
b
,
c
成等差数列，
求证：b
+c
,
c
+a
,
a
+b成等差数列．
例1：在等差数列｛an｝中已知a3
=10,
a9=28,
求an
an=am+(n－m)d
(n、m∈N
,
n>m)
∴an=a3+（n-3）·3
解法2：∵
a9=a3+(9－3)d
(n∈N
)
∴28=10+6d
∴d=3
=10+（n-3）·3
=3n+1
思考:等差数列｛
an
｝中
,（m
、
n、ｐ、ｑ
∈
N+）,
若
m+n=p+q
则
am+an=ap+aq
?
【说明】上面的命题中的等式两边有相同数目的项，
如a1+a2=a3
吗？
例2、在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，
则a2+a8
=？
（一）等差数列的基本性质：
3、项数成等差数列的项也构成等差数列。
4、等差数列的前m项和，后m项和，再m项和……也
构成等差数列。
5、两个等差数列的和、差还是等差数列即{an}，{bn}
是等差数列，{an±bn}也是等差数列，
{pan}、{an±c}
也是等差数列（p，c为常数）。
2、等差中项：
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
1、在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
.
am+an=ap+aq
（二）等差数列的证明：
例3、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中，p，q
是
常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数
列？如果是，其首项与公差是什么？
应用延伸
例3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
解：由题意得，
a6=a1+5d＞0
a7=a1+6d＜0
例4.已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。
解：a12=30+11d＜0
a11=30+10d≥0
∵d∈Z
∴d=-4
∴-23/5＜d＜-23/6
∴
-3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
四、小结：
①等差数列的定义：
②通项公式：
an=a1+(n－1)d
（
n∈N
）
更一般的形式：
an=am+(n－m)d
（
n∈N
）
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列
（叠加法证明）
作 业
课本P40
A组
第1题
好好学习
天天向上(共28张PPT)
2.1数列的概念与简单表示法
4
5
6
7
8
1
5
6
7
8
1
2
3
3
4
2
64个格子
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1
6
6
7
7
8
8
OK
4
5
6
7
8
1
4
5
6
7
8
1
2
3
3
2
64个格子
你认为国王有能力满足上述要求吗
每个格子里的麦粒数都是
前
一个格子里麦粒数的
2倍
且共有
64
格子
?
?
1844,6744,0737,0955,1615
三角形数
1,
3,
6,
10,
.…..
正方形数
1,
4,
9,
16,
……
观察下列图形：
提问：这些数有什么规律吗？
一.定义：
按照一定顺序排列着的一列数叫数列。
(1)三角形数：1,
3,
6,
10,
.…..
(2)正方形数：1,
4,
9,
16,
……
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
(3)4，5，6，7，8，9，10；
(4)10，9，8，7，6，5，4；
数列中的每一项都和它的序号有关，排第一位的数称为这个数列的第1项（通常叫做首项），
排第二位的数称为这个数列的第2项，······，
排第
n
位的数称为这个数列的第n项.
数列的一般形式可以写成：
(1)三角形数：1,
3,
6,
10,
.…..
(2)正方形数：1,
4,
9,
16,
……
按照一定顺序排列着的一列数叫数列。
(1)三角形数：1,
3,
6,
10,
.…..
(2)正方形数：1,
4,
9,
16,
……
一.定义：
按照一定顺序排列的一列数叫数列。
思考1：数列
4，5，6，7，8，9，10；
数列
10，9，8，7，6，5，4；是否相同？
思考2：数列中的数是否可以重复？
如：数列－1，1，－1，1，···。
项数有限的数列.
例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
项数无限的数列.
例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列
1）根据数列项数的多少分：
二.数列的分类：
P28观察
有穷数列：
无穷数列：
2）根据数列项的大小分：
递增数列：
递减数列：
常数数列：
摆动数列：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
各项相等的数列。
从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
⑴全体自然数构成数列：
⑵1996~2002年某市普通高中生人数（单位：万人）
0，1，2，3,
…
.
82，93，105，119，129，130，132.
构成数列
⑶无穷多个3构成数列
3，3，3，3，3,
…
.
⑷目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位:元）
100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01.
⑸-1的1次幂，
2次幂，
3次幂，
4次幂
构成数列
-1，1，-1，1,
…
.
……
递增数列
递减数列
常数列
递增数列
摆动数列
以下数列属于哪种分类？
观察下列数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？
1
2
3
4
5
….
项
序号
2，
4，
6，
8，
10，…
1
2
3
4
5
……
序号
项
数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。
三.数列的表示：
n
n
2n
数列与函数的关系
:
数列可以看作特殊的函数，序号是其自变量，项是序号所对应的函数值，数列的定义域是正整数集
，或是正整数集
的有限子集
．
于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．
数列可以看成以正整数集N
（或它的有限子集{1，2，3，4，…,n}）为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。
思考
正方形数：1,
4,
9,
16,
……
通项公式可以看成是数列的函数解析式。
如果只知道数列的通项公式，那能写出这个数列吗？
例1、
写出下面数列的一个通项公式，使它的
前4项分别是下列各数：
练习：P31
1,3,4
数列
2，4，6，8，10，……
其通项公式是：
图象为：
an
10
9
8
7
6
5
4
3
2
0
1
2
3
4
5
n
例2、图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。
an
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
o
1
2
3
4
5
n
问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，
即
an
=
2
an-1
+
1（n∈N，n>1），（※）
你能写出这个数列的前三项吗？
递推公式
例3
设数列
满足
写出这个数列的前五项。
练习：P31
2
例3
设数列
满足
递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．
观察下面数列的特点，用适当的数
填空，并写出每个数列的一个通项公式：
练
习
题
写出下面数列的一个通项公式，
使它的前4项分别是下列各数：
练
习
题
练习:
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
讲解范例:
例2.
已知数列{an}的通项公式为
an＝log2(n2＋3)－2，
求log23是这个数列的第几项？
例1.
求数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项.
1.由数字1，2，3，4四个数字一共可以组成多少个不同的数列？
2.
已知数列{an}的通项公式为
，试判断
和
是不是它的项？如果是，是第几项？
练
习
题
补充练习
小结
1、数列的定义
2、数列的实质—特殊的函数（离散函数）
3、数列的通项公式
4、数列的表示方法：
列表法，
通项公式法，
图象法，
递推公式法(共27张PPT)
2.2
等差数列(二)
复习引入
1.
等差数列定义：
即an－an－1
＝d
(n≥2).
复习引入
1.
等差数列定义：
即an－an－1
＝d
(n≥2).
2.
等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d
(n≥1).
复习引入
1.
等差数列定义：
即an－an－1
＝d
(n≥2).
2.
等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d
(n≥1).
推导出公式：an＝am＋(n－m)d
.
复习引入
1.
等差数列定义：
即an－an－1
＝d
(n≥2).
2.
等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d
(n≥1).
推导出公式：an＝am＋(n－m)d
.
或an＝pn＋q
(p、q是常数)
复习引入
3.
有几种方法可以计算公差d:
复习引入
3.
有几种方法可以计算公差d:
复习引入
3.
有几种方法可以计算公差d:
例1：在等差数列｛an｝中已知a3
=10,
a9=28,
求an
an=am+(n－m)d
(n、m∈N
,
n>m)
∴an=a3+（n-3）·3
解法2：∵
a9=a3+(9－3)d
∴28=10+6d
∴d=3
=10+（n-3）·3
=3n+1
4.
{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差
数列，若an＝2005，则n＝(
)
A.
667
B.
668
C.
669
D.
670
5.
在3与27之间插入7个数，使它们成
为等差数列，则插入的7个数的第四
个数是(
)
A.
18
B.
9
C.
12
D.
15
练习
6.
三个数成等差数列，它们的和为18，
它们的平方和为116，求这三个数.
7.
已知四个数成等差数列，它们的和为
28，中间两项的积为40，求这四个数.
练习
讲授新课
在等差数列{an}中，
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，
若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
1.
性质
讲解范例:
例2、在等差数列{an}中
(1)
若a5＝a,
a10＝b,
求a15；
(2)
若a3＋a8＝m,
求a5＋a6.
例3、在等差数列{an}中，
若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8
=？
课堂练习：
2.
求等差数列2，9，16…的第10项,1000是不是这个数列
的项。如果是，是第几项？
1.
等差数列-5，-1，3…的公差是（
）
A.
4
B.
-
4
C.
8
D.
-8
3.
等差数列中，已知a3=9,
a9=3,
则a12
=_____
4.
数列{an}中,a1=
,
an+1=an-
(n∈N
),
则通项an=（
）
5.
已知等差数列的前三项依次为：a-1,
a+1,
a+3,
则此数列的通项为（
）
A.
an=2n-5
B.an=a+2n-3
C.
an=a+2n-1
D.
an=2n-3
A
0
B
A.
B.
D.
不能确定
C.
C
(1)
定义法:
证明an－an－1＝d
(常数)
2.
判断数列是否为等差数列的常用方法：
(2)
中项法:
利用中项公式，若2b＝a＋c,
则a,
b,
c成等差数列.
总结:
讲解范例:
例4.
已知数列{an}的前n项和为
Sn=3n2－2n，求证数列{an}成
等差数列，并求其首项、公差、
通项公式.
(1)
定义法:
证明an－an－1＝d
(常数)
2.
判断数列是否为等差数列的常用方法：
(2)
中项法:
利用中项公式，若2b＝a＋c,
则a,
b,
c成等差数列.
(3)
通项公式法:
等差数列的通项公式是
关于n的一次函数.
总结:
例5.
已知数列{an}的通项公式为
an＝pn＋q，其中p、q为常数，
且p≠0，那么这个数列一定是
等差数列吗？
讲解范例:
例5.
已知数列{an}的通项公式为
an＝pn＋q，其中p、q为常数，
且p≠0，那么这个数列一定是
等差数列吗？
讲解范例:
这个等差数列的首项与公差分
别是多少？
例5.
已知数列{an}的通项公式为
an＝pn＋q，其中p、q为常数，
且p≠0，那么这个数列一定是
等差数列吗？
讲解范例:
这个等差数列的首项与公差分
别是多少？
首项a1＝p＋q
公差d＝p.
应用延伸
例6.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
解：由题意得，
a6=a1+5d＞0
a7=a1+6d＜0
例7.已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。
解：a12=30+11d＜0
a11=30+10d≥0
∵d∈Z
∴d=-4
∴-23/5＜d＜-23/6
∴
-3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
如果一个数列的通项公式是关于
正整数n的一次型函数，那么这个
数列必定是等差数列.
总结:
探究:
1.
在直角坐标系中，画出通项公式为
an＝3n－5的数列的图象.这个图象有
什么特点？
探究:
2.
在同一个直角坐标系中，画出函数
y＝3x－5的图象，你发现了什么？据
此说一说等差数列an＝pn＋q与一次
函数y＝px＋q的图象之间有什么关系.
课堂小结
1.
等差数列的性质；
2.
判断数列是否为等差数列
常用的方法．
课后作业
