新人教数学 9年级下：达标训练（27.3位似）

达标训练
基础 巩固
1.下列说法错误的是( )
A.相似图形不一定是位似图形
B.位似图形一定是相似图形
C.同一底版的两张照片是位似图形
D.放幻灯时，底片上的图形和银幕上的图形是位似图形
思路解析：位似是相似的特例，选项A、B都正确；选项C不能确定两张照片的位置，它们不一定位似；选项D是正确的.
答案：C
2.两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，则较小的多边形的面积是( )
A.16 B.32 C.48 D.64
思路解析：位似形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比.
相似比为1∶2，则面积比为1∶4，由面积和为80，得到它们的面积分别为16，64.
答案：A
3.利用位似的方法把图27.3-16缩小一倍，要求所作的图形在原图内部.
图27.3-16
思路解析：利用位似的方法作图，要求所作图要位于原图内部，关键是确定位似中心，本题的位似中心取在原图内部，可以取两邻边垂直平分线的交点.
解：(1)在五边形ABCDE内部任取一点O.
(2)以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.
(3)分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A′、B′、C′、D′，使OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=OD∶OD′=OE∶OE′=2.
(4)连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.
得到所要画的多边形A′B′C′D′E′(如图).
4.如图27.3-17，已知O是四边形ABCD的边AB上的任意一点，且EH∥AD，HG∥DC，GF∥BC.试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否位似，并说明你的理由.
图27.3-17
思路解析：通过观察，我们可以猜想出四边形EFGH与四边形ABCD关于点O位似，两个四边形各对应顶点的连线交于同一点O，不经过点O的其它三边平行.关键是如何说明两者是相似的.
三角形相似只要有两对对应角相等或对应边成比例，而要说明多边形相似，则要同时满足两个条件：既要所有的对应角相等，又要所有的对应边成比例，二者缺一不可.从EH∥AD、HG∥DC、GF∥BC可得三对相似三角形，再找出角的关系，则能证明猜想.
解：四边形EFGH∽四边形ABCD.
理由：∵EH∥AD，∴△OEH∽△OAD.
∴∠1=∠A，∠2=∠3，.
同理∠4=∠5，∠6=∠7，，
∠8=∠9，∠10=∠B，.
∴∠2+∠4=∠3+∠5，即∠EHG=∠ADC.
∴∠6十∠8=∠7+∠9，即∠HGF=∠DCB.
∴.
∴OE=k·OA，OF=k·OB.∴，即.
∴∠1=∠A，∠EHG=∠ADC，∠HGF=∠DCB，∠10=∠B，.
∴四边形EFGH∽四边形ABCD.
∵两个四边形各对应顶点的连线交于同一点O，不经过点O的其它三边平行,
∴四边形EFGH与四边形ABCD是位似形.
5.画出图27.3-18中位似图形的位似中心.
图27.3-18
思路解析：同例2.
答案：如图所示
综合 应用
6.如图图27.3-19，在△ABC中，BC=1，AC=2，∠C=90°.
图27.3-19
(1)在方格纸①中，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且相似比为2∶1；
(2)若将(1)中△A′B′C′称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平移或轴对称变换，在方格纸②中设计一个以点O为对称中心，并且以直线l为对称轴的图案.
思路解析：把A′B′的中点放到点O的位置，使B′C′与直线l垂直.
答案：如图
7.如图27.3-20，有一种视力表，它是以能否分辨出“E”的开口朝向(图(2)中AB、CD两个缺口，E的外形轮廓为正方形)为依据来测定视力的.
图27.3-20
如图③，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点O看去，点P1、P2、O在一条直线上为止，这时我们说，在D1 处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同.
现有一个标准视力表，“E”的最大边长为14.5 cm，测试距离为5 m，根据这个视力表，制作一个测试距离为1 m的视力表，“E”的最大边长应为多少？
思路解析：根据题中图③所示的方法制作，△P1A1O与△P2A2O关于点O位似.
解：如图③，假设大号“E”与小号“E”都水平放置在桌面上，它们与桌面的边缘是垂直的.因此P1A1∥P2A2，又P1，P2，O在一条直线上，所以∠O为公共角，根据相似三角形的判定方法，两角对应相等的两个三角形相似，得
△P1A1O∽△P2A2O，所以
把l1=5,l2=1,b1=14.5代入上式,得.解得b2=2.9(cm).
答:“E”的最大边长为2.9cm.
8.如图27.3-21，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.
图27.3-21
(1)图中△ABC与△ADE是否相似 为什么
(2)求古塔的高度.
思路解析：△ABC与△ADE中，BC与DE平行，两个三角形位似.这是借助影子，测量顶部不可到达的物体的高的常用方法.
解：(1)△ABC∽△ADE.
∵BC⊥AE,DE⊥AE, ∴∠ACB=∠AED=90°.
∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE
(2)由(1),得△ABC∽△ADE. ∴
∵AC=2 m，AE=2＋18=20(m)，BC=1.6 m，
∴. ∴DE=16.
答：古塔的高度为16 m.
回顾 展望
9.(2010广西模拟) 正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，圆心为A(3,0)的⊙A被y轴截得的弦长BC=8，如图27.3-22所示，
图27.3-22
解答下列问题：
(1)⊙A的半径为__________；
(2)请在图27.3-22中将⊙A先向上平移6个单位，再向左平移8个单位得到⊙D，观察你所画的图形知⊙D的圆心D点的坐标是__________；⊙D与x轴的位置关系是__________；⊙D与y轴的位置关系是__________；⊙D与⊙A的位置关系是__________.
(3)画出以点E(-8，0)为位似中心，将⊙D缩小为原来的的⊙F.
思路解析：本题用到圆的性质和在坐标系中图形变换的坐标变化.
(1)连接AC，根据垂径定理，有勾股定理可以计算；
(2)⊙A的平移实质是圆心的平移，因此点D的坐标为(-5,6)，由点D的坐标看，⊙D与x轴相离，与y轴相切，与⊙A外切；
(3)圆都可以看作是位似图形，位似中心在两圆圆心的连线上.
解：(1)5.
(2)如图，(-5，6)，相离，相切，外切.
(3)连接DE，取DE的中点F，以F为圆心，2.5为半径作圆.
10.(2010浙江嘉兴模拟) 如图27.3-22，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：
①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；
②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；
③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°.
图27.3-22
其中，能将△ABC变换成△PQR的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
思路解析：本题考查图形变换的各种特征.
答案：D
11.(2010浙江模拟) 如图27.3-23，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2)，右图中左眼的坐标是(3,4)，则右图案中右眼的坐标是__________.
图27.3-23
答案：(5，4)