(共28张PPT)
定积分的概念
一、定积分的定义
1.定积分 的含义是什么？其
中a与b，区间[a，b]，函数f(x)，变量x，f(x)dx分别叫什么名称？
a:积分下限；
b：积分上限；
[a，b]：积分区间；
f(x)：被积函数；
x：积分变量；
f(x)dx：被积式.
二、定积分的几何意义：
O
x
y
a
b
y f (x)
由连续曲线y=f(x) (f(x) 0) ，直
线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯
形的面积.
当f(x) 0时，由y f (x)、x a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，
x
y
O
a
b
y f (x)
y -f (x)
=-S
表示上述曲边梯形面积的相反数。
二、定积分的几何意义：
a
b
y f (x)
O
x
y
探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积
a
b
y f (x)
O
x
y
三: 定积分的基本性质
性质1.
性质2.
三: 定积分的基本性质
定积分关于积分区间具有可加性
性质3:
O
x
y
a
b
y f (x)
Ｃ
Ｃ1
例1：利用定积分的定义,计算
的值.
复习:定积分的基本运算性质：
(1)
(2)
（3）
2.直接用定积分的定义计算的值是很烦琐的，有些定积分几乎不能直接用定义计算，因此寻求一个简便、有效的计算原理求定积分的值，就成为一个迫切需要解决的问题.
3.我们已经掌握了导数的概念和计算方法，如果能建立导数与定积分的内在联系，利用导数来求定积分，那是非常理想和美妙的.
探究（一）：物体位移的几种算法
思考1：一个作变速直线运动的物体的位移y与时间t的函数关系为y＝y(t)，那么它在时间段[a，b]内的位移s等于什么？
s＝y(b)－y(a).
思考2：设物体的速度v与时间t的函数关系为v＝v(t)，那么它在时间段[a，b]内的位移s用定积分怎样表示？
思考3：物体在时刻t的速度v(t)与位移y(t)的关系是什么？
v(t)＝y'(t).
思考4：综上分析，物体在时间段[a，b]内的位移s有哪些表示式？
思考5：在下图中，如何理解物体在时间
段[a，b]内的位移 ？
a
b
t
y
s
y＝y(t)
探究（二）：微积分基本定理
思考1：我们曾求得以速度v(t)＝－t2＋2作变速直线运动的汽车，在0≤t≤1时段内行驶的路程为定积分 ,
若利用上述原理求定积分 的值，如何计算？
思考2：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 ，
那么 等于什么？
定积分
叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成 .那么用微积分基本定
理计算定积分 的关键是什么？
找到满足 的函数F(x).
思考5：对给定的函数f(x)，满足
的函数F(x)是不惟一的，不同的F(x)有什么差别？对定积分
的值是否有影响？
若 ，则 .
没有影响!
理论迁移
例1 计算下列定积分：
（1） ；（2） .
1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.
小结
2.寻找满足 的函数F(x)，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x).
例2 计算下列定积分，利用曲边梯形的面积，你能从计算结果中发现什么结论吗？
（1） ；（2） ；
（3） .
2
－2
0
x
y
O
π
2π
【结论】
（1）当定积分对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正数，且等于曲边梯形的面积；
（2）当定积分对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负数，且等于曲边梯形的面积的相反数；
（3）当定积分对应的曲边梯形位于x轴上方部分的面积与位于x轴下方部分的面积相等时，定积分的值为零.
（4）若f(x)为奇函数，则
；
（5）若f(x)为偶函数，则
，
其中a＞0为常数.
例3 计算下列定积分：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
0
例4 计算下列定积分：
（1） ；
（2） .
例5 汽车以36km/h的速度行驶，到某处需减速停车.设汽车以加速度a＝2m/s2刹车，试问：从开始刹车到停车，汽车走过的路程是多少m？
作业：
P55习题1.6A组：1
B组：1.
《学海》第17课时(共18张PPT)
1.7 定积分的简单应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
探究1：用定积分求变速直线运动的位移
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体在a≤t≤b时段内的位移是:
探究（一）：变速直线运动的路程
引例1、一辆汽车在1min内的速度－时间曲线如图所示，求汽车在这1min行驶的路程。
60
O
10
40
A
B
C
30
v(m/s)
t(s)
60
O
10
40
A
B
C
30
v(m/s)
t(s)
60
O
10
40
A
B
C
30
v(m/s)
t(s)
60
O
10
40
A
B
C
30
v(m/s)
t(s)
＝150
＝900
＝300
方法2：根据定积分的几何意义.
60
O
10
40
A
B
C
30
v(m/s)
t(s)
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从 x＝a移动到x＝b(a＜b)，那么如何计算变力F(x)所作的功W？
探究（2）：用定积分求变力所作的功
引例2、如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置xm处，那么
x
F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
（1）拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关
系是什么？
（2）如果将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，那么克服弹力所作的功为多少？
l
例1 一质点A以速度v1(t)＝3t2＋1（m/s）在直线l上运动，另一质点B以速度v2(t) ＝10t（m/s）也在直线l上运动，若两质 点同时出发并同向运动，求经过多少时间，质点A比质点B多运动5m？
例题讲解
5s
例2 在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t(单位：s)所走过的路程 s＝4t2（单位：m），若介质阻力F与物体的运动速度v成正比，且当v＝10 m/s时，F＝5N，求物体在位移区间[1，4]内克服介质阻力所作的功.
例3 设地球质量为M，半径为R，引力常数为G，求把质量为m（单位：kg）的物体从地球表面升高h（单位：m）所作的功.
例4 某汽车在高速公路上直线行驶，
刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t（m/s），求刹车后汽车需前进多少m
才能停住？
120m
例5 一质点从时刻t＝0（单位：s）开始，以速度v＝t2－4t＋3（单位：m/s）作直线运动，当t＝4s时，求质点的位移和运动的路程.
路程:4m
位移:
1.在物理中，定积分主要应用于求变速直线运动的位移和变力所作的功，其基本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体在a≤t≤b时段内的位移是:
小结作业
原理2（求变力所作的功）：
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，则物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a＜b)所作的功为:
2.利用定积分求变速直线运动的位移，其积分变量是时间，被积函数是速度对时间的函数；利用定积分求变力所作的功，其积分变量是位移，被积函数是力对位移的函数.
作业：
P60习题1.7A组：2，3，
5，6
学海20课时(共9张PPT)
第二课时
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且
，则定积分
牛顿－莱布尼兹公式：
例1 计算下列定积分：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
0
例2 计算下列定积分：
（1） ；
（2） .
例3 汽车以36km/h的速度行驶，到某处需减速停车.设汽车以加速度a＝2m/s2刹车，试问：从开始刹车到停车，汽车走过的路程是多少m？
例4 已知
且 为偶函
数，求a，b的值.
a＝－3，b＝－9.
例5 求函数
的值域.
[0，2]
例6 已知函数
（1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)在区间[1，3]上的最值.
（1）在(0，2)上为减函数，
在(2，＋∞)上是增函数.
（2）最大值是－6，最小值是 .
例7 已知f(x)是一次函数，且
，求证： .
设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则
作业：
P55习题1.6 B组：2，3.
《学海》第18课时(共12张PPT)
函数的最值
与 导 数
例1. 已知函数
（1）当a>2时，求函数f(x)的极小值；
（2）试讨论当a<0时,曲线f(x)与x轴
交点的个数。
函数最值的有关概念
1、若对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)成立，则f(x0)是区间D上的最大值；
若对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)成立，则f(x0)是区间D上的最小值.
A
B
x
y
O
最大值：函数图象最高点的纵坐标；
最小值：函数图象最低点的纵坐标；
一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数f(x)在区间[a，b]上是否存在最值？
连续函数在闭区间上一定存在 最大值和最小值.
函数最值的存在性
如果在开区间（a，b）上函数y＝f(x)
的图象是一条连续不断的曲线，那么
函数f(x)在区间（a，b）上是否存在
最值？
不一定！
函数最值的存在性
如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的
图象是一条连续不断的曲线，那么如何
求出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值
和最小值？
将函数f(x)在开区间（a，b）上的所有极值与区间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值.
函数f(x)在[a，b]的最值的求法：
例题讲解
例1 求函数
在[0，3]上的最大值与最小值.
例2、求函数
在 上的最大值.
作业：
1、P32—6.
2、《学海》第13课时(共23张PPT)
函数的单调性与导数
第3课时
函数的极值
与 导 数
下图为函数y＝f(x)的图象：
B
A
O
x
y
a
b
点A处的函数值比其附近点的函数值都小；
点B处的函数值比其附近点的函数值都大.
（1）在点A，B处的函数值与其附近的点
的函数值分别有什么关系？
函数极值的有关概念
B
A
O
x
y
a
b
（2） f(x)在点x=a，x=b处的导数值
各为多少？
B
A
O
x
y
a
b
（3）在点x=a，x=b左右两侧的点的导
数值如何？
在x=a附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0;
在x=b附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.
图中点A、B分别叫做函数y＝f(x)的极小值点和极大值点，并统称为极值点.
B
A
O
x
y
a
b
A处的函数值f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值，点B处的函数值f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值，极大值和极小值统称为极值.
函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有的点，都有
（1）f(x)＞f(x0)，则f(x0)为函数f(x)
的极小值；
（2）f(x)＜f(x0)，则f(x0)为函数f(x)
的极大值；
B
A
O
x
y
x0
x0
练习：1、下列函数图象中有多少个极值点？其中有几个极大点？
O
x
y
5个极值点，其中有3个极大值点.
2、函数的极大值都比极小值大吗？
不一定
O
x
y
A
B
函数极值的判定原理
1：下图中，在极大值点A左右两侧函数的单调性分别如何？
在x0附近，当x＜x0，x＞x0，x＝x0时， f′(x0)的取值如何变化？
A
y＝f(x)
O
x
y
x0
左侧递增，右侧递减.
2：从导数的角度分析，一般地，对于函数f(x)，在什么条件下f(x0)是极大值？
A
y＝f(x)
O
x
y
x0
在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极大值.
3：下图中，在极小点值点B左右两侧函数的单调性分别如何？
在x0附近，当x＜x0，x＞x0，x＝x0时， f′(x0)的取值如何变化？
B
y＝f(x)
O
x
y
x0
左侧递减，右侧递增.
4：从导数的角度分析，一般地，对于函数f(x)，在什么条件下f(x0)是极小值？
B
y＝f(x)
O
x
y
x0
在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极小值.
5：函数f(x)在极值点的导数一定为0吗？导数为0的点一定是极值点吗？
可导函数在极值点的导数一定为0，导数为0的点不一定是极值点（可疑点）.
练习:判断正误：
1.可导函数的极值点的导数值必是0；
2.导数为0的点必是极值点；
3.同一函数的极大值必大于极小值；
4.极值点左右的单调性必发生改变.
√
×
×
√
例1. 求下列函数的极值.
归纳方法
用“导数法”求函数极值的步骤：
1.求函数 的定义域 ；
2.求出函数的导数 并分解因式；
3.列表（定义域、导数符号、函数单
调性与极值判断）
例2、已知函数
在x=1处取得极值2，求f(x)的所有极值.
例3、已知函数
有极大值和极小值，求实数a的取值范围.
例4、已知函数 的图象与
函数 的图象相切，
记 .
(1)求实数 b 的值及函数F(x)的极值;
(2)若关于 x 的方程F(x)=k 恰有三个不
等的实数根，求实数k的取值范围.
小结作业
1.函数的极值刻画的是函数的局部性质，它只能反映函数在某个局部的最大值和最小值情况，且极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
2.若函数的图象是一条连续不断的曲线，且有多个极值点，则函数的极值点是交替出现的（如正弦曲线和余弦曲线）.
3.求函数极值的基本步骤： 求导数f′(x)→解方程f′(x)＝0→判断在根附近左右两侧f′(x)的符号→作出结论.
作业：
P32—5.
《学海》第11课时(共10张PPT)
函数的单调性与导数
第2课时
巩固练习：
（1）求函数 的单调区间.
（2）求函数
的单调区间.
分类考虑：
当a＝0时
f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
在(－∞，0]上是减函数.
分析：
当a＜0时，f(x)在[0， ]上是增函数
在(－∞，0]，[ ，＋∞)上是减函数.
当a>0时，f(x)在[ ，0]上是减函数
在(－∞， ]， [0 ，＋∞)上是增函数.
例题讲解
1.若函数
讨论f(x)的单调区间（山东10）.
2.若函数
讨论f(x)的单调区间（辽宁10）.
例题讲解
3.若函数 存在
单调减区间，求a的取值范围（湖南05）.
4 求证：当 x ＜ 1时，有
例题讲解
作业：
P32习题1.3B组：1.
学海第10课时
例1 确定下列函数的单调性：
（1） ；
（2） .
(1)f(x)在[0，＋∞)上是增函数.
(2)f(x)在(0，3)上是增函数， 在(3，＋∞)上是减函数.(共43张PPT)
1.5.2 汽车行驶的路程
问题提出
1.用极限逼近思想求曲边梯形面积的基
本步骤是什么？
，
分割→近似代替→求和→取极限.
2.若已知物体的运动路程s与时间t的函
数关系：s＝f(t)，如何求物体在某时
刻t0的瞬时速度？
v＝f ′(t0)
3.若已知物体的运动速度v与时间t的函
数关系：v＝f(t)，那么f ′(t0)的含义
是什么？如何求物体在某时段内经过
的路程呢？
f ′(t0)表示加速度
探究（一）：汽车行驶的路程
思考1：汽车以速度v作匀速直线运动，经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽车作变速直线运动，那么在相同时间内所行驶的路程相等吗？
s＝vt
不相等
思考2：已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)＝－t2＋2 (单位：km/h)，为了计算汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程，将区间[0，1]等分成n个小区间，那么各个小区间对应的时段分别是什么？
思考3：当n很大时，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于以左端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在上述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？
， ， ，
…，
思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程的近似值如何计算？其结果是什么？
思考5：利用极限逼近思想，汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程为多少？
探究（二）：汽车行驶路程的拓展探究
思考1：在每个小区间上，如果认为汽车近似于以右端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在前述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？
思考2：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程如何计算？其结果是什么？
思考3：由直线t＝0，t＝1，v＝0和曲线v＝－t2＋2围成一个曲边梯形，那么图中各小矩形的面积有什么物理意义？
t
y
O
2
1
y＝－t2＋2
汽车在各时段内行驶的路程的近似值.
思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程，在数值上与这个曲边梯形的面积有什么关系？
相等
理论迁移
例 一辆汽车作变速直线运动，在时
刻t(单位：h)的速度为v(t)＝ (单位：km/h)，求汽车在1≤t≤2时段内行驶的路程.
s＝3
t
y
O
2
1
小结作业
1.求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可以用“以匀代变”和“极限逼近”的数学思想求解，其操作步骤仍然是：分割→近似代替→求和→取极限.
2.在平面直角坐标系中，若横轴表示时间，纵轴表示速度，那么求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可转化为求曲边梯形的面积，二者对立统一.
1.5.3 定积分的概念
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(2)取近似求和:任取xi [xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积
f(xi)Dx近似之。
(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为
取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：
xi
y=f(x)
x
y
O
b
a
xi+1
xi
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:
每个小区间宽度⊿x
一、定积分的定义
如果当n ∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作:
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和 ------取极限得到解决.
定积分的相关名称：
———叫做积分号，
f(x) ——叫做被积函数，
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限，
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
被积函数
被积表达式
积分变量
积分上限
积分下限
按定积分的定义，有:
定积分的定义：
(1) 由连续曲线y=f(x) (f(x) 0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为:
(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物
体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
定积分的定义：
说明：
(1) 定积分是一个数值,它只与被积函数
及积分区间有关，而与积分变量的
记法无关.
（2）定义中区间的分法和 i的取法是任
意的.
二、定积分的几何意义：
O
x
y
a
b
y f (x)
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
当f(x) 0时，由y f (x)、x a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，
x
y
O
a
b
y f (x)
y -f (x)
=-S
上述曲边梯形面积的负值。
二、定积分的几何意义：
a
b
y f (x)
O
x
y
探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积
a
b
y f (x)
O
x
y
三: 定积分的基本性质
性质1.
性质2.
三: 定积分的基本性质
定积分关于积分区间具有可加性
性质3:
O
x
y
a
b
y f (x)
Ｃ
a
b
y=f(x)
c
O
x
y
性质 3 :
不论a，b，c的相对位置如何都有:
例1：利用定积分的定义,计算
的值.
作业：Ｐ５６Ａ组５（４）Ｂ组２
练习：Ｐ５５-５６Ａ组３，４Ｂ组１，４，３(共8张PPT)
函数的极值
与 导 数
第3课时
复习巩固
用“导数法”求函数极值的步骤：
1.求函数 的定义域 ；
2.求出函数的导数 并分解因式；
3.列表（定义域、导数符号、函数单
调性与极值判断）
例1、已知函数
有极大值和极小值，求实数a的取
值范围.
例2、已知函数 的图象与
函数 的图象相切，
记 .
(1)求实数 b 的值及函数F(x)的极值;
(2)若关于 x 的方程F(x)=k 恰有三个不
等的实数根，求实数k的取值范围.
小结作业
1.函数的极值刻画的是函数的局部性质，它只能反映函数在某个局部的最大值和最小值情况，且极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
2.若函数的图象是一条连续不断的曲线，且有多个极值点，则函数的极值点是交替出现的（如正弦曲线和余弦曲线）.
3.求函数极值的基本步骤： 求导数f′(x)→解方程f′(x)＝0→判断在根附近左右两侧f′(x)的符号→作出结论.
作业：
《学海》第12课时(共16张PPT)
函数的单调性
与 导 数
知识回顾
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
函数在某区间D上是增函数或减函数，
则称函数在D上具有单调性.
局部性质
知识探究
x
y
2
2
-2
4
O
2
对函数 , 我们暂时既无法作出
图像，用定义来探求其单调区间也困难.
需要开发新的方法.
从旧知出发，定义的等价表述：
＞0
f(x)在D上
＜0
f(x)在D上
D上任意两点连线（割线）的斜率
割线 的极限是切线 .
斜率
斜率
导数
导数与单调性有何关系？
自学P22-23
可以根据函数的导数的正负来判断函数
在区间内的单调性：
在定义域内
知识应用
注意：在x=1及x=4处要画得圆润
练习：1、设 是函数 的导数， 的图像如右，则 的图像最有可能是（ ）.
C
x
y
o
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
A
B
C
D
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
D
O
y
x
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
例2：判断下列函数的单调性，并求出
单调区间.
改为：
归纳方法
用“导数法”求函数单调区间的步骤：
1.求函数 的定义域 ；
2.求出函数的导数 并分解因式；
3.解不等式 或 ；
4.解集与定义域取交集得函数
单调递增(或减)区间.
列表
同步完成
求函数 的单调区间.
练习：
例 已知函数 在 上
是减函数，求 的取值范围.
已知函数
在区间(1,4)上单调递增，在(6, ＋∞)上
单调递减，求a的取值范围.
a∈[5,7]
1.利用导数求函数单调区间的基本步骤为：求导数f′(x)→解不等式f′(x)＞0和
f′(x)＜0→作结论.
小结作业
2.若在区间(a，b)内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)
且使f′(x)＝0的x 是离散的，则f(x)在区间(a，b)内仍是增函数（或减函数）.
求函数 的单调区间.
练习：
改函数为：
再分 与 两类列表作答
分类考虑：
高考题选
3.若函数 存在
单调减区间，求a的取值范围（湖南05）.
1.若函数
讨论f(x)的单调区间（山东10）.
2.若函数
讨论f(x)的单调区间（辽宁10）.(共17张PPT)
1.5 定积分的概念
1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。
O
x
y
a
b
y=f (x)
一. 求曲边梯形的面积
x=a
x=b
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）．
P
放大
再放大
P
P
y = f(x)
b
a
x
y
O
A1
A
A1.
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得
A
A1+ A2
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
y = f(x)
b
a
x
y
O
A1
A2
A A1+ A2+ A3+ A4
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
y = f(x)
b
a
x
y
O
A1
A2
A3
A4
y = f(x)
b
a
x
y
O
A A1+ A2 + + An
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A1
Ai
An
—— 以直代曲,无限逼近
2．曲边梯形的面积
求曲边梯形的面积即
求 下的面积
—— 分成很窄的小曲边梯形，
然后用矩形面积代后求和。
若“梯形” 很窄，
可近似地用矩形面积代替
—— 以直代曲
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积为:
小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。
（1）分割
（2）求面积的和
把这些矩形面积相加
作为整个曲边形面积S
的近似值。
（3）取极限
1.5.2汽车行驶的路程
O
v
t
1
2
O
v
t
1
2
上图中:所有小矩形的面积之和,其极限就是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2所围成的曲边梯形的面积.
作业：Ｐ４７练习，Ｐ５０练习，２(共19张PPT)
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
复习巩固
1.定积分 的含义及其几何意义分别是什么
x
y
a
b
y＝f(x)
O
2.微积分基本定理是什么？
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，
并且 ，则
.
3.用定积分可以表示曲边梯形的面积，微积分基本定理为定积分的计算提供了一种有效的方法，二者强强联合，可以解决平面几何中曲边图形的面积问题.
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图 形的面积
1
x
y
O
y2＝x
y＝x2
(1,1)
B
x
y
O
1
1
A
B
C
D
y2＝x
y＝x2
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OADC.
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图 形的面积
x
y
O
1
1
A
B
C
D
y2＝x
y＝x2
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图 形的面积
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OADC
x
y
O
1
1
A
B
C
D
y2＝x
y＝x2
探究（二）：直线y＝x－4与曲线 及x轴所围成图形的面积
8
4
4
x
y
O
y＝x－4
(8,4)
(0,0)
(4,0)
x
y
O
4
8
y＝x－4
4
A
B
C
D
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
探究（二）：直线y＝x－4与曲线 及x轴所围成图形的面积
x
y
O
4
8
y＝x－4
4
A
B
C
D
探究（二）：直线y＝x－4与曲线 及x轴所围成图形的面积
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
x
y
O
4
8
y＝x－4
4
A
B
C
D
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
例题讲解
例1 计算由直线y＝2－x， 和
曲线 所围成的平面图形的面积.
x
y
O
3
2D
y＝2－x
1C
A
B
1
－1
例2.如图直线y＝kx将抛物线y＝x－x2与x轴所围成的平面图形分成面积相等的两部分，求实数k的值.
x
y
O
y＝kx
y＝x－x2
1
1－k
例3 如图，曲线y＝x2 (x≥0)与切线l及
x轴所围成图形的面积为 ，求切线l的
方程.
y＝2x－1
x
y
O
l
B
C
A
y＝x2
归纳小结
1.定积分在几何中的应用，主要用于求平面曲边图形的面积.解题时，一般先要画出草图，再根据图形确定被积函数以及积分的上、下限.
2.定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解.
3.位于x轴下方的曲边梯形的面积，等于相应定积分的相反数.一般地，设由直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.
x
y
a
b
y＝f(x)
O
y＝|f(x)|
作业：
P60习题1.7 A组：1；
B组：1。
《学海》19课时
P58练习：（1），（2）.(共11张PPT)
生活中的优化
问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用料
最省、效率最高等问题，这些问题
通常称为优化问题．通过前面的学
习，我们知道，导数是求函数最大
（小）值的强有力工具．这一节，
我们利用导数，解决一些生活中的
优化问题．
例1.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 ,
上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？
方法1：利用导数求最值；
方法2：利用基本不等式
求最值。
例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响：
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装
的物品一般 比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润
越大？
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装
的某种饮料。 瓶子的制造成本是 分，
其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每
出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且
制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm.
问题(１)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利
润最大？(２)半径多大时，每瓶的利润最小？
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示:
方法小结
优化问题
用函数表示数学问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
建立数学模型
解决数学模型
作答
练习：某学校计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。（1）设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x
表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，
为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 万元。
（Ⅰ）试写出 关于 的函数关系式；
（Ⅱ）当 米时，需新建多少个桥墩才能使 最小？
将边长为1m正三角形薄片，沿一条
平行于底边的直线剪成两块，其中一块
是梯形，记
则S的最小值是____
作业：
1、P37：1、2、3、5.
2、《学海》第14课时
