1.2 矩形的性质与判定 同步练习（含答案解析）

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初中数学北师大版九年级上学期 第一章 2 矩形的性质与判定
一、单选题
1.下列性质中，矩形不一定具有的是(?? )
A.?对角线相等?????????????B.?对角线互相平分?????????C.?4个内角相等??????????D.?一条对角线平分一组对角
2.在矩形 中， 、 相交于点O，若 的面积为2，则矩形 的面积为（??? ）
A.?4????????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????????C.?8??????????????????????????????????????D.?10
3.如图， 在 ABCD中， E为BC的中点， 若四边形AEDF为矩形， 则（??? ）

A.?∠B+∠ADE=90°????????????????????B.?DE= AE??????????????????????C.?EF=2AE???????????????????????D.?EF=2AB
4.如图，在一幅矩形风景画外面的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图整个挂图的长80cm，宽50cm如图所示，如果风景画的面积是3500cm2 ， 设金色纸边的宽为Xcm，那么X满足的方程是（ ??） 【出处：21教育名师】
A.?(80-x)(50-x)=3500????????????????????????????????????????????B.?(80-2x)(50-2x)=3500
C.?(80+x)(50+x)=3500??????????????????????????????????????????D.?(80+2x)(50+2x)=350021*cnjy*com
5.如图，将矩形 折叠，使点C和点A重合，折痕为 ， 与 交于点O若 ， ，则 的长为（??? ）
??????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
6.如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠l＝25°，则∠2等于（?? ）
A.?25°???????????????????????????????B.?30°?????????????????????????C.?50°????????????????????????????????D.?60°
二、填空题
7.如图在平行四边形ABCD中，添加一个条件________，可得平行四边形ABCD是矩形。

8.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF，点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若 = ，则 =________．
9.如图，点 是矩形 的对角线 上一点，过点 作 交 于 ，交 于 ，若 ， ，则图中阴影部分的面积为________. 2·1·c·n·j·y
10.已知一个矩形的对角线的长为4，它们的夹角是60°，则这个矩形的较短的边长为________，面积为 ________.
11.如图，在 中， ， ， ，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得 ，以EC、EF为邻边构造 ，连接EG，则EG的最小值为________.
三、综合题
12.如图，已知 ， ， ，且 ，求证：四边形BCED是矩形．
13.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.
14.如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
15.如图，四边形 是矩形，E是 边上一点，点F在 的延长线上，且 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 ，若 ， ， ，求四边形 的面积.
答案解析部分
一、单选题
1. D
解析：B是一般的平行四边形的性质，A、C都是矩形特有的性质，D是菱形的性质，矩形不一定具有； 21世纪教育网版权所有
故答案为：D.
【分析】本题主要应用矩形的性质，即对角线相等且互相平分，四个角都是直角，对边平行且相等，进行解答即可.21·cn·jy·com
2. C
解析：∵四边形ABCD是矩形，对角线 、 相交于点O，
∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD，
∴ ,
∴矩形 的面积为 ,
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出 ，即可求出矩形ABCD的面积.
3. D
解析：设矩形AEDF的对角线的交点为O，

∴AO=AD，EF=2OE，
∵E为BC的中点，
∴BE=BC
∵平行四边形ABCD
∴AD=BC，AO∥BE，
∴AO=BE，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴AB=OE
∴EF=2AB.
故答案为：D. www.21-cn-jy.com
【分析】利用矩形的性质，可知AO=AD，EF=2OE，再利用线段中点的定义及平行四边形的性质，可以推出AO=BE，AO∥BE，由此可证得四边形AOEB是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得到AB=OE，即可证得结论。21·世纪*教育网
4. B
解析：根据题意可知，风景画的长为（80-2x）cm，宽为（50-2x）cm
∴风景画的面积可表示为（80-2x）（50-2x）=3500 【来源：21cnj*y.co*m】
故答案为：B。
【分析】根据题意，分别表示出矩形风景画的长和宽，根据矩形的面积公式计算得到其面积等于3500，即可得到方程。
5. C
解析：由对折可得：
?矩形 ，
?
?
?
?
BC=8
?
由对折得：
故答案为：C．
【分析】先证明 再求解 利用轴对称可得答案．
6. C
解析：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°.
故答案为：C.
【分析】 由折叠的性质可得∠ACB′=∠1，由矩形的性质可得出AD∥BC，再根据“两直线平行，内错角相等”可求出∠2的度数.21教育网
二、填空题
7. AC=BD(答案不唯一)
解析：添加条件为AC=BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD
∴平行四边形ABCD为矩形 【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】根据矩形的判定定理，添加合适的条件即可得到答案。
8.
解析：如图，连接GE，

∵点E是CD的中点，
∴DE=EC，
∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF，点F在矩形ABCD的内部，
∴∠BFE=90°，EF=EC=ED，
在Rt△EFG和△EDG中，
，
∴Rt△EFG≌△EDG（HL），
∴FG=DG，
∵，
设DG=FG=x，则AG=7x，AD=BC=8x，BG=BF+FG=9x，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接GE，易证Rt△EFG≌△EDG，设DG=FG=x，则AG=7x，AD=BC=8x，BG=BF+FG=9x，表示出， 进而得到.
9. 5
解析：作GM⊥AB于M，延长MG交CD于N.
则有四边形AEGM，四边形DEGN，四边形CFGN，四边形BMGF都是矩形，
∴AE=BF=2，S△ADB=S△DBC ， S△BGM=S△BGF ， S△DEG=S△DNG ，
∴S矩形AEGM=S矩形CFGN=2×5=10，
∴S阴= S矩形CFGN=5，
故答案为：5.
【分析】由矩形的性质可证明S矩形AEGM=S矩形CFGN=2×5=10，即可求解.
10. 2；4
解析：
∵矩形的对角线的夹角是60°
∴较短的边对的三角形是等边三角形
∴这个矩形的较短的边长为2
∴这个矩形较长的边
∴这个矩形的面积
故答案为：2；.
【分析】根据矩形的性质结合对角线的夹角是60°可得较短的边对的三角形是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合勾股定理即可求得矩形较长的边，从而求得矩形的面积.
11. 9
解析：连接FC，交EG于点O，过点D作DM//FC，交EG于点M，如图所示，
∵
∴
∵DM//FC，
∴△DEM∽△FEO，
∴ ，
∵DM//FC，
∴△DMN∽△CON，
∴ ,
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴CO=FO，
∴
∴ ,
∴ ,
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△CBH，∠B=60?，BC=8，
∴CH=BCsin60?=4 ，
根据题意得，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，
∴EN=CH=4 ，
∴EO= ,
∴EG=2EO=9 .
?故答案为：9 .
【分析】连接FC，作DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，进一步得出DM= ，EO= ，过C作CH⊥AB于H，可求出CH= ，根据题意，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，故可得EN=CH= ，代入EO= 求出EO即可得到结论.21cnjy.com
三、综合题
12. 证明：连接BE、CD.
在△ABD和△ACE中
∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
∵DE=BC
∴四边形BCED为平行四边形
∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠CAB=∠CAE+∠CAB
即∠CAD=∠BAE
在△ACD和△ABE中，
∵AC=AB，AD=AE，∠CAD=∠BAE
∴△ADC≌△AEB（SAS）
∴CD=BE
∴四边形BCED为矩形。 www-2-1-cnjy-com
解析：先利用已知条件证出△ABD≌△ACE，从而得BD=CE，加上DE=BC，可证地四边形BCED为平行四边形；然后再证得△ADC≌△AEB，从而得CD=BE，故利用矩形的判定方法得证。2-1-c-n-j-y
13. （1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，
∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.
∴∠OAD＝∠ADO.
∴AO＝OD.
?又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，
∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形.
（2）证明：设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，
在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°
∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，
∴∠ODC=3×18°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°.
解析：（1）首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形由 AO＝OC，BO＝OD， 得出四边形ABCD是平行四边形， 根据三角形外角定理及 ∠AOB＝2∠OAD 得出 ∠OAD＝∠ADO，根据等角对等边得出 AO＝OD ，进而即可推出 AC＝BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论： 四边形ABCD是矩形 ；
（2） 设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x， 根据三角形的内角和及对顶角相等列出方程，求解算出x的值，从而∠ ODC ，再根据矩形的四个角都是直角及角的和差即可算出答案。
14. （1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ， 是 的中点，
∴ .
∴在 中， .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
解析：（1）根据矩形的性质可得， ， .再根据“两直线平行，内错角相等”可得 ，再由垂直的定义可得 .从而得出 ，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
（2）根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.【版权所有：21教育】
15. （1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，即 .
∴ ，
∴四边形 是平行四边形.
（2）解：如图，连接 ，
∵四边形 是矩形
∴
在 中， ， ，
∴由勾股定理得， ，即 .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ 即 ，解得 .
由（1）得四边形 是平行四边形，
又∵ ，高 ，
∴ .
解析：（1）直接利用矩形的性质结合BE=CF,可得 ，进而得出答案；（2）在 中利用勾股定理可计算 ，再由求出 得 ，进而求出AD长，由 即可求解.21教育名师原创作品
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