1.3 正方形的性质与判定 同步练习（含答案解析）

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初中数学北师大版九年级上学期 第一章 3 正方形的性质与判定
一、单选题
1.下列命题是假命题的是（??? ）
A.?平行四边形的对角线互相平分?????????????????????????????B.?矩形的对角线互相垂直
C.?菱形的对角线互相垂直平分????????????????????????????????D.?正方形的对角线互相垂直平分且相等
2.如图，四边形 是正方形，O ， D两点的坐标分别是 ， ，点C在第一象限，则点C的坐标是（??? ） 21·世纪*教育网
A.?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
3.如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最小值是（　　）
A.?1?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
4.如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中任选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形.现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　） 2-1-c-n-j-y
A.?②③?????????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????????C.?①②?????????????????????????????????????D.?③④
5.如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 是 的中点， 与 相交于点 ，设 .得到以下结论：① ；② ；③ 则上述结论正确的是（???? ） 【出处：21教育名师】
A.?①②????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????C.?②③????????????????????????????????D.?①②③
6.如图①，正方形 中， ， 相交于点O，E是 的中点，动点P从点E出发，沿着 的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段 的长度 随着运动时间x的函数关系如图②所示，则 的长为（?? ） 21教育名师原创作品
A.????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则 的值是（?? ）
A.???????????????????????????????B.????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
二、填空题
8.要使一个平行四边形成为正方形，则需添加的条件为________（填上一个正确的结论即可）.
9.如图，正方形ABCD的边长为4厘米，则图中阴影部分的面积为________.
10.如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作正方形ABED，ACGF。若点E，A，G在同一直线上，EG=8 ，BC=7，则△ABC的面积为________。 【来源：21cnj*y.co*m】

11.如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是________?。 21*cnjy*com

12.如图，在边长为 的正方形 中，点 分别是边 的中点，连接 点 分别是 的中点，连接 ，则 的长度为________.
13.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b. 依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD. 则正方形ABCD的面积为________. ?（用含a，b的代数式表示）
三、综合题
14.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与GB交于点N，连接CG.
（1）求证：CD⊥CG；
（2）若tan∠MEN= ，求 的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 ？请说明理由.
15.如图，点M， 分别在正方形 的边 ， 上，且 ，把 绕点A顺时针旋转 得到 .
（1）求证： ≌ .
（2）若 ， ，求正方形 的边长.
16.如图，在正方形 中，点 是 的中点，连接 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 .
（1）证明：G是 中点；
（2）连接 ，证明： .
答案解析部分
一、单选题
1. B
解析：A、平行四边形的对角线互相平分，不符合；
B、应该是矩形的对角线相等且互相平分，符合；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，不符合；
D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，不符合；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可.
2. D
解析：∵O ， D两点的坐标分别是 ， ，
∴OD＝6，
∵四边形 是正方形，
∴OB⊥BC ， OB=BC=6
∴C点的坐标为： ，
故答案为：D ．
【分析】利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB ， BC的长度，进而得出C点的坐标即可．【版权所有：21教育】
3. B
解析：连接AC，DP．
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，
∴AB=CD，S正方形ABCD=1，
∵S△ADP= S正方形ABCD= ，S△ABP+S△ACP=S△ABC= S正方形ABCD= ，
∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，
∴ AP?BB′+ AP?CC′+ AP?DD′= AP?（BB′+CC′+DD′）=1，
则BB′+CC′+DD′= ，
∵1≤AP≤ ，
∴当P与C重合时，有最小值 ．
故答案为：B
【分析】连接AC，DP．根据正方形的性质，可得AB=CD，S正方形ABCD=1，S△ADP= S正方形ABCD= ，S△ABP+S△ACP=S△ABC= S正方形ABCD= ，从而可得S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，利用三角形的面积公式可得BB′+CC′+DD′= ，当AP最大时BB′+CC′+DD′的值最小，所以当P与C重合时，有最小值，据此解答即可.
4. A
解析：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当③AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意.
故答案为：A.
【分析】在平行四边形的基础上要判断一个图形是正方形，只需要添加一个矩形具有的特殊性质和一个菱形具有的特属性质即可，故可以添加 AB＝BC与 AC＝BD 或 AB＝BC与∠ABC＝90° 或 AC＝BD与AC⊥BD 或 ②∠ABC＝90°与④AC⊥BD ，从而即可一一判断得出答案.
5. D
解析：如图，
；
（1）
所以①成立；(2)如图延长 交 延长线于点 ，
则：
∴ 为直角三角形 斜边 上的中线，是斜边的一半，即
所以②成立；(3)∵
∴
∵
∴
所以③成立
故答案为：D
【分析】利用正方形的性质可证得△CDF≌△BCE，进而利用全等三角形的对应角相等，可证得EPC=90°，故①成立；
延长PF交BA延长线于点M，易得△CFD≌△MFA，利用全等三角形的对应边相等可得CD=MA=AB=a，
然后利用直角三角形斜边上的中线等于是斜边的一半证得AP=BM=a，故②成立；
利用等面积法求得BE=， 进而求得CP=， 故③成立。21cnjy.com
6. A
解析：如图，连接AE
由函数图象可知，
设正方形ABCD的边长为 ，则
四边形ABCD是正方形
，
是 的中点
则在 ，由勾股定理得：
因此有
解得
则
故答案为：A.
【分析】如图（见解析），先根据函数图象可知 ，再设正方形的边长为4a，从而可得 ，然后根据线段中点的定义可得 ，最后在 中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案.www-2-1-cnjy-com
7. B
解析：设AF=y，BF=x，
∴ 正方形EFGH的边长GH=y-x，
∴EG=GF=（y-x）,
∴ 正方形ABCD的面积为x2+y2 ， 正方形EFGH的面积为（y-x）2 ，
∵ED∥BG，∴∠EDO=∠GBO，
∵ED=BG，∠EOD=∠BOG，
∴△EOD≌GOB，
∴EO=GO，
∴GO=EG=（y-x）,
∵GP=GO，
∴GP=（y-x），
∴GH:GP=，
∴PH：PG=
∵DH∥GB，
∴△DHP∽BGH，
∴， 即得， ∴x=()y
∴ .
故答案为：B.
【分析】设AF=y，BF=x，可得正方形EFGH的边长GH=y-x，即得EG=GF=（y-x）,根据正方形的面积公式可得正方形ABCD的面积为x2+y2 ， 正方形EFGH的面积为（y-x）2 ， 先证△EOD≌GOB，可得EO=GO，可得GO=EG=（y-x），从而可得GP=GO=（y-x），从而可得PH：PG=， 由于DH∥GB，可得△DHP∽BGH，利用相似三角形对应边成比例可得DH：GB=x:y=， 代入正方形的面积进行计算即得结论.21*cnjy*com
二、填空题
8. 对角线垂直且相等
解析：（1）添加条件：对角线相等，即平行四边形是矩形；（2）再添加条件：对角线相互垂直，即矩形是正方形
故答案为：对角线相互垂直且相等
【分析】平行四边形添加条件变正方形，首先添加一个变为矩形的条件，再添加一个变为菱形的条件即可
9. 8平方厘米.
解析：依题意有S＝ ×4×4＝8平方厘米，所以阴影部分的面积为8平方厘米.
故答案是：8平方厘米.
【分析】正方形的对角线所在的直线是它的一条对称轴，根据正方形的对称性可知，左边梯形面积和右边梯形面积相等，所以图中阴影部分的面积正好为正方形面积的一半.
10.
解析：过点B作BM⊥AE于点M，过点C作CH⊥AG于点H,
∵正方形ABED，正方形ACGF，
∴AM=EM=BM，AH=HG=CH???????
设BM=x，CH=y
∴2x+2y=
∴
∴
在Rt△ABC中，
AB2+CA2=BC2
∴2x2+2y2=49
∴
∴
解之：xy=
∴S△ABC=
故答案为：
【分析】过点B作BM⊥AE于点M，过点C作CH⊥AG于点H，利用正方形的性质，可证得AM=EM=BM，AH=HG=CH，设BM=x，CH=y，求出x+y的值，利用勾股定理用含x，y的代数式分别表示出AB，CA，再利用勾股定理求出2x2+2y2=49，由此可求出xy的值，然后利用三角形的面积公式可求解。
11. 8
解析：∵四边形ACDF是正方形
∴AC=AE，∠CAE=90°
∴∠EAC+∠BAF=180°-∠CAE=90°
∵∠CEA=90°
∴∠EAC+∠ACE=90°
∴∠BAF=∠ACE
又∵∠CEA=∠ABF=90°
∴△AEC≌△FBA
∴CE=AB=4
∴S△ABC=AB·CE=×4×4=8.
【分析】先根据正方形的性质得AC=AE，∠CAE=90°，然后利用平角的定义得∠EAC+∠BAF=180°-∠CAE=90°，再利用直角三角形两锐角互余的性质得∠EAC+∠ACE=90°，根据同角的余角相等证得∠BAF=∠ACE，又加上已知条件∠CEA=∠ABF=90°，从而证得△AEC≌△FBA，利用全等三角形对应边相等得性质CE=AB=4，则阴影部分即为△ABC的面积，从而可求。
12. 1
解析：过E作 ，过G作 ，过H作 ，垂足分别为P，R，R， 与 相交于I，如图， 2·1·c·n·j·y
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
，
∴四边形AEPD是矩形，
∴ ，
∵点E，F分别是AB，BC边的中点，
∴ ，
， ，
∵点G是EC的中点，
是 的中位线，
，
同理可求： ，
由作图可知四边形HIQP是矩形，
又HP= FC，HI= HR= PC，
而FC=PC，
∴ ，
∴四边形HIQP是正方形，
∴ ，
∴
是等腰直角三角形，
故答案为：1.
【分析】过E作 ，过G作 ，过H作 ， 与 相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解.21·cn·jy·com
13. a+b
解析：如图，

正方形ABCD是由4个直角三角形和一个小正方形组成，4个直角三角形的面积和等于大正方形的面积a．故正方形ABCD的面积＝a+b．
【分析】如图，正方形ABCD是由4个直角三角形和一个小正方形组成，4个直角三角形的面积和等于大正方形的面积a，由此即可解决问题．21世纪教育网版权所有
三、综合题
14. （1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠A=∠DCG=90°，
∴CD⊥CG；
（2）解：
∵CD⊥CG，DC⊥BC，
∴G、C、M三点共线
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=DE，∠EDM=∠GDM=45°，
又∵DM=DM
∴△EDM≌△GDM，
∴∠DME=∠DMG
又∠DMG=∠NMF，
∴∠DME=∠NMF，
又∵∠EDM=∠NFM=45°
∴△DME∽△FMN，
∴
又∵DE∥HF，
∴ ，
又∵ED=EF，
∴
在Rt△EFH中，tan∠HEF= ，
∴
（3）解：EM的长不可能为 。
理由：假设EM的长为 ，
∵点E是AB边上一点，且∠EDG=∠ADC=90°，
∴点G在BC的延长线上，
同（2）的方法得，EM=GM= ，
∴GM= ，
在Rt△BEM中，EM是斜边，
∴BM＜
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC=1，
∴CM＞
∴CM＞GM，
∴点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾，
∴假设错误，
即：EM的长不可能为
解析：（1）根据正方形的性质得出∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，继而得出∠ADE=∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG，然后根据全等三角形的性质得出∠A=∠DCG=90°，即可得证；
（2）先由CD⊥CG，DC⊥BC判断出G、C、M三点共线，然后利用正方形的性质易得△EDM≌△GDM，根据全等三角形的性质得出∠DME=∠DMG，而∠DMG=∠NMF，等量代换得到∠DME=∠NMF，继而可证明△DME∽△FMN，得出 ?；由DE∥HF，得出 ， 由ED=EF等量代换得 ?。在Rt△EFH中，tan∠HEF= ， 所以 ；
（3）假设EM= ?。同（2）得EM=GM= ?；在Rt△BEM中判断出BM＜ ，得出CM＞ ，进而得出CM＞GM，推出矛盾，假设不成立，即可得出结论．21教育网
15. （1）证明：由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在 和 中，
；
（2）解：设正方形 的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又 四边形ABCD是正方形
则在 中， ，即
解得 或 （不符题意，舍去）
故正方形 的边长为6.
解析：（1）先根据旋转的性质可得 ，再根据正方形的性质、角的和差可得 ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形 的边长为x，从而可得 ，再根据旋转的性质可得 ，从而可得 ，然后根据三角形全等的性质可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得.www.21-cn-jy.com
16. （1）解： 四边形 是正方形
? ，
又
在 和 中，
点E是 的中点
是 中点；
（2）解：如图，延长 交 的延长线于H
是 的中点
又 ，
即 是 的中点
又
则在 中， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
即 .
解析：（1）先根据正方形的性质得出 ， ，再根据直角三角形的性质、角的和差可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，由此即可得证；（2）如图（见解析），延长 交 的延长线于 ，先根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，从而可得 ，再根据直角三角形的性质即可得证【来源：21·世纪·教育·网】
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