(共30张PPT)
24.2
比例线段（二）
翩翩起舞的芭蕾舞演员掂起脚尖跳芭蕾总会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉。
情景引入
.
朝鲜
中华人民共和国
新西兰
新加坡
情景引入
请问这四面国旗中有共同图案吗？
五角星是一个非常完美的图案.
古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”
五角星是我们常见的图形.
A
P
B
探究
度量点Ｐ到点A、B的距离，计算
和
的值，你发现了什么？
这个比值究竟是多少呢?
和
的值接近相等
探究
A
B
P
P
问：线段AB上特殊位置的点有中点，是否存在
这样的点-----分线段AB所得“部分”与“部分”以
及“部分”与“整体”之间的协调一致？
答：存在
问：如何找到这个点确切的位置？
寻找线段上的这点需满足什么条件？
AP＞PB
即线段
AP是AB和PB的比例中项.
如图，线段AB的长度是
点P是线段AB上的一点，且
求线段AP的长。
概念学习
问1：由图可知，线段
AB、AP、PB之间有
怎样的数量关系？
答1：AP+PB=AB，
即AP+PB=l
问2：结合已知条件
即
，如何求线段AP的长？
答2：由
得关于x的方程
.
即线段
AP是AB和PB的比例中项.
A
B
P
l
x
l-x
设线段AP的长为x，
则线段PB的长为l-x.
如图，线段AB的长度是
点P是线段AB上的一点，且满足
求线段AP的长。
解：线段AP的长为Χ，那么线段PB的长为l－Χ
整理，得
解得
因为线段的长不可能为负数，所以
舍去；
是原方程的根，即线段AP的长是
概念学习
由AB=l，AP=
，
得
在比例式中
，线段
AP是AB和PB的比例中项.
A
B
P
l
x
l-x
A
B
P
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB)两段,其中AP是AB和PB的比例中项,那么称这种分割为黄金分割,点P称为线段AB的黄金分割点.
AP与AB的比值
称为黄金分割数
(简称黄金数).
黄金分割数是一个无理数,
在应用时常取它的近似值0.618
即
概念学习
l
x
l-x
点P是AB的黄金分割点（AP＞PB）
概念学习
A
B
P
全，
长=
短=
全
即：已知线段全长、较长线段和较短线段中
的一个量可求出其他连个两个量
l
l
l
短=全-长=全-
全=
全
因
AP＞PB
故可以把线
段AP称为较
长线段，BP
称为较短线段，AB称为原线段.”
你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗?
芭蕾舞
芭蕾舞演员的身段是匀称的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象.
黄金分割实际应用
世界艺术珍品——维纳斯女神
，她是西元前一
百多年希腊雕塑鼎盛时
期的代表作，她的上半
身和下半身的比值接近
0.618.
黄金分割实际应用
黄金分割实际应用
观察两幅照片，哪一更具有美感呢？
因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉，
为了打破这种感觉，我们在构图的时候，就需要灵活地
运用黄金分割来构图，把画面的上下左右用黄金分割来
做出4条线，人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉
最敏感的地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发
布在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影理论里把
这4个点称为“趣味中心”.
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.
黄金分割实际应用
位于上海黄浦江畔的东方明珠塔，是亚洲第一，世界第三高塔，它的塔身高达462.85米，要建造这样高而瘦长的塔身，在造型上难免有些单调，然而设计师巧妙地在塔身上装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱，它既可供游人登高俯览城市景色，又使笔直的塔身有了曲线变化，更妙的是，设计师有意将上球体选在295米之间的位置，这个位置恰好在塔身5比8的地方，这0.618
的比值，使塔身显得非常协调、美观。
黄金分割实际应用
举世闻名的法兰西国土上的“高塔之祖”——埃菲尔铁塔，它的第二层平台正好坐落在塔高的黄金分割点上，给铁塔增添了无穷的魅力。
艾非尔铁塔
黄金分割实际应用
解：∵P是线段AB的黄金分割点，
根据题意AP＞PB
例题1：已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=8,
求较长线段AP和较短线段PB.
∴AP=
AB=
×8=
.（或PB=
AP
(或PB=
AB
新知运用
A
B
P
分析：
？
8
×
)
×8
)
？
如果把AP=2改为PB=2,如何求AB和AP的长.
∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
例题2：已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
且AP=2求AB和PB的长.
∴PB=
AP
AB=AP+PB
∴
得
.∴AB=AP+PB=3+
.
新知运用
A
B
P
2
？
分析：
？
，
.
即
适时小结
在黄金分割问题中，
全，
长=
短=
全
A
B
P
l
l
l
已知线段全长、较长线段和较短线段中
的一个量可求出其他连个两个量
例题3：已知点P是线段AB的黄金分割点，
若AB=8,求线段AP的长.
（1）当AP＞PB时，
（2）当PB＞AP时，
线段AP是较长线段还是较短线段不确定，所以要分类讨论.
解：
新知运用
A
B
P1
P1
分析：
8
∴AP=
AB=
×8=
∴AP=
AB=
×8=
一般地一条线段的黄金分割点有两个
适时小结
两个
A
B
P2
P1
1：（课本P.10页，练习24.2(2)第3题）
已知线段MN的长为2厘米，点P
是线段MN的黄金分割点，
则较长的线段MP的长是
厘米，较短的线段
PN的长是
厘米.
2：（练习册P．4页／1）
（1）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，
AB=4厘米，那么线段AP、PB的长度分别是
厘米
和
厘米．
课堂练习
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，被分得的较
长线段PB=4厘米，那么较短线段PA
=
厘米，AB=
厘米．
3.
已知点P是线段AB的黄金分割点，
AB=4厘米，
那么线段AP长度是
厘米．
课堂练习
或
通过本节课的学习你得到了哪些新知识，又有哪些收获？
课堂小结
1.点P是AB的黄金分割点（AP＞PB）
A
B
P
全，
则：长=
2.一条线段的黄金分割点有两个
3.黄金分割是一个伟大的自然法则和美的定律,它存在于世界的每一个角落，并逐步被人们认识和广泛应用．
1.
4和25的比例中项是
.
2.
线段4厘米和24厘米的比例中项是
.
3.
如图，已知P是线段AB的一个黄金分割点，且AB=20cm，AP＞BP，那么AP=
cm.
4.
如图，已知P是线段MN的一个黄金分割点，且
MN=20cm，AP＜BP，那么AP=
cm.
布置作业：
±10
12厘米
一.
补充题:
二.练习册
:
习题22.5(1)
布置作业：
5.
如图，AB=1，P1、P2是线段AB的两个黄金分割点.
（1）AP2=
，AP1=
；
(2)求
，点P1是线段AP2黄金分割点吗？
点P1是线段AP2黄金分割点.
知识的升华
在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。老师身高1.63米，下半身0.96米，应该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？请大家帮忙算一算。
实际应用
耐人寻味的0.618
读一读
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比,
普通树叶的宽与长之比也接近0.618;
节目主持人报幕，很少不会站在舞台的中央，而总是站在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最佳的位置;
生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对开、8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形……
黄金分割在地理上的应用
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。
都江堰
黄金分割在医学上的应用
黄金分割律与医学有千丝万缕的联系。这可以解释人为什么在环境温度为２２℃～２４℃时感受最舒适，因为人体的正常体温为３７℃与０.６１８的乘积为２２℃，在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理节奏和生理机能均处于最佳状态。医学家们注意到，人在精神愉快时，脑电波频率下限（８赫兹）与上限（１２.９赫兹）之比，恰为黄金分割律的相近比例。如在这时参加考试或竞技，更能发挥出好水平。另外，还有正常血压的舒张压与收缩压的比例关系，人的正常睡眠时间与活动时间的比例关系等，都足以说明黄金分割律在体现人体内在生理的舒适与愉悦和外在形象的和谐与美感时，是无所不在的。
黄金分割在生活上的应用
正如前面提到的台上演出的独唱演员、报幕员或剧中的主要人物一般站在黄金分割点一样（如右图），黄金分割在生活其它地方上，如摆设、装修等方面都有着很多的应用。
意大利家具成功地将“黄金分割”运用到制作当中，达到了一种整体的和谐之美。地柜的长高比、地柜上小相门的长宽比都是黄金分割，对开门的下方设计有一对抽屉，抽屉的长度与柜门的高度以及整个衣柜的宽度与高度之比，也都符合黄金分割定律，这种大的黄金分割套小的黄金分割，使得整体一件家具处处都显得匀称和谐，优美雅致。由带有黄金分割设计的单家具，组合而成的成套家具，其整体的协调性与观赏性，更可以达到和谐的统一。
比如我们用的课本是长方形,长和宽是按照黄金分割比例的，这样会比较美观。不但是课本，只要你仔细观察，身边的许多长方形的东西，很多都是存在黄金分割比例关系的。可以说，黄金分割定律，已经广泛的应用到美学上，已经成为我们生活中的美不可缺少的一部分。
据说金字塔长和宽也是按照黄金分割比例关系的(共26张PPT)
24.2
比例线段（一）
比例线段
画两个矩形ABCD和A′
B
′
C
′D
′，使它们的长分别为4.5cm
和
1.5cm，宽分别为2.4cm和0.8cm，并计算线段AB和BC的比，线段A′B
′
和B
′C
′的比.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
结论：
在四条线段
a、b、c、d
中，如果
a
和
b
的比等于
c
和
d
的比，那么这四条线段a、b、c、d
叫做成比例的线段，简称比例线段.
外项
外项
内项
内项
a
：b
=
c
：d.
外项
内项
a、b、c
的第四比例项
如果作为比例内项的是两条相等的线段即
或
a
：b
=
b
：c，
那么线段
b
叫做线段
a
和
c
的比例中项.
(1)比例的基本性质：
如果
—
=
—
，那么
ad=bc.
a
b
c
d
反之也成立
如果
a:b
=
b:c
,那么b2=ac
b叫做a、c的比例中项
反之
如果b2=ac,那么a:b
=
b:c
b叫做a、c的比例中项
例：
从ad
=
bc
还可以得到那些比例?
解:
∵
ad
=
bc
,两边同除以
ac
得:
即
d
：
c
=
b
：
a
;
∵
ad
=
bc
,两边同除以
db
得:
即
a
：
b
=
c
：
d
;
∵
ad
=
bc
,两边同除以
dc
得:
即
a
：
c
=
b
：
d
;
∵
ad
=
bc
,两边同除以
ab
得:
即
d
：
b
=
c
：
a
;
(比例的基本性质)
左右两边对调
左右两边对调
左右两边对调
左右两边对调
，
；
证明∵
在等式两边同加上1，
∴
．
∴
(2)比例合比性质：
如果
那么
(3)等比性质
如果
那么
a
c
b
d
=
m
n
=
…=
(b+d+…+n≠0),
a+c+…+m
b+d+…+n
=
.
a
b
a
c
b
d
=
m
n
=
…=
证明：
设
=k,
则
a=bk,
c=dk,
…
m=nk,
∴
=
a+c+…+m
b+d+…+n
bk+dk+…nk
b+d+…n
=
(b+d+…n)k
b+d+…n
=k
=
.
a
b
a
c
b
d
=
m
n
=
…=
a+c+…+m
b+d+…+n
=
.
a
b
分母之和不为零，
？
问题1
已知
，求证：（1）
；
（2）
.
证明：（1）
，
（合比性质），即
.
（2）
，
，
（合比
性质），即
.
A
B
C
D
E
1.判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
例题解析
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解
（1） ∵
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．
，
，
∴
，
（2）a＝2，b＝
，c＝
，d＝
．
解 ∵
，
∴
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
2.A、B两地的实际距离AB=250m,画在图上的距离A/B/=5cm,求图上的距离与实际距离的比。
解：取米作为共同的单位长度。AB=250m,
A/B/=0.05m,所以：
练习：
⑴若m
是2、3、8
的第四比例项，m=
；
⑵若x
是3和27的比例中项，则
x
=
；
⑶若
a
：b
：c
=
2
：
3
：7
,又
a
+
b
+
c
=
36，
则
a
=
，b
=
，c
=
.
12
9
6
9
21
⑷已知
，则
.
课堂练习
5.求下列比例式中的
x.
6.已知
求
的值
7.已知a、b、c为非0的整数，
，求k的值
8.
9.如图,
AB=4,AC=2,BC=3,
求DC,BD的长.
A
B
C
D
10.如图,AD=2,AB=5,且
求AC.
A
B
C
D
E
达标练习
3．已知
，求
的值
，求
，
的值。
4.已知
5.已知
＝
＝2，求
6.已知
＝
＝3，求
（b＋d＋f≠0），
的值.
求
已知
a
a
a
a
a
),
1
(
:
:
)
1
(
-
=
+
1.
解:
由比例的基本性质得
a2
=
(1+a)(1-a)
2a2
=
1
X=
达标试题
2.
解：设
则
∴
已知
,b＋d＋f＝4，
求a＋c＋e。
3
=
=
=
f
e
d
c
b
a
3.
解：∵
即
∴
a+c+e
=
4×3
=
12
如图，已知
，
由等比性质得
求△ABC与△ADE的周长比。
E
D
C
B
A
5.
解：
∵
∴
答：△ABC与△ADE的周长比为
。
比例线段的概念
a
：b
=
c
：d.
外项
内项
a、b、c
的第四比例项
a
：b
=
b
：c
比例中项
a、b、b的第四比例项
在四条线段
a、b、c、d
中，如果
a
和
b
的比等于
c
和
d
的比，那么这四条线段a、b、c、d
叫做成比例的线段，简称比例线段.
小结
比例的性质
1、比例的基本性质：
如果
a
：b
=
c
：d
，那么
ad
=
bc.
如果
ad
=
bc，那么
a
：b
=
c
：d
2、合比性质：
如果
，那么
3、等比性质：
如果
，
那么
.
