《黄金螺旋线》教学设计
一、指导思想与理论依据
《数学课程标准（2011年版）》提出在教学中要落实数学核心素养，发展学生的“几何直观”便是其中之一。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简单、形象。课标同时还提出学生应有足够的时间和空间，经历观察、分析、推理、归纳等数学活动，发展合情推理能力。
基于以上理念，本节课力求引导学生通过拼摆大小不一的扇形得到黄金螺旋线，然后借助得到的几何直观图探索扇形半径中蕴含的规律，从而发展学生观察、分析、推理、归纳的能力，积累数学活动经验和数学思想方法。
二、教学背景分析
（一）教材内容分析
《黄金螺旋线》是义务教育教科书北京版教材六年级上册第七单元《数学百花园》的内容。圆和扇形的认识是学生学习本节课的知识基础。通过本节课的学习，将进一步发展学生探索规律的能力，亦帮助学生积累借助几何直观分析问题的数学活动经验和推理的能力，为其今后的数学学习奠定基础。
《黄金螺旋线》这一内容所要探索的规律是“斐波那契数列”。但是认识“斐波那契数列”不是教学重点，教学重点是让学生经历探索规律的过程，通过动手拼摆得到黄金螺旋线，再通过观察直观图推理出扇形半径之间存在的内在规律，最后验证所发现的规律。在探究过程中要注重发展学生的推理能力，同时引导学生感受数学与自然界的联系，欣赏数学美，激发学生学习数学的兴趣。
（二）学生情况分析
在以前的学习中，学生已经认识了圆和扇形，并已具有一定的探索规律的能力以及借助几何直观解决问题的经验。但是学生看到一列数，很容易单纯地从数出发寻找规律，很少有把数转化为形来研究的数学意识，本节课就是要培养学生数形结合的研究意识，进一步发展学生借助几何直观探索规律的能力。为了使学生能够深刻认识到探究过程中数与形结合的重要性，教学时可以引导学生回顾和梳理研究问题的过程，渗透和强化数形结合思想。
（三）教学方式与技术准备
教学方式：采取独立思考、交流研讨等多种教学方式相结合的形式。
教学准备：扇形图片，磁力板，学习单，教学课件。
三、教学目标
1．了解黄金螺旋线，理解“斐波那契数列”中蕴含的规律。
2．经历观察、分析、归纳的探索规律过程，发展几何直观和推理能力。
3．感受数学与生活的密切联系，提升欣赏数学美、创造数学美的能力。
教学重点：经历探索规律的过程，发展学生推理能力。
教学难点：借助几何直观进行合情推理，探索规律。
四、教学过程
（一）生活导入，初步感知
出示三幅图片（鹦鹉螺、旋转楼梯、花）
问题1：请你们仔细观察，这三幅图有什么共同的地方？
问题2：谁能上来指一指？下面同学和他一起指好吗？
（学生用手势感知黄金螺旋线）
没错，它们都有这样一条优美的曲线。我们称它为黄金螺旋线。（教师板书：黄金螺旋线）
问题3：你们觉得这条曲线的起点在哪？谁能上来指一指？
从起点开始，由里逐渐向外。（教师课件演示）
今天我们就一起来研究这条曲线。
【设计意图：引导学生观察生活中的图片，初步感知“黄金螺旋线”；同时引导学生通过手势体验，进一步认识黄金螺旋线的起点和方向。】
（二）借助直观，探索规律
1．动手拼摆
问题1：想一想，用以前学过的哪种图形可以拼摆出黄金螺旋线？（扇形）
问题2：请你们思考，用扇形的哪部分能拼出这条曲线？（扇形的弧）
（出示6个大小不一的扇形图片。）
动手拼摆看看能不能拼出黄金螺旋线。
2.
汇报交流
哪组同学来说一说，你们是怎么拼摆的？
预设：
（1）从小的扇形开始拼，沿着扇形的弧拼成的。
（2）从大的扇形开始拼，沿着扇形的弧拼成的。
问题1：谁听明白了，在拼摆时要注意什么？（拼摆时应该让弧相接）
哪个小组愿意到黑板上拼，请你们一边拼摆一边说说是怎样拼的。
问题2：黄金螺旋线到底在哪呢？你们能指一指吗？
（从起点开始，沿着扇形的弧依次往后画。）
【设计意图：学生借助已有经验，先猜想出用扇形的弧能拼摆出黄金螺旋线，然后通过动手操作，验证猜想的正确性，发展学生的空间想象力，激发其进一步探究的兴趣。】
3.探索规律
（1）明确问题，进行推理
问题1：观察扇形的弧有什么不同？（弧的长度不一样）
问题2：扇形的圆心角都是90°，为什么弧的长度不一样？（扇形的半径不一样）
问题3：如果继续往下拼，下一个扇形的半径会是多少呢？这些扇形的半径之间是否存在某种规律呢？
现在我们知道第一个扇形的半径是1厘米，下面以小组为单位，合作探究，并完成学习单。
(
……
)
(
……
)
（2）汇报交流，发现规律
哪个小组来说一说，你们是怎样推出每个扇形的半径是多少，它们之间存在着怎样的规律？
预设：通过观察图形得到规律：
扇形一的半径是1厘米，扇形二的半径也是1厘米，通过图发现，这两个扇形半径加起来正好是扇形三的半径，所以扇形三的半径是2厘米。
扇形四的半径：等于扇形三加扇形一（或二）的半径。
扇形五和扇形六的半径，可以请其他同学汇报。
（汇报环节：渗透借助平移推理的方法，同时适时板书每个扇形的半径）
问题1：通过刚才的探究，你们能总结出扇形的半径之间存在的规律吗？
（从第三个扇形开始，每一个扇形等于它前面相邻两个扇形的半径之和。）
同学们通过图推出了每个扇形的半径，而且通过图又能找到这一列数的规律，可见图对我们研究问题非常重要！
问题2：根据规律，扇形七和扇形八的半径分别是多少？
（学生到黑板前讲解，教师适时出示相应扇形验证。）
应用刚才发现的规律，我们还可以再得出下面多个扇形的半径，当然应用这列数的规律还可以继续画出后面的图形，而且越往后，扇形的半径越大。
4.
课堂小结
我们一起回顾一下，刚才是如何得到扇形半径之间存在的规律的？
预设：先通过拼摆得到图形，然后再观察图形得到每个扇形的半径，从而发现了它们之间存在的规律，应用规律可以继续画黄金螺旋线。
没错，我们通过拼摆得到图形（板书：形），借助图形发现数的规律，（板书：
数），最后通过半径之间的规律又可以继续画黄金螺旋线，（板书：
形
数
）。看来我们在研究问题时，数与形是密不可分的！
【设计意图：教师放手让学生自主探究，学生在独立思考、合作交流中，经历了观察、分析、推理、归纳的探索规律的过程，发展了几何直观和推理能力。发现规律后，教师及时引导学生回顾探索规律的过程，从而帮助学生积累数学活动经验，感悟数形结合的数学思想。】
（三）了解数列，感悟数学美
1.认识斐波那契数列
如果继续往下写，可以得到这样一列数：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144
……
这列数就是著名的“斐波那契数列”。你们知道它为什么叫这个名字吗？
介绍数学家斐波那契和兔子数列。
2.欣赏图片和视频。
……
【设计意图：介绍斐波那契数列，将数学文化融入课堂教学中，从而使学生在数学文化的熏陶中产生情感共鸣。通过欣赏生活中的图片与视频，体会黄金螺旋线的美之所在，拓展学生的思维，使学生更深入地理解数学的本质。】
（四）全课总结，畅谈收获
欣赏完图片和视频，并结合今天的学习过程，你有什么想和大家分享的？
板书设计：
黄金螺旋线
形
数
一：
1
二：
1
三：
2＝1＋1
四：
3＝2＋1
五
：5＝3＋2
六：
8＝5＋3
……
五、本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点
本课结合高年级学生的思维特点，放手让学生自主探究。教学中引导学生在动手拼摆中，以小组合作的形式探究扇形半径之间存在的规律。同时力求体现以下三个方面。
1.注重与生活实际沟通联系
本课从学生生活中熟悉的图片导入，激发了学生的学习兴趣，同时抽象出了黄金螺旋线，符合学生的认知特点。在学生探究出扇形半径之间存在的规律后，教师再次出示了生活中存在黄金螺旋线的图片，引导学生感受黄金螺旋线的美丽、奇妙与震撼，使学生感悟到身边处处有数学。
2.注重培养学生的推理能力
推理是非常重要的核心素养，是学生发现与探索问题的重要思想方法。本节课学生通过第一个扇形的半径，逐渐推理出所有扇形半径之间满足的规律，发展了学生的合情推理能力。
3.注重数形结合思想的渗透
本节课学生借助直观图发现了扇形半径之间存在的规律，即以形助数。之后应用数的规律又继续画黄金螺旋线，即以数解形。整节课注重数形结合思想的渗透，引导学生深刻地体会到研究问题时数与形是密不可分的。
1黄金螺旋线
1.指导思想与理论依据
“黄金螺旋线”是以直观的方式呈现探索规律的内容,学生对圆和扇形的认识是学习本单元数学百花园的知识基础,在以前的数学学习中,学生所获得的探索规律的方法能力以及借助几何直观探究解决问题的经验，是学习本课的能力基础。通过本课内容的学习，将进一步发展学生探索规律的能力，帮组学生积累数学活动经验、数学思想方法，为学生今后的数学学习奠定基础。
2.教学背景分析
教材分析：
“黄金螺旋线”这一内容所要探索的规律是“斐波那契数列”，教学重点是让学生经历探索规律的过程，发展学生观察、推理、归纳的能力，积累数学活动经验和数学思相方法。同时让学生感受数学与自然界的联系，欣赏数学美，激发学生学习数学的兴趣。
学情分析：
六年级学生他们对于探索规律的相关内容非常感兴趣，他们有很强的好奇心，愿意独立的思考解决问题，对于探索规律的方法的积累学生还只是停留在表面，不能抓住问题的本质分析。
对于班级中的学习困难的个别学生他们很愿意和其他人一起合作学习，对于别人的见解他们也关注，但自己没有自己的学习方法，不会独立思考，需要其他人的帮助，带领，给他启发，他也能感受到学习的乐趣。
3.教学目标(含重、难点、教学方法)
教学目标：
1、通过“”黄金螺旋线”内容的学习，发展学生学习数学的兴趣和借助几何直观探索规律的能力，帮助学生积累数学活动经验和数学思想方法。
2、让学生经理探索规律的过程，发展学生观察、分析、推理、归纳的能力。
3、通过“黄金螺旋线”内容的学习，提升学生欣赏数学美、创造数学美的能力。
4、让学生感受人的聪明智慧。
重点：
让学生经历探索规律的过程，发展学生观察、分析、推理、归纳的能力，积累数学活动经验和数学思想方法。
难点：
理解探索规律过程中所运用的分析、推理、归纳的方法。
教学方法：
合作式、探究式等教学方法。
4.教学过程
图片引入，初步感知
谈话引入：有一天，我坐在椅子上，突然发觉世界万物仿佛都和螺旋线有关。从DNA开始，就是双螺旋结构，手指上有螺旋，头上也有螺旋，这和头发的生长密切相关。这样想着，我打开台灯，灯泡的接口也是螺旋状的。走进洗手间准备刷牙，牙膏盖也是螺旋状的。打开水龙头，水立刻以螺旋状冲走。这时，我听到窗外的阵阵风声，想到台风的卫星云图也是螺旋。抬起头仰望星空，银河系更是螺旋前进的。螺旋到底有着怎样的神奇奥秘呢？
大自然里，很多事物都遵循一个螺旋规律：裴多那契螺旋，又称黄金螺旋线，它是人类通过计算得出的最完美的螺旋形状。
【设计意图：感受大自然的神奇，初步感知数学曲线的美，调动学生学习数学的兴趣。】
（二）自主探究、发现规律
1、用以前我们学过的一种几何图形也能画出或拼摆出这样优美的“黄金螺旋线”请你们猜一猜是什么？
预设：圆、正方形、扇形
2、让学生用手中的扇形学具拼摆出“黄金螺旋线”的图案
设计意图：培养学生的动手操作能力和空间想象力，让学生进一步感知“黄金螺旋线”技法学生的学习兴趣。
1、提出问题，引出猜想
教师：我们通过拼摆，用扇形可以画出优美的“黄金螺旋线”的图案，如图
如果图中扇形半径的单位是厘米的话，我们再继续画下去，那么下一个扇形的半径应该是多少厘米？如果我们再继续画下去，那么再下一个扇形的半径又应该是多少厘米呢？
2、自主探究，发现规律
提示：你可以把图中的几个扇形的半径一一列出来，在结合画图或者拼摆来发现规律。
3、小组交流：补充验证。（引导学生交流自己是怎样发现规律的，又是如何验证的）
4、汇报结果。
预设：1、通过画图发现规律
通过观察画图规律，第七个扇形的半径可能是5+8=13，通过画图可以验证猜想是正确的，再下一个扇形的半径是8+13=21，依次类推把相邻的两个扇形的半径相加就是下一个扇形的半径。2、通过分析前几个数，递推出后面的数，从而发现规律。
1扇形编号
半径/厘米
第一个扇形的半径：1
第二个扇形的半径：1
第三个扇形的半径：2=1+1
第四个扇形的半径：3=2+1
第五个扇形的半径是：5=3+2
第六个扇形的半径是：8=5+3
等等
5、小结。
（1）我们发现的规律是什么？从第三个扇形起，每个小扇形的半径都是它前面相邻两个扇形半径之和）
（2）我们是怎样发现这个规律的？
设计意图：以开放的形势组织教学，让学生在自主探究中经历猜想——验证的过程，经历探索规律的过程，发展学生观察、分析、推理、归纳的能力。发现的规律后，要引领学生回顾探索规律的过程，通过回顾帮助学生积累数学活动经验和数学思想方法。
（三）拓展提高
1、通过我们发现的规律，把这串数继续写下去，多写出几个。
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144
2、介绍“斐波那契数列”
这串数就是著名的斐波那契数列。13世纪初，欧洲最好的数学家斐波那契，他写了一本叫作《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面的这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔崽它出生后的第三个月里，又能开始生1对小兔子，假设在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”
斐波那契把推算得到的头几个数摆成一串：1、1、2、3、5、8、等大家都叫它斐波那契数列，又称兔子数列。所以“黄金螺旋线”也称斐波那契螺旋线“，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案。人们根据”黄金螺旋线“也创造出了许多优美的作品。
3、练习：有一串数从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和，已知这串数的第六个数是6.5，第七个数数是10.5，那么这串数第一个数是几？
（四）全课总结
清同学们回顾今天的学习过程，你有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）布置作业
1、有关“黄金螺旋线”的有趣的知识还有许多，请你上网搜一搜有关的内容，相信你还会有更大的收获。
2、学习困难的学生可以选择的作业：画一幅鹦鹉螺外壳的图画，也可以画一幅用我们学过的图形组成的鹦鹉螺外壳的图画。
板书设计：
黄金螺旋线
扇形:
1、2、3、4、5、6
半径：
1、1、2、3、5、8
5.学习效果评价设计
通过今天的学习，你学到了什么，你觉得最有意思的内容是什么？
6.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点
本节课的教学设计最大的特点是让学生在在宽松的环境中通过观察图片，发现问题，然后针对问题，并应用所学的知识去探究规律，体会在探索中发现规律的快乐。这样的课堂充分发挥了学生的主体作用，把学习的主动权完全交给了学生，教师在恰当的地方去点播，引导，让学生茅塞顿开，体会到数学的魅力。黄金螺旋线教学设计
教学背景分析
1.教材分析：
新北京版教材经教育部审定后于2014年下半年开始正式使用。而《黄金螺旋线》则是新教材在六年级上学期首次加入的教学内容。教材呈现上是先介绍鹦鹉螺旋线，再通过对螺旋线画法的研究发现扇形半径所组成的数列规律，也就是著名的斐波那契数列。我们从教材的呈现可以看出：首先教材对学生的要求不高，只要能在螺旋线中发现半径的长度所组成数列的简单规律（从第三项起后一项等于前两项数字之和）就可以了。其次，教材为学生留下了广阔的探索空间，我们可以想象如果学生单单学习教材他们必然会产生一些问题。比如这个数列有没有名字？数列还有什么其他特点？学习黄金螺旋线有什么用……而这节课上就可以让学生把这些质疑解开。学生在展示自己的发现并在汇报中进一步帮助学生积累数学活动经验和数学思想方法。
2.学情分析：
这是一节新课，但书上内容对于六年级的学生来说并不难，学生对于实践活动课的热情很高。在学过的知识中，找数列规律对于学生们来说并不困难，只要把小扇形的半径仔细观察就会得出规律。所以根据学生的学习特点，我并没有把找斐波那契数列的特点作为重点，而是在此基础上拓宽学生思维，让学生们探寻这个数列其他特殊之处。另外学生在感受到这种美后，自然的想有亲自创造美的思想火花。最后孩子们经历了画斐波那契数列的时候真正做到了培养和锻炼了孩子的能力。
二、教学目标和重难点。
1、通过学生填表讨论，初步了解斐波那契数列的简单规律认识到斐波那契数列与鹦鹉螺旋线之间存在关系，发展学生学习数学的兴趣。
2、在汇报过程中进一步理解斐波那契数列，体会其与鹦鹉螺旋线的关系。发展学生观察、分析、推理、归纳的能力。帮助学生积累数学活动经验和数学思想方法。
3、在绘制黄金螺旋线的过程中，提升学生欣赏数学美、创造数学美的能力。
教学重点：进一步理解斐波那契数列，体会其与黄金螺旋线的关系。
教学难点：利用斐波那契数列与黄金螺旋线之间的关系绘制黄金螺旋线。
三、教学过程
导入新课
1．
出示鹦鹉螺的外形图片。
师：今天我邀请同学们和老师一起走进鹦鹉螺的世界。看，这是鹦鹉螺的外壳，（漂亮吗？）它的美不仅在于它漂亮的颜色，更在于它那优美的曲线。看，多像一个在表演带操的小姑娘！人们把这种优美的曲线称为“黄金螺旋线”。
板书：黄金螺旋线
（二）探究新知
1．同学们猜一猜黄金螺旋线是用我们学过的什么图形的弧线画出来的？出示课件（对，是用大小不同的扇形弧线画出来的）。看这幅图，仔细观察你知道了什么数学信息？
预设：学生1（这幅图由六个不同的扇形组成的）。
学生2（我知道了每个扇形的半径是多少？）
师：我们一起来数一数这六个扇形。举例说说其中一个扇形的半径是多少？
师：这幅图是不是就可以画这六个扇形的弧线呢？如果再继续画下去，第七个扇形的半径是多少呢？
请同学们拿出表格来按要求填一填。（出示课件中的表格）填完后看看你有什么发现，可以和同桌的同学讨论。
学生交流
预设：
生1我填的扇形半径是：1、1、2、3、5、8、13……第7个扇形的半径是13。用5+8算出来的。
生2我发现的规律是：1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13
生3前两个数的和等于它后边的数。师追问：第一个数1用你的规律怎么算？（生：从第三个数起）
他们说的和你想的一样吗？
把他们几个说的总结到一起：（出示课件），大家自己读一读。
从第三个扇形起，每个小扇形的半径都是它前面相邻两个扇形半径之和。
我们来验证一下好吗？找学生指着黑板上的几个数说一说。再继续写下去是多少？（出示课件一起来说）
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987······
5.多有意思的一列数啊!在这列数中除了刚才我们发现的从第三项起每个数是它前两个数之和这个规律,它还有什么特殊之处呢?我们同桌可以讨论一下或者动笔圈一圈画一画。
学生交流
预设：生1我发现这列数里每隔两个数就是2的倍数。师提示：把话说严谨。
生2我发现这列数里也有3、5、8的倍数。如3、21；5、55。8、144
师:我们一起来看看这列数里关于2的倍数，从第三个数起，1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……即从2起，每隔两个数就是2的倍数，有2、8、34……真是这样啊！
谁来具体说说你理解到的。
生3我发现从第三个数起，每隔3个数就是3的倍数，每隔4个数就是5的倍数……
6.看我们的同学多了不起啊！挖掘出这列数隐藏的规律。（此处应该有掌声，为我们自己鼓掌！）关于这列数还有一个名字呢！谁知道吗？找学生说说。可能会有学生知道兔子数列
板书：斐波那契数列
出示课件：介绍关于斐波那契数列。找学生来读一读。
13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波那契，他写了一本叫作《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月里，又能开始生1对小兔，假定在不发生死亡的情况下，一对初生的兔子开始，一年后能繁殖多少对兔子？”斐波那契把推算得到的头几个数摆成一串：1、1、2、3、5、8······大家都叫它“斐波那契数列”，又称“兔子数列”。所以“黄金螺旋线
也称“斐波那契螺旋线”，是根据“斐波那契数列”画出的螺旋曲线。
为了让大家更加深入的了解斐波那契数列，老师还给大家带来一段视频，一起来欣赏吧！（播放视频）
7.在我们的生活中有很多美得事物和斐波那契数列有关。欣赏生活中的曲线美。
（三）能力提升训练
看刚才同学们已经被这么优美的曲线条深深的吸引住了，你想不想亲自来画一画呢？
画前我们想想从哪画起呢？找学生说一说。老师巡视指导学生。画好的学生贴到黑板前。
（四）欣赏同学们的作品，说说自己有什么收获？
反思与评价
这是一节典型的翻转课堂实验课。首先，课前利用平板电脑将事先录制好的微课播放给学生。并将教材内容以图片的形式展示给学生。通过学生在网络环境下的学习自主掌握知识点,准备课上汇报。
然后在课上由学生根据微课中的问题进行汇报，在汇报中对知识进行拓展和延伸。发展了学生学习数学的兴趣。发展学生观察、分析、推理、归纳的能力。帮助学生积累数学活动经验和数学思想方法。
