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24.1.2垂直于弦的直径（基础练）
1．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（ ）
A．12.5寸
B．13寸
C．25寸
D．26寸
【答案】D
【解析】【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】
解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，
连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．
故选：D．
【点评】此题是一道古代问题，其实质是垂径定理和勾股定理．通过此题，可知我国古代的数学已发展到很高的水平．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，则AE的长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解析】【分析】利用直径AB=10，则OC=OA=5，再由CD⊥AB，根据垂径定理得CE=DECD=4，然后利用勾股定理计算出OE，再利用AE=OA﹣OE进行计算即可．
【详解】
连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，AB=10，∴OC=OA=5．
∵CD⊥AB，∴CE=DECD8=4．在Rt△OCE中，OC=5，CE=4，∴OE3，∴AE=OA﹣OE=5﹣3=2．
故选A．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
3．下列命题中，假命题是（
）
A．平分弧的直径必平分这条弧所对的弦
B．圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心
C．平分弦的直径垂直于弦
D．垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧
【答案】C
【解析】【分析】根据垂径定理的相关知识逐一进行分析即可得答案.
【详解】
A、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以A选项为真命题．
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以C为假命题；
D、垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧，所以D选项为真命题，
故选C．
【点评】本题考查了对垂径定理及其相关知识的理解，熟记和正确理解相关知识是解题的关键.
4．下列命题中正确的是（??
）
A．圆只有一条对称轴
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】C
【解析】【分析】根据垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系分别对每一项进行分析即可．
【详解】
A.圆有无数条对称轴，故本选项错误，
B.
平分弦(不是直径)的直径一定平分弦所对的弧，故本选项错误，
C.
垂直于弦的直径平分弦，故本选项正确，
D.
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误，
故选C.
【点评】考查垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系,比较基础，难度不大.
5．一种花边由如图的弓形组成，弧ACB的半径为，弦AB＝2，则弓形的高CD为（?
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】【分析】根据垂径定理和勾股定理解答．
【详解】
如图所示,
AB⊥CD,根据垂径定理,
由于圆的半径为5,根据勾股定理,
故选:A
【点评】考查垂径定理以及勾股定理，构造直角三角形是解题的关键.
6．如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（???
）
A．AB=12cm
B．OC=6cm
C．MN=8cm
D．AC=2.5cm
【答案】D
【解析】【分析】根据垂径定理及直角三角形的性质进行解答即可．
【详解】
A.∵OA=5cm，∴MN=10cm，∵AB是⊙O的弦，∴ABB.∵AB⊥MN于点C，在Rt△OAC中，OA是斜边，且OA=5cm，∴OCC.∵OA=5cm，∴MN=10cm，故本选项错误；
D.∵在Rt△OAC中，OA是斜边，且OA=5cm，∴AC故选D.
【点评】考查垂径定理以及直角三角形，垂直于弦的直径平分弦并且平方弦所对的两条弧.
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，则AE的长为（?
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解析】【分析】根据垂径定理得到再利用勾股定理计算出OE=3，然后利用AE=OA-OE进行计算即可．
【详解】
连结OC,如图,
∵直径AB=10，
∴OA=OC=5，
∵CD⊥AB，
∴
在Rt△OCE中，∵OC=5，CE=4，
∴
∴AE=OA?OE=5?3=2.
故选:D.
【点评】考查垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.
8．⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（?
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】根据弧的度数求得弧所对的圆心角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠A的度数，从而根据直角三角形的性质进行求解．
【详解】
∵弦AB所对的劣弧为120，
∴
∵OA=OB，
∴
又OC⊥AB，
∴
故选:B.
【点评】考查垂径定理以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
9．过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________.
【答案】
【解析】【分析】过⊙O内一点M的最长的弦为直径，最短的弦是垂直于直径的弦．根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】
过⊙O内一点M的最长的弦为直径，最短的弦是垂直于直径的弦，
则半径为3cm,根据勾股定理可得,
故答案为.
【点评】此题根据题意判断“最长的弦为直径,最短的弦是垂直于直径的弦”是难点.
10．半径为6cm的圆中，有一条长4cm的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm.
【答案】4
【解析】【分析】在直角△OCE中，．根据勾股定理和垂径定理求解．
【详解】
在直角△OCE中，
根据CD⊥AB，则,
根据勾股定理得
故答案为4.
【点评】考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理的性质是解题的关键.
11．如图所示，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB，P是⊙O上不同于C，D的任意一点.
(1)当点P在劣弧CD上运动时(如图(1))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论;
(2)当点P在优弧上运动时(如图(2))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论(不讨论点P与点A重合的情况).
【答案】(1)∠APC=∠APD,见解析；(2)
∠APD+∠APC=180°，见解析.
【解析】【分析】(1)由垂径定理知：弧AC=弧AD；当P在劣弧CD上时，∠APC和∠APD所对的是等弧，因此它们相等；(2)当P在优弧CD上时，它们所对的弧正好构成整个圆周，即两段弧所对圆心角的度数和为360°，根据圆周角定理即可得出∠APD+∠APC=180°．
【详解】
(1)∠APC=∠APD
证明：∵弦CD⊥AB，AB是直径
∴
∴∠APC=∠APD.
(2)∠APC+∠APD=180°
证明：∵弦CD⊥AB，AB是直径
∴
∵∠APD的度数等于的度数的一半，∠APC的度数等于的度数的一半，
的度数与的度数之和为360°
∴∠APD+∠APC=180°.
【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理.
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24.1.2垂直于弦的直径（基础练）
1．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（ ）
A．12.5寸
B．13寸
C．25寸
D．26寸
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，则AE的长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．下列命题中，假命题是（
）
A．平分弧的直径必平分这条弧所对的弦
B．圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心
C．平分弦的直径垂直于弦
D．垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧
4．下列命题中正确的是（??
）
A．圆只有一条对称轴
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．相等的圆心角所对的弧相等
5．一种花边由如图的弓形组成，弧ACB的半径为，弦AB＝2，则弓形的高CD为（?
）
A．
B．
C．1
D．
6．如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（???
）
A．AB=12cm
B．OC=6cm
C．MN=8cm
D．AC=2.5cm
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，则AE的长为（?
）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（?
）
A．
B．1
C．
D．
9．过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________.
10．半径为6cm的圆中，有一条长4cm的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm.
11．如图所示，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB，P是⊙O上不同于C，D的任意一点.
(1)当点P在劣弧CD上运动时(如图(1))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论;
(2)当点P在优弧上运动时(如图(2))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论(不讨论点P与点A重合的情况).
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