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24.1.2垂直于弦的直径（重点练）
1．如图是一个圆弧形门拱，拱高，跨度，那么这个门拱的半径为（
）
A．2m
B．2.5m
C．3m
D．5m
2．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（
）
A．点（0，3）
B．点（2，3）
C．点（5，1）
D．点（6，1）
3．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C．
(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10
cm，腰AB=6
cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)
(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
4．⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD．求AB与CD之间的距离.
5．如图所示，直径为10
cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4cm.求弦AB的长.
6．已知：如图，在中，CD是直径，AB是弦，，垂足为E.求证：，，.
7．如图所示，是一个圆柱形输油管的横截面，如果油面宽，油面最大深度为100mm，求该管道的直径.
8．“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为______米.
9．如图，弦AB的长为24
cm，弦心距OC=5
cm，则⊙O的半径R=______cm.
10．圆O的半径OA=6，OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.
11．圆中一条弦把和它垂直的直径分成3
cm和4
cm两部分，则这条弦弦长为__________.
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24.1.2垂直于弦的直径（重点练）
1．如图是一个圆弧形门拱，拱高，跨度，那么这个门拱的半径为（
）
A．2m
B．2.5m
C．3m
D．5m
【答案】B
【解析】【分析】设这个门拱的半径为r，则OB=r-1，根据垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出r的值即可．
【详解】
设这个门拱的半径为r，则OB=r?1，
∵CD=4m，AB⊥CD，
∴BC=CD=2m，
在Rt△BOC中，
∵BC+OB=OC,即2+(r?1)
=r，解得r=2.5m.
故选B.
【点评】此题考查垂径定理的应用，勾股定理，解题关键在于求出BC的长.
2．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（
）
A．点（0，3）
B．点（2，3）
C．点（5，1）
D．点（6，1）
【答案】C
【解析】∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选C．
3．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C．
(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10
cm，腰AB=6
cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)
(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
【答案】（1）见解析；（2）R=；（3）n=5，m=6.
【解析】【分析】（1）作出AB，BC的中垂线，交点即为圆心O；
（2）连接OA，设与BC交于点D，并延长AD，连接OB，由△ABC是等腰三角形，推出DB=DC，根据垂径定理确定AD的延长线过O点，再由AB=AC=6cm，BC=10cm，根据勾股定理推出AD=cm，由R2=52+（R-）2，即可求出R的值；
（3）由≈3.3166，推出R=≈5.4272，根据n【详解】
(1)
(2)作AD⊥BC于D，并延长AD，连接OB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴DB=DC，
∴AD的延长线过O点，
∵AB=AC=6cm，BC=10cm，
∴BD=5cm，
∴AD=cm，
∵OB=OA=R，
∴R2=52+(R?)2，
∴R=，
(3)∵≈3.3166，
∴R=≈5.4272，
∵n∴n可取的最大值为5，m可取的最小值为6，
∴n=5，m=6.
【点评】此题考查垂径定理，等腰三角形的性质，作图—基本作图，解题关键在于掌握作图法则和利用勾股定理进行计算.
4．⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD．求AB与CD之间的距离.
【答案】AB和CD的距离是2cm或14cm．
【解析】【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.
【详解】
①AB，CD在圆心的同侧如图（一），连接OD，OB，过O作AB的垂线交CD、AB于E，F，
根据垂径定理得ED=CD=×16=8cm，FB=AB=×12=6cm，
在Rt△OED中，OD=10cm，ED=8cm，由勾股定理得OE=
=6
在Rt△OFB中，OB=10cm，FB=6cm，则OF==8
AB和CD的距离是OF-OE=8-6=2（cm）；
②AB，CD在圆心的异侧如图（二），连接OD，OB，过O作AB的垂线交CD、AB于E，F，
根据垂径定理得ED=CD=×16=8cm，FB=AB=×12=6cm，
在Rt△OED中，OD=10cm，ED=8cm，由勾股定理得OE==6
在Rt△OFB中，OB=10cm，FB=6cm，则OF==8
AB和CD的距离是OF+OE=6+8=14（cm），
AB和CD的距离是2cm或14cm．
故答案为：AB和CD的距离是2cm或14cm．
【点评】此题考查勾股定理和垂径定理的应用，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
5．如图所示，直径为10
cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4cm.求弦AB的长.
【答案】6cm.
【解析】【分析】在直角△OAE中，利用勾股定理即可求得AE的长，根据垂径定理可得AB=2AE，据此即可求解．
【详解】
连接OA.
∵在直角△OAE中,OA=×10=5cm，OE=4cm.
∴AE==3.
∵OE⊥AB，
∴AB=2AE=2×3=6(cm).
【点评】此题考查垂径定理，勾股定理，解题关键在于作辅助线和求得AE的长.
6．已知：如图，在中，CD是直径，AB是弦，，垂足为E.求证：，，.
【答案】详见解析
【解析】【分析】连接OA，OB，则.然后根据轴对称的性质解答即可.
【详解】
证明：如图，连接OA，OB，则.
又，
直线CD是等腰的对称轴，又是的对称轴.
沿着直径CD所在直线折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，和，和分别重合.
，，
【点评】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．
7．如图所示，是一个圆柱形输油管的横截面，如果油面宽，油面最大深度为100mm，求该管道的直径.
【答案】该管道的直径是1000mm.
【解析】【分析】过点O作交AB于点C，连接OB，利用垂径定理求出BC,
设半径为xmm，再根据勾股定理列出方程，即可解答.
【详解】
解：如图，过点O作交AB于点C，连接OB，则.
是半径，，.
在中，设半径为xmm，
由勾股定理，得.
，解得.
该管道的直径是1000mm.
【点评】此题考查垂径定理的应用，勾股定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算.
8．“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为______米.
【答案】159.5
【解析】【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．
【详解】
设直径为x.
根据垂径定理可知BD=55.
再根据相交弦定理可知,55×55=22×(x?22)，
解得x=159.5.
故答案为：159.5.
【点评】此题考查垂径定理，相交弦定理，解题关键在于得到BD=55.
9．如图，弦AB的长为24
cm，弦心距OC=5
cm，则⊙O的半径R=______cm.
【答案】13cm.
【解析】【分析】根据题意画出相应的图形，连接OA，由OC为弦心距得到OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，求出AC的长，在直角三角形AOC中，由OC与AC的长，利用勾股定理即可求出OA的长．
【详解】
连接OA，如图所示，
∵OC为AB的弦心距，
∴OC⊥AB，又AB=24cm，
∴C为AB的中点,即AC=BC=AB=12cm，
在Rt△AOC中，OC=5cm，AC=12cm，
根据勾股定理得：OA=
=13cm，
故答案为：13cm.
【点评】此题考查垂径定理，勾股定理，解题关键在于作辅助线和利用勾股定理进行计算.
10．圆O的半径OA=6，OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.
【答案】6.
【解析】【分析】首先根据题意作图，连接OB，根据垂径定理，可得BD=CD=BC，又由OD=OA，然后在Rt△OBD中，利用勾股定理即可求得BD的长，继而求得弦BC的长．
【详解】
如图，连接OB，
∵圆O的半径OA=6，OA的垂直平分线交圆O于B.
C，
∴BD=CD=BC，AD=OD=OA=3，
在Rt△OBD中，BD=，
∴BC=6.
故答案为：6.
【点评】此题考查勾股定理，垂径定理，解题关键在于画出图形利用勾股定理进行计算.
11．圆中一条弦把和它垂直的直径分成3
cm和4
cm两部分，则这条弦弦长为__________.
【答案】4cm.
【解析】【分析】根据题意画出图形，求得CD=7cm，则OE=0.5，CE=3cm，由勾股定理得AE的长，再由垂径定理求得AB的长．
【详解】
∵DE=4cm,CE=3cm,
∴CD=4+3=7cm，OA=3.5，OE=0.5，
∴由勾股定理得AE=
cm，
∴由垂径定理得AB=2AE=2×2
=4cm.
故答案为：4cm.
【点评】此题考查勾股定理，垂径定理及其推论，解题关键在于画出图形利用勾股定理求解.
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