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24.1.3弧、弦、圆心角（重点练）
1．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①==；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．若和的度数相等，则下列命题中正确的是（
）
A．=
B．和的长度相等
C．所对的弦和所对的弦相等
D．所对的圆心角与所对的圆心角相等
3．如图，⊙O中弦AB＝CD，且AB与CD交于E.
求证：DE＝AE.
4．已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：.
5．某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔，，通告所有船只不要进入以为弦的弓形区域（阴影部分）内（含边界）以免触礁，如图所示.现有一艘货轮正向暗礁区域靠近，当多大时，才能避开暗礁？
6．阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖.
例如：图1中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖.
回答下列问题：
(1)边长为1
cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是______
cm;
(2)边长为1
cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_____
cm;
(3)长为2
cm，宽为1
cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是_____
cm.这两个圆的圆心距是_____
cm.．
7．如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有______，相等的劣弧有_______.
8．如图：∠AOB＝2∠COD，则______2．
9．如图，弧的度数为40°，则∠A+∠C＝______．
10．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD；
（2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______；
（3）如果=，那么____，_____，______．
11．下列四种说法：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．其中正确的是______．（填序号）
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24.1.3弧、弦、圆心角（重点练）
1．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①==；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】A
【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可．
【详解】
∵C、D为半圆上三等分点，
∴，故①正确，
∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，
∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，
∵OA=OD=OC=OB，
∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，
∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，
∴正确的说法有：①②③④共4个，
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等和平角的概念求解．
2．若和的度数相等，则下列命题中正确的是（
）
A．=
B．和的长度相等
C．所对的弦和所对的弦相等
D．所对的圆心角与所对的圆心角相等
【答案】D
【解析】【分析】画出两个同心圆，弧AB和弧CD的度数相等，再逐个判断即可．
【详解】
如图，与的度数相等，
A、根据度数相等，不能推出弧相等，故本选项错误；
B、根据度数相等，不能推出两弧的长度相等，故本选项错误；
C、根据度数相等，不能推出所对应的弦相等，故本选项错误；
D、根据度数相等，能推出弧所对的两个圆心角相等，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间关系的应用，主要考查学生对定理的理解能力和判断能力．
3．如图，⊙O中弦AB＝CD，且AB与CD交于E.
求证：DE＝AE.
【答案】见解析
【解析】【分析】连接AD，由于AB=CD，所以
，从而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAD=∠CDA，最后由等角对等边证得DE=AE．
【详解】
解：证明：连接AD，?
∵AB=CD，?
∴?，?
∴，?
即?，?
∴∠BAD=∠CDA，?
∴DE=AE(等角对等边).?
【点评】本题考查了在同圆中，圆周角、弧、弦的关系及等腰三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
4．已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：.
【答案】详见解析
【解析】【分析】过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论.
【详解】
证明：如图，过点O作于点M.
，
.
同理，.
.
.
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质.
5．某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔，，通告所有船只不要进入以为弦的弓形区域（阴影部分）内（含边界）以免触礁，如图所示.现有一艘货轮正向暗礁区域靠近，当多大时，才能避开暗礁？
【答案】使∠APB<55°，即在外行驶，就能避开暗礁.
【解析】【分析】利用极限法，找出恰好不能避开暗礁的两个位置，即可确定答案.
【详解】
解：货轮P在航行时，只要使∠APB<55°，即在外行驶，就能避开暗礁.
【点评】本题考查了圆心角和极限思维的相关知识，特别极限思维是解答本题的关键.
6．阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖.
例如：图1中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖.
回答下列问题：
(1)边长为1
cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是______
cm;
(2)边长为1
cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_____
cm;
(3)长为2
cm，宽为1
cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是_____
cm.这两个圆的圆心距是_____
cm.．
【答案】（1)
；(2)；(3)
，
1.
【解析】试题分析：（1）边长为1
cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，则r应大于等于正方形对角线的一半，即半径最小为；（2）当圆外接三角形时圆的半径最小，如图，根据勾股定理可求得圆的半径是；（3）根据对称性可知两圆的交点分别是AD和BC的中点，将矩形分成两个相等的小正方形，圆的最小半径就是小正方形的对角线的一半，圆心距就是小正方形的边长.
（1)以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径r的最小值＝;
(2)
边长为1
cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三角形ABC的高AD构成直角三角形ABD，斜边AB＝1，BD＝，
所以AD＝，因为三角形是正三角形，
所以∠ABC＝60°，O是外心，所以∠OBC=30°，OD＝OB，
设OA＝OB=x，则OD＝x，
在直角三角形OBD中，根据勾股定理列方程：，
解得：x＝.
(3)如图：矩形ABCD中AB＝1，BC＝2，
则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点，
由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，
则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，
所以圆的半径r＝,
两圆心距＝
1.
7．如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有______，相等的劣弧有_______.
【答案】AC=BC
弧AM=弧BM，弧AN=弧BN.
【解析】【分析】由题可知，OM、ON为⊙O的半径，根据同圆的半径都相等即可得出一对线段相等；又由于图中MN是直径，AB是弦且MN⊥AB，那么根据垂径定理，即可得到另一对线段相等；然后再根据垂径定理的相关推论可得MN平分AB所对的弧，至此不难得到相等的劣弧有哪些.
【详解】
MN是直径，O是圆心，故OM=ON.
∵MN⊥AB，MN过圆心，
∴AC=BC，弧AM=弧BM，弧AN=弧BN.
故答案为：AC=BC，弧AM=弧BM，弧AN=弧BN.
【点评】此题考查圆心角、弧、弦、弦心距的关系，解题关键在于掌握其性质定义结合图形进行解答.
8．如图：∠AOB＝2∠COD，则______2．
【答案】=
【解析】【分析】根据圆心角与弦的关系可直接求解
【详解】
∵∠AOB=2∠COD，
∴=2．
故答案为=
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
9．如图，弧的度数为40°，则∠A+∠C＝______．
【答案】160°
【解析】【分析】如图，连接OD、OE、OB，由的度数为40°可得∠EOB=40°，根据周角的定义可求出∠1+∠2的度数，根据圆周角定理即可求出∠A+∠C的度数.
【详解】
如图，连接OD、OE、OB．
∵的度数为40°，
∴∠EOB=40°，
∴∠1+∠2=360°-∠EOB=320°，
∵∠A=∠2，∠C=∠1，
∴∠A+∠C=（∠1+∠2）＝160°，
故答案为160°．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.熟练掌握圆周角定理是解题关键.
10．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD；
（2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______；
（3）如果=，那么____，_____，______．
【答案】AB=CD，
，
，
=
，
，
∠AOB=∠COD，
AB＝CD，
∠AOB＝∠COD，
=
【解析】【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．
【详解】
（1）∵∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，=，∠AOC=∠BOD；
（2）∵AB=CD，
∴=，∠AOB=∠COD；
（3）∵=，
∴AB=CD，∠AOB=∠COD，=．
故答案为：AB=CD，，，=，，，∠AOB=∠COD，AB=CD，∠AOB=∠COD，=
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
11．下列四种说法：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．其中正确的是______．（填序号）
【答案】①④
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对每一项进行分析即可求出正确答案．
【详解】
①顶点在圆心的角是圆心角；故本选项正确；
②在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；故本选项错误；
③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角不一定相等；故本选项错误；
④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．故本选项正确；
其中正确的是：①④，
故答案为①④．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．
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