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24.1.4圆周角（重点练）
1．如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
2．如图，AB为⊙O的直径，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，则CE=（ ）
A．3﹣
B．
C．
D．
3．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．
4．已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．
求证：CD＝AE＝BF．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC是⊙O的弦，BC交⊙O于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连接DE．求证：DE＝AB．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长．
7．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于点E，交⊙O于点F．求证：．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：．
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24.1.4圆周角（重点练）
1．如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（ ）
A．30
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】C
【解析】【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求得∠BOC，再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等进行计算．
【详解】
连接OC，如图，
根据圆周角定理，得
∠BOC=2∠A=80°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB==50°．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．
2．如图，AB为⊙O的直径，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，则CE=（ ）
A．3﹣
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】先根据勾股定理计算直径AB==2，作垂线DP和DQ，根据角平分线的性质得：DP=DQ，由全等可得AP=AQ，设未知数列等式，可得PC和BQ的长，再根据等腰三角形的性质得：∠DEC=∠DCE，根据外角性质得：∠ACE=∠ECB，则∠ACE=∠ECB=45°，作辅助线后可得：△EFC是等腰直角三角形，设EF=FC=a，则CE=a，AF=2-a，根据△AFE∽△APD，列比例式可得a的值，求CE的长．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2，BC=4，
∴AB==2，
∵CD=BD，
∴，
∴∠CAD=∠BAD，
过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，
∴PD=DQ，
∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），
∴CP=BQ，
易得△APD≌△AQD，
∴AP=AQ，
设PC=x，则AP=2+x，AQ=AB-BQ=2-x，
∴2+x=2-x，
x=-1，
∴BQ=CP=-1，OQ=1，
Rt△ODQ中，DQ=PD==2，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵∠DEC=∠CAD+∠ACE，∠DCE=∠ECB+∠ACE，
∴∠CAD+∠ACE=∠ECB+∠DCB，
∵，
∴∠CAD=∠DCB，
∴∠ACE=∠ECB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠ECB=45°，
过E作EF⊥AP于F，
∴△EFC是等腰直角三角形，
设EF=FC=a，则CE=a，AF=2-a，
∵EF∥PD，
∴△AFE∽△APD，
∴，
∴，
∴a=3-，
∴CE=a=（3-）=3-.
故选D．
【点评】
本题是有关圆的计算问题，题意虽然简单，但有难度，考查了圆周角定理、勾股定理、三角形相似的判定和性质，作辅助线构建等腰直角△EFC是关键．
3．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．
【答案】（1）∠A=90°﹣α；（2）∠A=60°．
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCF，再利用三角形外角性质得∠EBF=∠A+∠E，由三角形内角和定理得∠EBF=180°-∠BCF-∠F，所以∠A+∠E=180-∠A-∠F，然后利用∠E+∠F=α可得∠A=90°-α；
（2）利用（1）中的结论进行计算．
【详解】
（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F），
∵∠E+∠F=α，
∴∠A=90°﹣α；
（2）当α=60°时，∠A=90°﹣×60°=60°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
4．已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．
求证：CD＝AE＝BF．
【答案】见解析
【解析】【分析】连接AC、BD，由C，D是的三等分点，可得AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，利用SAS可证明△AOC≌△COD，即可得出∠ACO=∠OCD，根据等腰三角形的性质可得∠OEF＝∠OCD，可证明CD//AB，可得∠AEC＝∠OCD，即可证明∠ACO＝∠AEC．可得AC=AE，同理可证BD=BF，进而可证明CD＝AE＝BF．
【详解】
连接AC、BD，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵C，D是的三等分点，
∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△AOC≌△COD，
∴∠ACO=∠OCD，
∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD==75°，
∴∠OEF＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC＝∠OCD，
∴∠ACO＝∠AEC．
故AC＝AE，
同理，BF＝BD．
又∵AC＝CD＝BD
∴CD＝AE＝BF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC是⊙O的弦，BC交⊙O于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连接DE．求证：DE＝AB．
【答案】见解析.
【解析】【分析】求出∠FAE=∠B=∠C，推出AE∥BC，求出∠E=∠C=∠EDC=∠B，推出AB∥ED，根据平行四边形的性质和判定推出即可．
【详解】
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴，
∵AE平分∠FAC，
∴，
∴∠FAE＝∠B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE＝AB．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
6．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长．
【答案】（1）BC∥MD，见解析；（2）CD的长是16．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠CBM，由此即可得出结论；
（2）先根据AE=16，BE=4得出AB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论.
【详解】
（1）BC、MD的位置关系是平行，
理由：∵∠M＝∠D，
∴，
∴∠M＝∠MBC，
∴BC∥MD；
（2）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝16，BE＝4，
∴，
∴，
∴，
∴，
即线段CD的长是16．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解题此类问题的关键是明确题意，根据所要证明或求解的问题找出相应的条件，利用圆周角定理、垂径定理和勾股定理的相关知识解答．
7．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于点E，交⊙O于点F．求证：．
【答案】见解析.
【解析】【分析】根据AD是⊙O的直径，得出∠D+∠1=90°，再根据AE⊥BC，得出∠2+∠ACB=90°，最后根据同弧所对的圆周角相等得出∠C=∠D，即可得出答案．
【详解】
连接BD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴，
由圆周角定理得，∠C＝∠D，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：．
【答案】见解析.
【解析】【分析】连接BE，由直径所对的圆周角是直角以及直角三角形的性质可得∠BAE+∠E=90°，，由圆周角定理可得∠E=∠ACB，继而可得∠BAE=∠CAD．
【详解】
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵∠E＝∠ACB，
∴∠BAE＝∠CAD．
【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，熟知“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”是解答此题的关键．
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