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24.2.1点和圆的位置关系（重点练）
1．下列说法错误的是（
）．
A．经过已知点和的圆的圆心轨迹是线段的垂直平分线
B．到点的距离等于的点的轨迹是以点为圆心，长为半径的圆
C．与直线距离为3的点的轨迹是平行于直线且和距离为3的两条直线
D．以线段为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段的垂直平分线
2．如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是
A．（2，3）
B．（3，2）
C．（1，3）
D．（3，1）
3．在Rt△ABC中，∠C
=
90°，AC
=
20
cm，BC
=
21
cm，则它的外心与顶点C的距离等于（
）.
A．13
cm
B．13.5
cm
C．14
cm
D．14.5
cm
4．若等边三角形的边长为2
cm，则其外接圆的半径等于（
）；
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
5．到点的距离都为3的点的轨迹是：______.
6．在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____．
7．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为_________________.
8．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连结BD，DC．
(1)求证：BD＝DC＝DI；
(2)若⊙O的半径为10
cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．
10．⊙O的半径r＝5
cm，圆心O到直线l的距离OD＝3
cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4
cm，QD＝5
cm，RD＝3
cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？
11．已知三角形的三边长分别为2cm，2cm，2cm，求它的外接圆半径.
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24.2.1点和圆的位置关系（重点练）
1．下列说法错误的是（
）．
A．经过已知点和的圆的圆心轨迹是线段的垂直平分线
B．到点的距离等于的点的轨迹是以点为圆心，长为半径的圆
C．与直线距离为3的点的轨迹是平行于直线且和距离为3的两条直线
D．以线段为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段的垂直平分线
【答案】D
【解析】【分析】利于垂直平分线的定义、圆的定义、轨迹的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、经过已知点P和Q的圆的圆心轨迹是线段PQ的垂直平分线，正确；
B、到点A的距离等于2cm的点的轨迹是以点A为圆心，2cm长为半径的圆，正确；
C、与直线AB距离为3的点的轨迹是平行于直线AB且和AB距离为3的两条直线，正确；
D、以线段AB为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段AB的垂直平分线，线段AB的中点除外，所以此选项错误符合题意.
故选：D．
【点评】本题考查了轨迹的知识，解题的关键是能够了解轨迹的定义，要注意不重不漏．
2．如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是
A．（2，3）
B．（3，2）
C．（1，3）
D．（3，1）
【答案】D
【解析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
解答：解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选D．
3．在Rt△ABC中，∠C
=
90°，AC
=
20
cm，BC
=
21
cm，则它的外心与顶点C的距离等于（
）.
A．13
cm
B．13.5
cm
C．14
cm
D．14.5
cm
【答案】D
【解析】【分析】此题应根据勾股定理先求出斜边AB的长度为29，要理解外心是这个三角形外接圆的圆心，在直角三角形中，它的外心就是斜边的中点，顶点C与外心的距离即为斜边的中线．
【详解】
先根据题意画图，知道AB为三角形的斜边求得AB2=AC2+BC2=202+212=841=292
，要理解外心是这个三角形外接圆的圆心，要求得该直角三角形的外接圆的圆心，则为AB边的一半，
求得AB的一半为14.5，应该选择答案为D.
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的外接圆和圆心，解题的关键是要理解外心是这个三角形外接圆的圆心.
4．若等边三角形的边长为2
cm，则其外接圆的半径等于（
）；
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
【答案】B
【解析】【分析】根据三角形外接圆的概念进行画图分析计算.
【详解】
经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个圆的圆心是三角形三条边的垂直平方线的交点，设圆的半径为xcm，则1.5x=，所以x=cm.
【点评】本题考查了学生对外接圆掌握，把握外接圆的概念和其性质运用是解决此题的关键.
5．到点的距离都为3的点的轨迹是：______.
【答案】以点A为圆心，3为半径的圆．
【解析】【分析】圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的距离等于3的点的集合是圆．
【详解】
根据圆的定义可知，到点A的距离等于3的点的集合是以点A为圆心，3为半径的圆．
故答案为：以点A为圆心，3为半径的圆．
【点评】此题考查圆的定义，正确理解定义是解题关键．
6．在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____．
【答案】5
【解析】【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．
【详解】
由勾股定理得：AB＝＝10，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是10；
∴这个三角形的外接圆半径长为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握是解题的关键.
7．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为_________________.
【答案】或
【解析】【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在△ABC内部时．②当点O在△ABC外时．分别求解即可．
【详解】
①当圆心O在△ABC内部时，作AE⊥BC于E．
∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，
∴AE=OA+OE=2+，
∴S△ABC=?BC?AE=×2×（2+）=2+．
②当点O在△ABC外时，连接OA交BC于E．
S△ABC=?BC?AE=×2×（2-）=2-，
故答案为2+或2-．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型．
8．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径．
【答案】见解析
【解析】【分析】作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径画圆可得△ABC的外接圆；再根据垂径定理得出∠BAO=60°，得出△ABO为等边三角形，从而求得外接圆的半径．
【详解】
作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径画圆，画图如下：
∵AB=AC=8，
∴弧AB=弧AC
∵∠BAC=120°，AO⊥BC，
∴∠BAO=60°，
∵OA=OB
∴△ABO为等边三角形，
∴OA=OB
=AB=8
∴△ABC的外接圆的半径为8．
【点评】本题考查三角形外接圆的确定及垂径定理的应用、等边三角形的判定和性质和尺规作图，解题的关键是掌握三角形外接圆的确定及垂径定理的应用、等边三角形的判定和性质和尺规作图.
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连结BD，DC．
(1)求证：BD＝DC＝DI；
(2)若⊙O的半径为10
cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)
S△BOC75cm2.
【解析】【分析】(1)根据AI和BI分别是∠BAC和∠ABC的平分线来证明BD＝CD，再证明∠ABI＝∠CBI，∠DBC＝∠BAD，求得∠DBI＝∠DIB.即可；
(2)先求出∠BAD＝∠CAD＝∠BCD＝60°.，证明△DBC是等边三角形，再求出BD即可.
【详解】
(1)∵AI和BI分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI.∴BD＝CD，∠DBC＝∠CAD＝∠BAD.∵∠DBI＝∠DBC＋∠CBI.∠DIB＝∠ABI＋∠BAD.又∵∠ABI＝∠CBI，∠DBC＝∠BAD，∴∠DBI＝∠DIB.∴BD＝DI.∴DB＝DC＝DI (2)∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BCD＝60°.∵BD＝DC，∴△DBC是等边三角形．∵⊙O的半径为10
cm，即BO＝DO＝CO＝10
cm，∴BD＝10
cm.∴S△BOC＝×(10)2＝75
(cm2)
【点评】本题考查的是三角形，熟练掌握熟练掌握三角形的外接圆是解题的关键.
10．⊙O的半径r＝5
cm，圆心O到直线l的距离OD＝3
cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4
cm，QD＝5
cm，RD＝3
cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？
【答案】点P在⊙O上；点Q在⊙O外；点R在⊙O内．
【解析】【分析】连接OR、OP、OQ，根据勾股定理求得OR、OP、OQ的长，再与半径比较即可解答.
【详解】
如图，连接OR，OP，OQ.
∵PD＝4
cm，OD＝3
cm，且OD⊥l，∴OP＝＝＝5(cm)＝r，
∴点P在⊙O上；
∵QD＝5
cm，∴OQ＝＝＝
(cm)>5
cm＝r，
∴点Q在⊙O外；∵RD＝3
cm，
∴OR＝＝＝3
(cm)<5
cm＝r，
∴点R在⊙O内．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先根据勾股定理算出点到圆心的距离，再比较点到圆心的距离与圆半径大小关系完成判定．
11．已知三角形的三边长分别为2cm，2cm，2cm，求它的外接圆半径.
【答案】cm.
【解析】【分析】根据勾股定理先求出斜边长，再除以2就是外接圆的半径.
【详解】
（2）2+（2）2=20=（2）2
根据勾股定理可知，这个三角形为直角三角形,
又∵直角三角形外接圆直径为斜边边长,
∴?直径为2cm?
它的外接圆半径是:2÷2=cm.
答:??它的外接圆的半径是cm.
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形外接圆与圆心，解题的关键是掌握勾股定理和三角形外接圆的概念.
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（共
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