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24.3正多边形和圆（基础练）
1．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．4
B．3.25
C．3.125
D．2.25
【答案】C
【解析】【分析】已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．
【详解】
过A作AD⊥BC于D，
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
则AD必过圆心O，
Rt△ABD中，AB=5，BD=3
∴AD=4
设⊙O的半径为x，
Rt△OBD中，OB=x，OD=4-x
根据勾股定理，得：OB2=OD2+BD2，即：
x2=（4-x）2+32，解得：x==3.125．
故选C．
【点评】本题考查三角形的外接圆、等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和勾股定理.
2．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝．OC是边心距，OA即半径．根据三角函数即可求解．
【详解】
解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为R×cos60°．
四边形的边心距为R×cos45°，
正六边形的边心距为R×cos30°．
∴等于
．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．
3．一个商标图案如图中阴影部分，在长方形中，，，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】根据题意求出、的长及的度数，再根据，代入计算，即可求解.
【详解】
：∵矩形，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，
，
故答案为：A
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算，关键是作辅助线，并从图中看出阴影部分的面积是由哪几部分组成的．
4．正五边形的中心角等于（ ）
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
【答案】D
【解析】【分析】根据正n边形的圆中心角为计算即可.
【详解】
解：正五边形的中心角为．
故选D.
【点评】本题考查正多边形的中心角，根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为.
5．如图，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H的大小是________度．
【答案】60°
【解析】【分析】利用正六边形的每个内角等于120度，A′H⊥AH，A′G⊥AG，可得∠GA′H＝360°?120°?90°?90°．
【详解】
解：因为正六边形的每个内角等于120度，A′H⊥AH，A′G⊥AG，
所以∠A＝120°，∠AHA′＝∠AGA′＝90°，
所以∠GA′H＝360°?120°?90°?90°＝60°
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和解决问题．
6．半径为3且圆心角为的扇形的面积为________.
【答案】3π．
【解析】【分析】直接利用扇形的面积公式S=，进而求出即可．
【详解】
解：∵半径为3，圆心角为120°的扇形，
∴S扇形===3π．
故答案为3π．
【点评】此题主要考查了扇形面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．
7．如图，已知点、、、均在以为直径的圆上，，平分，，四边形的周长为，则图中阴影部分的面积为________.
【答案】
【解析】【分析】根据，平分，可证得，再根据，可求出、的度数，再根据圆周角定理，可求得和是等边三角形，利用解直角三角形求出边上的高，根据，可得出，可求得结果.
【详解】
连接、
平分
，
和是等边三角形
，
∵四边形的周长为
边上的高为：
故答案为：
【点评】此题综合考查了梯形的面积，三角形的面积以及等边三角形的判定和性质．作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．
8．如图，过的顶点、、，且，，则弧长为________.
【答案】
【解析】【分析】根据已知圆周角，因此连接、构造等边三角形，可求出圆的半径及弧所对的圆心角的度数，再利用弧长公式求解即可.
【详解】
连接，，
，
，
是等边三角形，
，
即半径为，
∴弧的长度为：
故答案为：
【点评】本题考查弧长计算，解题的关键是利用圆周角定理求出∠AOB的度数．
9．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.
【答案】1：2：3.
【解析】【分析】画出图形，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，得到直角三角形BOD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到R=2r，然后求出h与r的关系，计算r，R与h的比．
【详解】
解：如图：
在直角三角形BOD中，∠OBD=30°，
∴R=2r，
AD是BC边上的高h，OA=OB，∴h=R+r=3r．
∴r：R：h=r：2r：3r=1：2：3．
即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，连接OB，连接AO并延长得到直角三角形，利用直角三角形求出R，r和h的比值．
10．如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径.
【答案】
【解析】【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可半径，进而求得直径．
【详解】
解：如图所示，是的外接圆，连接OA交BC于D，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠AOC=∠BOA，
∵OB=OC，
∴BD=DC，OA⊥BC，
∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，
∠OAC=∠BAC=×120°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠DCO=90°-60°=30°
∴OC=2OD，
设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，
a=，
∴OC=2a=，
∴外接圆的直径=2OC=（cm）．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．
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24.3正多边形和圆（基础练）
1．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．4
B．3.25
C．3.125
D．2.25
2．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于(
)
A．
B．
C．
D．
3．一个商标图案如图中阴影部分，在长方形中，，，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积是（）
A．
B．
C．
D．
4．正五边形的中心角等于（ ）
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
5．如图，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H的大小是________度．
6．半径为3且圆心角为的扇形的面积为________.
7．如图，已知点、、、均在以为直径的圆上，，平分，，四边形的周长为，则图中阴影部分的面积为________.
8．如图，过的顶点、、，且，，则弧长为________.
9．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.
10．如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径.
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