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24.3正多边形和圆（重点练）
1．下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是(
)
(1)正三角形
(2)正五边形
(3)正六边形
(4)正八边形
A．(1)(2)
B．(2)(3)
C．(1)(3)
D．(1)(4)
2．若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3
，
a4
，
a6
，
则a3：a4：a6等于（ ）
A．1：：
B．1：2：3
C．3：2：1
D．：：1
3．半径为3cm，圆心角为120°的扇形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则__．
5．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，，则阴影部分面积是_______.
6．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________.
7．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径．
8．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，
（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；
（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．
9．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
10．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
11．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
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24.3正多边形和圆（重点练）
1．下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是(
)
(1)正三角形
(2)正五边形
(3)正六边形
(4)正八边形
A．(1)(2)
B．(2)(3)
C．(1)(3)
D．(1)(4)
【答案】B
【解析】【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°,据此解答即可.
【详解】
解：①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°．∵3×60°＋2×90°＝360°，∴能镶嵌平面；
②正方形的每个内角是90°，正五边形每个内角是180°?360°÷5＝108°，90m＋108n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，不能镶嵌平面；
③正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m＋120n＝360°，m＝4?，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，不能镶嵌平面；
④正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为180°?360°÷8＝135°，∵90°＋2×135°＝360°，∴能镶嵌平面．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是图形的镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
2．若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3
，
a4
，
a6
，
则a3：a4：a6等于（ ）
A．1：：
B．1：2：3
C．3：2：1
D．：：1
【答案】D
【解析】【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
【详解】
解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
如图1，则内接正三角形的边长a3=2rsin60°=r，
如图2，内接正方形的边长是a4=2rsin45°=r，
如图3，正六边形的边长是a6=r，
∴半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比a3：a4：a6=：：1．
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
3．半径为3cm，圆心角为120°的扇形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】扇形面积公式为：，代入求值即可．
【详解】
利用面积公式可得=3πcm2．
故选D．
【点评】本题主要考查了学生的扇形面积公式．
4．如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则__．
【答案】30°
【解析】【分析】利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出∠AOD的度数，再由正多边形的半径OA=OD，根据等腰三角形的性质求解即可.
【详解】
多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得多边形的边数为：，
∴∠AOD=3×=120°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA==30°，
故答案为：30°.
【点评】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角、半径，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
5．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，，则阴影部分面积是_______.
【答案】
【解析】【分析】阴影部分的面积=大扇形-小扇形，所以依面积公式计算即可．
【详解】
阴影部分的面积==π．
【点评】根据扇形面积公式计算即可．
6．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是______________.
【答案】cos.
【解析】【分析】先根据题意画出图形，再设圆的半径为R，由垂径定理及锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】
解：如图所示，设圆的半径为R，
∵∠AOF=
∴AB=2AF=2Rsin；
同理，∵∠DOF=，
∴CD=2DE=2Rtg，
∴AB：CD=2Rsin：2Rtg＝cos．
同圆的内接正n边形与外切正n边形边长之比是cos．
故答案为：cos．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合是解答此题的关键．
7．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径．
【答案】见解析
【解析】【分析】作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径画圆可得△ABC的外接圆；再根据垂径定理得出∠BAO=60°，得出△ABO为等边三角形，从而求得外接圆的半径．
【详解】
作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径画圆，画图如下：
∵AB=AC=8，
∴弧AB=弧AC
∵∠BAC=120°，AO⊥BC，
∴∠BAO=60°，
∵OA=OB
∴△ABO为等边三角形，
∴OA=OB
=AB=8
∴△ABC的外接圆的半径为8．
【点评】本题考查三角形外接圆的确定及垂径定理的应用、等边三角形的判定和性质和尺规作图，解题的关键是掌握三角形外接圆的确定及垂径定理的应用、等边三角形的判定和性质和尺规作图.
8．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，
（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；
（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．
【答案】（1），，；（2）.
【解析】【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
【详解】
解：（1）解：由正方形ABCD，
可得：AC⊥BD，
∴＝90°；
由正五边形ABCDE，
可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠DBC＝∠ACB＝，
∴＝180°?∠DBC?∠ACB＝108°；
同理：＝120°；
（2）．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆的知识，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
9．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等，得出，利用等式的性质，两边同时减去，即可得到，根据同弧所对的弦相等，得出BC＝AE．
【详解】
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∠A对着，∠B对着，
∴，
∴
，即，
∴BC＝AE．
同理可证其余各边都相等，
∴五边形ABCDE是正五边形．
【点评】此题考查了正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦等，利用同弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解答．
10．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【答案】（1）r=3cm.
(2)
r=（a+b-c）．
【解析】【分析】首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得：
CD=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．
【详解】
（1）如图,连接OD，OF；
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
四边形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；
则四边形OFCD是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（12+9-15）=3cm．
（2）当AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得：
CD=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（a+b-c）．则⊙O的半径r为：（a+b-c）．
【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形OFCD是正方形是解题关键．
11．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
【答案】S=(a+b+c)r
【解析】【分析】设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解
【详解】
如图，设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
则OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC．
∵S△AOB=AB?OD=cr，同理，S△OBC=ar，S△OAC=br．
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即S=cr+ar+br=(a+b+c)r
【点评】本题考查了三角形的内切圆的计算，正确作出辅助线，把△ABC的面积的计算分解成几个三角形的面积的计算是关键.
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