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人教版数学科目八年级上
11.1.2三角形的高、中线与角平分线与11.1.3三角形的稳定性
第一课时教学设计
课题
11.1.2三角形的高、中线与角平分线与11.1.3三角形的稳定性
单元
11单元
学科
数学
年级
八年级上
学习目标
知识目标：明白三角形高、中线与角平分线的概念技能目标：能够运用高、中线与角平分线解题情感目标：结合生活实际，在实际中运用，体验数学的有用性
重点
三角形高、中线与角平分线的概念
难点
三角形高、中线与角平分线性质的运用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
思考：这些演员平衡自己的身体是用了什么原理？
(?导入.mp4?)
观看视频，思考问题
结合生活实际，引出本节课的内容
讲授新课
教学过程观察这个三角形思考CF,BE和AD有什么特点？三条直线与底边垂直！在三角形中，过一个顶点A作一条直线AD，与底边垂直，交于点O，AD就是底边BC的高三角形三条高的交点为垂心性质：因为AD是△ABC的边BC上的高（已知），所以AD⊥BC于点D（或∠ADB=∠ADC=90°）判定：因为AD⊥BC于点D（或∠ADB=∠ADC=90°）（已知）所以线段AD是△ABC的边BC上的高（三角形的高的定义）小试牛刀三角形三条高的交点一定在（
）A.三角形的内部B.三角形的外部C.顶点上D.以上三种情况都有可能答案：D如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线中线的意义：
你能画出另外两条边的中线吗？CF,AD,BE是三条中线，点O是三条中线的交点，称点O为三角形ABC的重心小试牛刀如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（
）A.线段DE
B.线段BE
C.线段EF
D.线段FG答案：B教学过程观察图形：如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线角平分线的意义：小试牛刀三角形的角平分线、中线和高（
）A.都是射线
B.都是直线C.都是线段
D.都在三角形内答案：C教学过程1.三角形的稳定性（1）如果三角形的三边长确定，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性（2）四边形及四边以上的图形不具有稳定性课堂练习1.如图，画△ABC一边上的高，下列画法正确的是（
）答案：A2.点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，则AD是（）A.中线B.高线C.角平分线D.中垂线答案：D3.已知如图所示AD.AE分别是△ABC的中线、高，且AB=5cm.AC
=
3cm.则△ABD与△ACD的周长之差为_______,△ABD与△ACD的面积关系为_______答案：2cm
相等4.李明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF，如图11.1-22，为了使这个钢架稳固，他计划用三根钢管来连接使它不变形.请帮李明解决这个问题.答案：拓展练习1.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和2lcm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（
）A.17cm
B.5cm
C.5cm或17cm
D.无法确定答案：B2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BG⊥AC于G.求证BG=DE+DF.证明：如图，连接AD.3.在△ABC中，AB=AC.周长为24.AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形
则△ABC各边的长为多少？解根据题意，图形分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差，若AB>BC，则AB-BC=6①又因为2AB+BC=24②联立①②，解得AB=10，BC=4.所以-ABC的各边长为10，10，4；若ABcm，则CD=4cm.故BC=
15-4=11（cm）.此时AB+AC
>
BC，三角形存在.三边长分别为8cm，8cm，11
cm.（2）如图②，若AB+AD=15cm，则
解得x=10，即AB=AC=10cm，则CD=5cm.故BC=12-5=7（cm）.显然此时三角形存在.三边长分别为10cm，10cm，7
cm.综上所述，△ABC的三边长分别为8cm，8cm，11
cm或10
cm，10cm，7cm.
认真听讲，对重难点部分做好笔记结合基础知识，完成各个小题在原有的基础上，完成各个小题，强化认知
讲解基础知识，为后续能力提升做好铺垫设置课堂练习，巩固基础知识，为后续拓展提高做好铺垫进一步提升学生的综合能力，达成教学目标
课堂小结
1.三角形中线，高及角平分线的绘制2.三角形稳定性
学生根据标题，回顾本节课的知识
一节课过后，容易对本节课知识点以往，总结一下，加深印象
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人教版
八年级上
11.1.2三角形的高、中线与角平分线与11.1.3三角形的稳定性
课堂导入
思考：这些演员平衡自己的身体是用了什么原理？
课堂练习
教学过程
观察这个三角形
思考CF,BE和AD有什么特点？
三条直线与底边垂直！
在三角形中，过一个顶点A作一条直线AD，与底边垂直，交于点O，AD就是底边BC的高
三角形三条高的交点为垂心
课堂练习
教学过程
性质：因为AD是△ABC的边BC上的高（已知），
所以AD⊥BC于点D（或∠ADB=∠ADC=90°）
判定：因为AD⊥BC于点D（或∠ADB=∠ADC=90°）（已知）
所以线段AD是△ABC的边BC上的高（三角形的高的定义）
课堂练习
小试牛刀
三角形三条高的交点一定在（
）
A.三角形的内部
B.三角形的外部
C.顶点上
D.以上三种情况都有可能
答案：D
课堂练习
教学过程
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线
中线的意义：
你能画出另外两条边的中线吗？
CF,AD,BE是三条中线，点O是三条中线的交点，称点O为三角形ABC的重心
课堂练习
教学过程
课堂练习
小试牛刀
如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（
）
A.线段DE
B.线段BE
C.线段EF
D.线段FG
答案：B
课堂练习
教学过程
观察图形：
如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线
角平分线的意义：
课堂练习
小试牛刀
三角形的角平分线、中线和高（
）
A.都是射线
B.都是直线
C.都是线段
D.都在三角形内
答案：C
课堂练习
教学过程
1.三角形的稳定性
（1）如果三角形的三边长确定，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性
（2）四边形及四边以上的图形不具有稳定性
课堂练习
课堂练习
1.如图，画△ABC一边上的高，下列画法正确的是（
）
答案：A
课堂练习
课堂练习
2.点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，则AD是（）
A.中线
B.高线
C.角平分线
D.中垂线
答案：D
课堂练习
课堂练习
3.已知如图所示AD.AE分别是△ABC的中线、高，且AB=5cm.AC
=
3cm.则△ABD与△ACD的周长之差为_______,△ABD与△ACD的面积关系为_______
答案：2cm
相等
课堂练习
课堂练习
4.李明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF，如图11.1-22，为了使这个钢架稳固，他计划用三根钢管来连接使它不变形.请帮李明解决这个问题.
答案：
课堂练习
拓展练习
1.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和2lcm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（
）
A.17cm
B.5cm
C.5cm或17cm
D.无法确定
答案：B
课堂练习
拓展练习
2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BG⊥AC于G.求证BG=DE+DF.
证明：如图，连接AD.
课堂练习
拓展练习
3.在△ABC中，AB=AC.周长为24.AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形
则△ABC各边的长为多少？
解根据题意，图形分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差，若AB>BC，则AB-BC=6①
又因为2AB+BC=24②
联立①②，解得AB=10，BC=4.
所以-ABC的各边长为10，10，4；若AB又因为2AB+BC=24.④
联立③④解得AB=6，BC=12，6，6，12三边不能组成三角形，因此三角形的各边长为10，10，4.
课堂练习
拓展练习
4.在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求△ABC的各边长.
课堂练习
拓展练习
解：设AB=xcm，则AD=CD=
cm.
由于题中条件不能确定图形形状，因此需分以下两种情况求解：
（1）如图①，
若AB+AD=12cm，则
解得x=8，即AB=AC=8
cm，则CD=4cm.故BC=
15-4=11（cm）.
此时AB+AC
>
BC，三角形存在.
三边长分别为8cm，8cm，11
cm.
课堂练习
拓展练习
（2）如图②，若AB+AD=15cm，则
解得x=10，即AB=AC=10cm，则CD=5cm.
故BC=12-5=7（cm）.显然此时三角形存在.
三边长分别为10cm，10cm，7
cm.
综上所述，△ABC的三边长分别为8cm，8cm，11
cm或10
cm，
10cm，7cm.
课堂练习
课堂总结
1.三角形中线，高及角平分线的绘制
2.三角形稳定性
P8教材练习题3、4、7题．
课后作业
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11.1.2三角形的高、中线与角平分线与11.1.3三角形的稳定性
一、单选题
1.如图，画
一边上的高，下列画法正确的是（???
）．
A.?????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????D.?
2.如图，用三角板作
的边
上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（???
）
A.????????????B.?????????C.????????D.?
3.三角形三条高的交点一定在（???
）
A.?三角形的内部????????????B.?三角形的外部?????????????????C.?顶点上????????????????
?D.?以上三种情况都有可能
4.如图，在
中，
，通过测量，并计算
的面积，所得面积与下列数值最接近的是（???
）
A.?????????????????????????B.??????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
5.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成
和
两部分，则这个等腰三角形底边的长为(???
)
A.????????????????????????????B.???????????????????
???????????C.?
或
???????????D.?无法确定
6.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( )．
A.?三角形的稳定性???
?B.?长方形的对称性????C.?长方形的四个角都是直角????????D.?两点之间线段最短
7.如图所示，△ABC
中
AB
边上的高线是（???
）
A.?线段
DA?????????????????????????????B.?线段
CA???????????????????????????C.?线段
CD????????????????????????????D.?线段
BD
二、填空题
8.一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是________三角形.
9.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则
ABC的面积与
ABD的面积的大小关系为：
________
（填“＞”，“＝”或“＜”）
10.如图，点G是
的重心，
的延长线交
于点D,连结
.若
的面积为2,则
的面积为________.
11.如图，
中，点
在
上且
，点
是
中点，已知
面积为2，那么
的面积为________．
三、解答题
12.已知：点A、B在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．
13.如图，在
中，
、
分别是
、
边上的中线，若
，
，且
的周长为15，求
的长.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
A
解析：根据三角形高的定义可判断A选项符合题意．
故答案为：A．
分析：三角形高的定义对各选项进行判断．
2.答案：
B
解析：解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项不符合题意；
B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项符合题意；
C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项不符合题意；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
分析：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
3.答案：
D
解析：解：锐角三角形，三角形三条高的交点在三角形内部，
直角三角形，三角形三条高的交点在三角形直角顶点，
钝角三角形，三角形三条高的交点在三角形外部，
综上所述，A、B、C说法都不完整．
故答案为：D
．
分析：根据三角形的高线的定义分情况讨论高线的交点，即可得解．
4.答案：
D
解析：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则CD为AB边上的高，
经过测量，CD≈2cm
所以，
故答案为：D.
分析：作出AB边上的高，测量出长度，依据三角形面积公式计算即可得到结果.
5.答案：
B
解析：解：设等腰三角形的腰长是
，底边是
．根据题意，得：
或
，解得
或
．
再根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去．所以它的底边是
．
故答案为：B．
分析：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论．
6.答案：
A
解析：解：用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．
故答案为：A．
分析：根据三角形具有稳定性进行解答．
7.答案：
C
解析：解：由图可得，△ABC
中
AB
边上的高线是线段CD，
故答案为：C．
分析：根据三角形高线的定义判断即可．
二、填空题
8.答案：
直角
解析：∵三角形两边上的高的交点，恰好是三角形的一个顶点，
∴此三角形是直角三角形.
故答案为直角.
分析：根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
9.答案：
=
解析：解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，
由网格图可得
个平方单位，
，
故有
=
．
故答案为：“＝”
分析：在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．
10.答案：
12
解析：连接AG，并延长，交BC于E，连接DE，如图所示，
∵点
是
的重心，
为
的中线，
∴点D，点E为中点，
是
的中位线，
∴
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：12.
分析：连接AG，并延长，交BC于E，连接DE，根据重心的性质可得
，而
，又可得
，从而可得结论.
11.答案：
12
解析：∵
面积为2，点
是
中点，
∴
，
又∵
，
∴
，
故答案为：12．
分析：根据等底同高的两个三角形的面积公式得到
的面积，然后根据
与
的底边数量关系来求
的面积．
三、解答题
12.答案：
设AB交x轴于C，那么根据图中的信息可知：
OC=1，
S△OAC=
×1×2=1，
S△OBC=
×1×2=1，
因此S△OAB=S△OAC+S△OBC=2．
解析：分析：可将三角形分成上下两部分进行计算．以三角形OAB截x轴的线段为底边，分别以A，B纵坐标的绝对值为高进行计算即可．
13.答案：
解：∵
、
分别是
、
边上的中线，
，
，
∴
，
，
∵
的周长为15，
∴
.
解析：分析：根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得解.
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八年级上
11.1.2三角形的高、中线与角平分线与11.1.3三角形的稳定性第二课时
例题精讲
1.下列图形中具有稳定性的有（
）
A.正方形
B.长方形
C.梯形
D.直角三角形
答案：D
例题精讲
2.可以把三角形分成两个面积相等的三角形的是（
）
A.三角形的中线
B.三角形的高线
C.三角形的角平分线
D.三角形一边的垂线
答案：A
例题精讲
3.如图，在
ABC中，D，E分别为BC上两点且BD=DE=EC.则图中面积相等的三角形有（
）
A.4对
B.5对
C.6对
D.7对
答案：A
例题精讲
4.如图，已知在
ABC中，D，E分别为边BC，AD的中点且
则阴影面积等于（
）
答案：C
例题精讲
5.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分？（给出3种方法）
答案：
例题精讲
6.如图，在
ABC中，AD，AE，AF分别为
ABC的高线、角平分线和中线
（1）写出图中所有相等的角和相等的线段；
（2）当BF=8cm，AD=7cm时，求
ABC的面积
答案：（1）
（2）
课堂练习
1.若等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为15
cm和12
cm两部分，求这个等腰三角形的底边的长
解：如图，设腰AB长为x
cm，底边BC长为y
cm，
①当AB+AD=15
cm，BC+CD=12
cm时，解得AB=10，BC=7
②当AB+AD=12
cm，BC+CD=15
cm时，解得AB=8，BC=11
经检验上述解符合题意
故这个等腰三角形的底边的长为7
cm或11
cm.
课堂练习
2.如图，已知AD是ABC的角平分线，P为AD上一点PM||AC交AB于点M，PN||AB交AC于点N，求证：PA平分∠MPN.
证明：AD是
ABC的角平分线，∠BAD=∠CAD，因为PM||AC，PN||AB，∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，∠APM=∠APN，所以PA平分∠MPN.
课堂练习
3.如图：已知
ABC.
（1）画中线AD；
（2）画
ABD的高BE及
ACD的高CF.
解：（1）AD如图所示
（2）如图所示
课堂练习
4.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=
90°，CD是AB边上的高，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm.
（1）求
ABC的面积；
（2）求CD的长；
（3）作出
ABC的中线BE，并求
ABE的面积.
解：
课堂练习
5.如图，在
ABC中，AD是BC边上的中线，
ADC的周长比4ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长.
答案：AC的长为8cm
课堂练习
6.如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉正几根木条，请画出相应木条所在线段.
答案：钉三根
课堂练习
7.如图，已知
ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，
ABD周长为15cm，求AC长
答案：7
课堂练习
8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BC=9，AC=8，AD=6.求BE的长.
课堂练习
解：
P9教材练习题8,9,10题．
课后作业
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