(共18张PPT)
如下图△ABC中，AC=16cm，AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E， △BCE的周长为26cm，求BC的长。
A
E
D
B
C
线段垂直平分线定理：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是
否在线段AB的垂直平分线上？
线段垂直平分线定理：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
演示
通过探究我们可以得到定理：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
数学语言：
已知：PA=PB，
求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
A
B
P
从上述两个结果可以看出,即：
与两点A、B的距离相等的点l上．
在线段AB的垂直平分线l上的点与A、B的距离都相等；
反过来，
所以线段AB的垂直平分线l可以看成与线段
两点A、B距离相等的所有点的集合．
l
C
A
B
P
习题 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
A
D
B
E
C
证明：∵AD⊥BC BD=DC
∴AD在线段BC的垂直平分线上
∴AB=AC
∵点C在AE的垂直平分线上
∴AC=CE
又 AB=AC
∴AB=AC=CE
∵AB=AC=CE
又BD=CD
∴AB+BD=CE+CD=DE
习题 ，如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
证明：∵AB=AC BM=MC AM=AM
∴△ABM≌△ACM（SSS）
∴∠BAD=∠CAD
又 AB=AC AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠BMD=∠CMD且BD=DC
∴AD在BC的垂直平分线上
∴直线AM是BC的垂直平分线
D
B
C
A
M
证明：∵AB=AC
∴点A在线段BC的垂直平分线上
∵BM=MC
∴点M在线段BC的垂直平分线上
又 两点确定一条直线（过两点
有且只有一条直线）
∴直线AM为线段BC的垂直平分
线
习题2.如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
D
B
C
A
M
答：是
A
B
C
D
例 点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
（1）分别以A、B为圆心，以大于 AB的长为半径做弧，两弧相交于C、D两点。
（2）作直线CD，CD即为所求的直线
E
D
C
A
B
（1）分别以A、B为圆心，以大于 AB的长为半径做弧，两弧相交于C点。
（2）分别以A、B为圆心，以大于 AB且不等于AC的长为半径做弧，两弧相交于D点。
（3）作直线CD，CD交AB于E，CD即为所求的直线
N
M
E
A'
A
C'
B
C
五角星的对称轴
下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
解:
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。
A
E
D
B
C
某地有两所大学和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。
N
M
O
B
A
变式训练：某地有两所大学和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。
N
M
O
B
A
如图：请找出一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P在∠ACB的平分线上。
C
B
A
如图，E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D。求证：OE为CD的垂直平分线。
E
D
B
A
C
O(共16张PPT)
MN⊥AA’于P
AP = A’P
1、图中的对称点有哪些？
2、点Ａ和A’的连线与直线MN有什么样的关系？
图中的两个三角形关于直线MN对称
直线MN垂直且平分线段AA’
定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
M
N
A
B
C
A’
C’
B’
P
Q
G
图中的两个三角形关于直线MN对称
M
N
A
B
C
A’
C’
B’
P
Q
G
对称轴MN是对应点A、A’所连线段的垂直平分线。
L
L’
图中的两个三角形换成两个正方形
是否有这样的性质？
通过刚才的演示我们可以知道：
右图中，对称轴MN是任何一组对称点L、L’，所连线段LL’的垂直平分线
演示
通过前面的研究我们就可以得到图形轴对称的性质 ：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线 。
类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
演示
前面的两个性质可以简单的概括为：
对应点的连线被对称轴垂直平分。
如果我们感觉一个图形是轴对称图形，我们如何验证呢？不折叠图形你能准确地得出它的对称轴吗？
思 考
A
A’
作出一对对称点的垂直平分线，就得到它的对称轴。
现给出对称图形的一半你能否做出另外的部分？
B
'
C
'
A
'
F
E
D
A
C
B
下面我们来探究线段垂直平分线的性质
猜想：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2， …
能用我们已有的知识来证明这个结论吗？
P3
A
B
l
P2
P1
演示
l是AB的垂直平分线，观察P1A和P1B，P2A和P2B，P3A和P3B之间的关系？
求证：线段垂直平分线上得点到这条线段两端的距离相等
B
A
C
P
l
同学们能不能根据这幅图用符号语言来描述这个命题并给予证明呢？
转化成数学语言：
已知：直线m是线段AB的垂直平分线，P为线段AB上的任意一点；求证：PA=PB.
证明：利用判定两个三角形全等．
∵m是AB的垂直平分线，P在m上
∴PC⊥AB,AO=BO
∴∠AOP= ∠BOP=90°
在△APO和△BPO中，
∴ △APO≌△BPO (SAS)
∴ PA=PB.
PO=PO
∠AOP= ∠BOP
AO=BO
结论：线段垂直平分线上的点与这条线段
两个端点的距离相等．
A
B
P
l
C
1、因为AD为BC的中垂线，所以 。
理由：
AB＝AC
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
B
C
A
D
2、如图， NM是线段AB的中垂线,
下列说法正确的有： 。
①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
A
B
M
N
D
①②③
如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
D
C
B
E
A
解：
∵ED是线段AB的垂直平分线
∴
∵ △BCD的周长=BD+DC+BC
∴ △BCD的周长=
=
=
BD=AD
AD+DC+BC
AC+BC
12+7=19
习题1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
A
D
B
E
C
证明：∵AD⊥BC BD=DC
∴AD在线段BC的垂直平分线上
∴AB=AC
∵点C在AE的垂直平分线上
∴AC=CE
又 AB=AC
∴AB=AC=CE
∵AB=AC=CE
又BD=CD
∴AB+BD=CE+CD=DE
2、如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC的长。
A
E
D
B
C
解:
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。
A
E
D
B
C
总结
本节课我们学习了：
1、垂直平分线
2、图形轴对称的性质
3、中垂线的性质
36页 习题12.1─3、4、9题授课题目 12.1轴对称 班级 二年六班
授课人 马冬 课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 知识技能 1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质． 2．探究线段垂直平分线的性质．
过程方法 1．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．2．探索线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力．
情感态度价值观 通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．
教学重点 1．轴对称的性质．2．线段垂直平分线的性质．
教学难点 体验轴对称的特征．
教学方法和手段 多媒体教学
过程 教学内容 小注
引入中垂线概念引出图形对称的性质 第一张幻灯片上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么我们今天继续来研究轴对称的性质．幻灯片二1、图中的对称点有哪些？2、点Ａ和A’的连线与直线MN有什么样的关系？理由？：△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。幻灯片三接下来我们把文字叙述转化成数学的符号语言：∵直线MN是线段AB的垂直平分线∴MN⊥AB,AO=BOMN是线段AB的垂直平分线也可以说成：AB的垂直平分线为MNMN垂直平分A、B于O幻灯片四我们还看这个图对称轴MN是对应点A、A’所连线段的垂直平分线。对称轴MN是否是任何一组对称点L、L’，所连线段LL’的垂直平分线呢？我们来看一下演示通过刚才的演示我们可以知道：右图中，对称轴MN是任何一组对称点L、L’，所连线段LL’的垂直平分线图中的两个三角形换成两个正方形是否有这样的性质？其实是同一个道理
对称图形性质 幻灯片五通过前面的研究我们就可以得到图形轴对称的性质 ：下面大家来画一个简单的轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．学生画完后，用投影仪演示同学们所画的图形（我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．）类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线． 幻灯片六面的两个性质可以简单的概括为：对称点的连线被对称轴垂直平分。请大家思考一下：如果我们感觉一个图形是轴对称图形，我们如何验证呢？不折叠图形你能准确地得出它的对称轴吗？ 根据对称点的连线被对称轴垂直平分。我们就可以知道：作出一对对称点的垂直平分线，就得到它的对称轴 对称概念的理解
中垂线的性质定理与逆定理 幻灯片七下面我们来探究线段垂直平分线的性质如图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？转化成数学语言就是：已知，直线m是线段AB的中垂线P为直线m上任意一点，PA、PB有什么关系 几何画板演示得出PA=PB能用我们已有的知识来证明这个结论吗？幻灯片八证明 ：提问基础好的同学口述给出答案幻灯片九思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否线段AB的垂直平分线上？ 几何画板演示，得出结论：幻灯片十与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 证明作为课下作业幻灯片十一从上述两个结果可以看出线段垂直平分线的性质，即：线段AB的垂直平分线m上的点与A、B的距离都相等；反过来，所以线段的垂直平分线m可以看成与线段两端点A、B距离相等的所有点的集合．
简单练习例题 好下面我们来看一些练习幻灯片十二简单练习1、2、3幻灯片十三简单练习4幻灯片十四例题 先分析，再演示证明过程幻灯片十五、十六练习1、2幻灯片十七——十九（备用）
总结 本节课我们学习了： 1、垂直平分线 2、图形轴对称的性质 3、中垂线的性质和逆定理
课后作业 作业：P36 习题12.1 3、4、9题(共28张PPT)
欣赏前面的图片图片之后，请大家想一想这些图片有什么共同特征？
要仔细观察哦！
看一看
如果________沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够_________,这个图形就叫做____________.这条直线就是它的__________.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
对称轴
一个图形
互相重合
轴对称图形
对称轴
对称轴
轴对称图形
轴对称图形
轴对称定义
m
n
1.判断下面的图形是不是轴对称图形.
不是
是
不是
是
是
是
不是
是
线段、角、正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形和圆都是轴对称图形。
下面的图形是不是轴对称图形
练一练：
2、下面的图形是轴对称图吗？如果是,你能指出它的对称轴吗
动手画出图形的对称轴
长方形
动手画出图形的对称轴
正方形
动手画出图形的对称轴
圆
有的轴对称图形有不止一条对称轴。
图形 形状 是否轴对称图形 对称轴的数量(条)
长方形
正方形
平行四边形
等腰三角形
圆形
是
是
是
是
不是
2
4
1
无数
-------
常见图形
练一练：1、下面的数字、字母和汉字中，哪些是轴对称图形？
0 6 9 4
A F D G
中 由 用 甲 工 月 田 水
0 4
A D
中 由 甲 工 田
刚才我们研究了一个图形具有轴对称的特征，你想不想看看两个图形是否也具有这样的特征呢？
请大家仔细观察 ！
一个图形
两个图形
你观察到了什么？
A′
A
B
C
C′
定义
1.把_______沿着某一条直线折叠,如果它能够与_____图形____,那么就说这两个图形______________或者说这两个图形成轴对称。
2.同样,我们把这条直线叫做______.
3.折叠后重合的点是对应点,叫做______.
一个图形
另一个
重合
关于这条直线对称
对称轴
对称点
A′
A
B
C
B′
C′
m
1
2
把图1沿直线m折叠后图1可以与图2重合
我们就说：
1、图1、图2关于直 线m对称
2、m为对称轴
3、A’.B’.C’分别是A.B.C的对称点
轴对称图形 两个图形成轴对称
区别 ＿个图形 ＿个图形
联系 １．沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够＿＿＿＿．
２．都有＿＿＿＿．
３．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线＿＿＿；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是＿＿＿＿．
一
两
互相重合
对称轴
对称
轴对称图形
比较：
1.成轴对称的两个图形全等吗 ( )
全等的两个图形一定成轴对称吗 ( )
2.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等吗 ( )这两个图形对称吗 ( )
全等
全等
对称
不一定
想一想
下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称吗 如果是,试着找出它们的对称轴,并找出一对对应点.
喜
喜
练 习:
如图，△ABC与△DEF关于直线a对称，
若AB=2cm，∠C=55°，则DE= ，∠F= 。
a
A
B
C
F
E
D
2cm
55°
如图，△ABC与△DEF关于直线a对称，
若AB=2cm，∠C=55°，则DE= ，∠F= 。
做一做：
a
A
B
C
F
E
D
反思 小结
主要围绕下列几个问题：
轴对称图形，两个图形关于某条直线成轴对称，对称轴，对称点。
---表盘的对称保证了走时的均匀性。
---人眼睛的对称使人观察物体能够更加准确全面。
……
这节课我们认识了生活中的许多轴对称图形,它们不但体现了一种对称美,还有一定的科学道理
课后作业：
P36
习题12.1 2、6、7.授课题目 12.1轴对称 班级 二年六班
授课人 马冬 课时 第一课时 课型 新授课
教学目标 知识技能 1．在生活实例中认识轴对称图．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．
过程方法 1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．2．经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力．
情感态度价值观 通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高．
教学重点 准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质
教学难点 轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系
教学方法和手段 多媒体教学
过程 教学内容 小注
生活中实例引入 第一张幻灯片我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长。那么从这节课开始，我们来学习第十四章的内容：轴对称本节课请大家先欣赏生活中对称的图片幻灯片二——六欣赏前面的图片图片之后，请大家想一想这些对称图片有什么共同特征？（这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合）大家回答的很好！幻灯片七下面先让我们来看看下面这样一个图形，这是一只蝴蝶的照片。下面请同学们注意观看如果我将它沿着这条线进行折叠后，这张照片的两边是不是已经完全重合了？幻灯片八下面这些图片，是不是都能在他们中找到这样的一组折线呢？这里我们要会发现有两个图形的折线不在是前几个我们看到的竖线而是横线，这就说明使图形两部分能够完全重合的折线不一定使竖线，它可以是其他方向上的。 用生活中的例子引导学生什么是对称
对称图形的概念 那么我们来给这样的图形来下一个定义：幻灯片九如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。就像下面这个枫叶和蝴蝶，使枫叶沿着这条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。好的下面同学们在来描述一下这张蝴蝶的图案！下面我们来检验一下，做一个小练习幻灯片十（备用）1.判断下面的图形是不是轴对称图形幻灯片十一2.下面的图形是不是轴对称图形 幻灯片十二3、请同学们把书打开30页练习做前四个小题 对称概念的理解
对称轴条数 幻灯片十三——十五做完了习题让我们来思考一个问题，是不是每一个图形只能有一条对称轴呢？幻灯片十三看看这个长方形有几条对称轴，同学们在纸上画一画，好的只有一条。 正方形呢？幻灯片十六好了下面同学们自己来总结一下这些图形都有多少条对称轴。幻灯片十七、十八（备用）练习 下面的数字、字母和汉字中，哪些是轴对称图形？
两个图像关于一条直线对称的概念 幻灯片十九刚才我们研究了一个图形具有轴对称的特征，看两个图形是否也具有这样的特征呢？请大家注意观察！你观察到了什么？幻灯片二十向前面图形那样，我们吧把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对应点。幻灯片二十一把图1沿直线m折叠后图1可以与图2重合我们就说：1、图1、图2关于直 线m对称2、m为对称轴3、A’.B’.C’分别是A.B.C的对称点 对称概念的理解
讨论轴对称图形和两个图形关于一条直线对称的区别和联系 幻灯片二十二我们刚刚学习了轴对称图形，和两个图形关于一条直线对称，他们有什么异同呢！首先看看他们的不同点，轴对称图像研究的是一个图形，两个图形关于一条直线对称研究的是两个图形。下面再让我们看看他的相同点：１．沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合．２．都有对称轴．３．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形．的定义是指对折后两个图形能够互相重叠，显然这两个图形的形状和大小都相同，也就是说这两个图形全等。所以关于轴对称的两个图形一定全等！第二个图形的原理是不是与第一个图形完全相同啊！
对称图形和全等的联系 幻灯片二十三下面让我们来看看对称图形和全等的联系：成轴对称就是指，两个图形沿直线对折后两个图形能够互相重合，就是形状和大小都相同所以关于轴对称的两个图形一定全等！轴对称的两个图形，不仅形状和大小都相同，而且强调位置。所以全等的两个图形不一定成轴对称第三题的原理与第一个图形完全相同 加深理解
巩固练习 幻灯片二十四下面我们就做一些练习，大家做一下书上31页练习下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称吗 如果是,试着找出它们的对称轴,并找出一对对应点.幻灯片二十五（备用）△ABC与△DEF关于直线a对称，则△ABC与△DEF全等，所以对应边相等，对应角相等。
总结课后作业 主要围绕下列几个问题：轴对称图形，两个图形关于某条直线成轴对称，对称轴，对称点。这节课我们认识了生活中的许多轴对称图形,它们不但体现了一种对称美,还有一定的科学道理。---表盘的对称保证了走时的均匀性。---人眼睛的对称使人观察物体能够更加准确全面。生活中对称的例子还有很多具有一定的科学道理，希望同学们能过不断观察、探索。作业：P36 习题12.1 2、6、7.
