苏科版数学九年级上册第1章一元二次方程复习学案

一元二次方程
知识点回顾：
整式方程：等式的左边和右边都是整式，这样的方程称整式方程，以前学过的一元一次方程及本章的一元二次方程都属于整式方程。
一元二次方程定义：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
如何判断一元二次方程：
首先必须是一个整式方程。
然后化简后再判断
“一元”指的是“只含有一个未知数”；
“二次”是指未知数最高指数是2；
（四个条件缺一不可）
一元二次方程的一般表达式：
?
任何一个一元二次方程都可化为ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，且a≠0）
注意:一元二次方程的各项系数很重要，三项的排列必须从左到右降次排列，依
次为二次项的系数a，一次项的系数b，和常数项c，等式的右边一般是0。
一个一元二次方程要二次项系数不为0，要用好这个条件。
要注意题目条件如果只说方程，一元一次方程和一元二次方程都要考虑
举例：方程x(19-2x)=24,先整理为一般表达式，-2x?+19x-24=0,它的二次项系数
为-2，一次项系数为19，常数项为-24。
举例说明：
1、判断下面方程哪些是一元二次方程？
①
②
ax?+bx+c=0
③2x?-x+2
④
⑤
⑥3x?-5xy+5=0
⑦3x-2x+3=0
⑧x?=-5
①不是：等式的左边不是一个整式。
②不是：没有规定二次项系数不为0，即a≠0.
③不是：它不是方程，它是代数式，即多项式。
④不是：没有化简，化简之后没有二次项，是一个一元一次方程。
⑤不是：等式的左边不是一个整式。
⑥不是：含有两个未知数。
⑦不是：未知数次数为3
⑧是：
虽然无解，但是判断一个一元二次方程和它有无解没关系。
2、若关于x的方程x?+mx-15=0,可以化成(x+3)(x+n)=0,的形式，则m的值是？
解：
一般表达式
二次项系数为：1
一次项系数为：
常数项为:3n
所以：
3、方程是关于x的一元二次方程，则m的值是？
解：
是关于x的一元二次方程
即
4、
k为何值时，；（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？
（1）解：一元一次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1.
即
（2）解：一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2.
即
已知关于x的方程有一个根是0则m=±2．
将x=0代入原方程得：
m=±2
已知关于x的一元二次方程的一个解为0，
则m=
1
将x=0代入原方程得：
m=1或-3（舍）
一元二次方程的解法
直接开方法：
对于形如x?=k(k≥0)的方程，我们可以根据平方根的意义，其中x表示k的平方根，即x=±，所以对于一元二次方程x?=k有两个根，它们分别记为
，
注意：这里有时候要将等号两边看作整体，
常见形式：①ax?=k
②(ax+h)?=k
③（ax+b)?=（cx+d)?
例题解析：
4x?-1=0
(x+1)?=2
解：
解；将(x+1)看作一个整体
(3x+2)?=(x-2)?
解：将(3x+2)和（x-2）分别看作一个整体
配方法：
首先要将一个一元二次方程变形为(x+h)?=k,当k≥0时，然后就可以直接用开平方法求出方程的解。
步骤：①移项：把常数项移到等号的右边；
②二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项的系数；
③配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方；
④用直接开平方法求出变形后的方程；
注意：配方法用到一个公式：完全平方公式逆运算：a?±2ab+b?=（a±b）?
配方法最关键的就是第二个步骤，一定要加上一次项系数一半的平方。
（这里可以不用考虑一次系数前面的正负号）
例题分析：
x?+8x+
4?
=(x+
4
)?
x?-6x+
=(x-
)?
加上一次项系数的一半的平方，不需要考虑正负号。
解：移项：
二次项系数化为1：
加上一次项系数一半的平方：
配方：
解得：
解：
公式法：
一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的各项系数决定的，它的实数根是：
步骤：①
要将已知方程化为一般表达式，且注意二次项系数不为0；
②
计算出△=b?-4ac的值，注意各项系数包括符号；
③
若△=b?-4ac≥0，直接带入公式求解；
一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)根的情况：
①
当b?-4ac＞0时，有两个不相等的实数根；
②
当b?-4ac＝0时，有两个相等的实数根；
③
当b?-4ac＜0时，没有实数根；
注意：当题目问题出现一元二次方程有两个是实数根时，求题目中字母的取值范围。一定要让b?-4ac≥0来求解。
还要看清楚是指一元二次方程还是指一元一次方程，或只是说方程（两种情况都要考虑）。
例题解析：
x?+x-1=0
x?-2x+3=0
解：a=1
b=1
c=-1
解：a=1
b=1
c=-1
△=b?-4ac=5
△=b?-4ac=0
4、因式分解法：
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个因式的乘积时，这样
一个一元二次方程就可以转化解两个一元一次方程；
步骤：①移项：使得等号右边为0；
②将方程的左边分解为两个一次因式积形式；
③分别令两个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程；
注意：通过提公因式法、公式法、十字相乘法等可以将方程左边转化为两个一次因式相乘得形式。
十字相乘法：将已知方程化为一般表达式，然后将二次项和常数项都拆分为两项相乘，最后交叉相乘等于中间项。（有时需要经过多次验算）
例题解析：
解：
解：
或
或
解：
或
十字相乘法（竖分常数交叉验，横写因式不能乱）
解：①竖分二次项与常数项；
解：
②交叉相乘和相加；
③检验确定，横写因式。
交叉相乘和为x·1-3·x=-2x
交叉相乘和为-2x-·x=-
检验等于中间项。
检验等于中间项。
若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长宽a,b
长方形C型纸片，现取2张A型纸片，3张B型纸片，7张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为___(用a,b的代数式表示)
解：所得长方形的面积为
十字相乘法因式分解
a
3b
2a
b
所以长方形周长为：
一元二次方程的根与系数的关系
由求根公式我们知道，一元二次方程的根是由方程的各
项系数决定的，当时，他的实数根可以表示为：x=，
x=
于是我们可以得出：
（韦达定理）
韦达定理的常用变形：
①
②
③
④
⑤
⑥
韦达定理逆定理：
如果x和x满足如下关系：
，
，那么这两个数x，x是方程的根。（注意：相关题型会给出两根不相等）
（通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程）
常见例题：
1、已知关于的两根分别是+1、-1，求b、c的值？
解：设的两根分别、
由韦达定理得：
由题意得：
所以：
2、设a、b是相异的两个实数，且满足,，求的值
解：可将a、b看作方程：的两个根。
题目规定a≠b，而此方程，△＞0
是符合题意的。
由韦达定理得：
原式：
=
=
=
3、如果ab≠1，且有及那么的值是
解：
由
两边同时除以
得：9+2004+5=0
整理得：5+2004+9=0
由：5a?+2004a+9=0
可将a、看作方程：的两个根，
ab≠1
即a≠
此方程
有两个不相等的实数根符合题意。
由韦达定理得：a·=
即=
4、关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x,x
求实数k的取值范围？
若方程两实数根x,x满足，求k的值？
解：（1）由
a=1
b=2k+1
c=k?+1
△=
因为原方程有两个不相等的实数根，
所以：
（2）由韦达定理得：
∵
∴x+x＜0
x.x＞0
∴、
=x。x
=x。x
=