3 简谐运动的回复力和能量
一、简谐运动的回复力
1．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
2．回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反，总是指向平衡位置，它的作用是使振子能够回到平衡位置．
3．表达式：F＝－kx，即回复力与物体的位移大小成正比，负号表示回复力与位移方向始终相反，k是常量．对于弹簧振子，k为弹簧的劲度系数．
二、振动的能量
1．振子的速度与动能：速度不断变化，动能也在不断变化．
弹簧形变量与势能：弹簧形变量在变化，因此势能也在变化．
2．简谐运动过程是一个动能和势能不断变化的过程，在任意时刻振动系统的总机械能不变．在平衡位置处，动能最大，势能最小；在最大位移处，势能最大，动能最小．振动系统的机械能与振幅有关，振幅越大，机械能就越大．
考点一
简谐运动的回复力
1.回复力：振动物体偏离平衡位置后，所受到的使它回到平衡位置的力．
2．简谐运动的回复力
简谐运动中回复力满足F＝－kx，即回复力的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反．在平衡位置处，回复力为零．
3．对简谐运动回复力的理解
(1)“负号”表示回复力的方向与位移方向始终相反．
(2)式中“k”对于在水平方向运动的弹簧振子来说，当回复力由弹簧的弹力提供时，k为弹簧的劲度系数，其值为回复力F的大小与位移x的比例系数．其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m.
(3)公式反映出了回复力F与位移之间的正比关系，位移越大，回复力越大；位移增大为原来的几倍，回复力也增大为原来的几倍．
(4)因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化．
(5)回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力．
回复力为0时，物体所受合力一定为0吗？
物体做简谐运动到平衡位置时，回复力为0，但合力可能不为0.
例如：物体沿圆弧做简谐运动，如图所示．当小球运动到圆弧的最低点(平衡位置)时，回复力为0，小球所受的合力用来提供向心力，所以小球所受的合力不为0.
4．简谐运动的动力学定义
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
5．简谐运动的运动学特征
由简谐运动的回复力F＝－kx和牛顿第二定律，可得简谐运动的加速度a＝＝－.此式表明加速度的大小与振动物体的位移成正比，方向始终与位移方向相反．
?1?简谐运动是一种变加速度的往复运动.物体离开平衡位置的运动是加速度不断增大的减速运动，物体向着平衡位置的运动是加速度不断减小的加速运动.
?2?回复力F＝－kx和加速度a＝是简谐运动的动力学特征和运动学特征.一个物体是否做简谐运动，在它满足了在平衡位置附近做振动的运动特征后，就看它是否满足F＝－kx或a＝.
【例1】 弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
【审题指导】
1．简谐运动的回复力与位移有什么样的关系？
2．简谐运动的回复力一定是振动物体所受合力吗？
3．简谐运动过程中加速度与回复力有怎样的关系？
4．简谐运动过程中振动物体的速度与加速度有怎样的联系？
【解析】 振子位移特指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，而回复力与位移的大小成正比，故回复力也减小，所以A、B错误；由牛顿第二定律a＝得，加速度也减小，物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，所以C错误，D正确．
【答案】 D
如右图所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析，正确的是( A )
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
解析：回复力不是做简谐运动物体受到的具体的力，它由物体受到的具体的力所提供．在此情景中弹簧的弹力充当回复力，因此只有选项A正确．
考点二
简谐运动的能量
1．简谐运动的能量
弹簧振子的振动过程是一个动能和势能不断转化的过程．
如下图所示，水平弹簧振子在AB之间往复运动，它在一个周期内的能量转化过程：
A→O弹力做正功，弹性势能转化为动能；
O→B弹力做负功，动能转化为弹性势能；
B→O弹力做正功，弹性势能转化为动能；
O→A弹力做负功，动能转化为弹性势能．
2．关于简谐运动能量的理解
(1)若不考虑阻力，弹簧振子在振动过程中只有弹力做功，故在任意时刻的动能与势能之和不变，即机械能守恒．
(2)简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大．
在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，因此简谐运动又称等幅振动，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去．
从能量转化角度分析，简谐运动没有考虑阻力做功的能量损耗．实际的运动会受到摩擦或空气阻力，但简谐运动中忽略了其他阻力，因此简谐运动是一种理想化的模型．
(3)在一个振动周期内，动能和势能完成两次周期性变化．经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小．
振子经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能．
势能可以是重力势能，可以是弹性势能，也可以是重力势能和弹性势能之和?如沿竖直方向振动的弹簧振子?，我们规定以平衡位置为零势能位置.
【例2】 (多选)如右图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对运动而一起运动，下列叙述正确的是( )
A．振幅不变
B．振幅减小
C．最大动能不变
D．最大动能减小
【审题指导】
1．做简谐运动的弹簧振子系统机械能守恒吗？
2．质量为m的物体放在质量为M的振子上，在这个过程中有没有机械能损失？为什么？
3．本题中如果质量为m的物体放在质量为M的振子上有相对滑动，系统的机械能有没有损失？为什么？
【解析】 振子运动到B点时速度恰为0，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变．因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．
【答案】 AC
(多选)弹簧振子在光滑水平面内做简谐运动的过程中，下列说法正确的是( BC )
A．在平衡位置时它的机械能最大
B．在最大位移处它的弹性势能最大
C．从平衡位置到最大位移处它的动能减小
D．从最大位移到平衡位置处它的机械能减小
解析：简谐运动过程中机械能守恒，因此选项A、D错误；在最大位移处，弹簧形变量最大，因此弹性势能最大，选项B正确；从平衡位置到最大位移处，位移增大，速度减小，动能减小，选项C正确.
考点三
简谐运动中各物理量的变化规律
如下图所示，振子以O为平衡位置在AB之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
?1?简谐运动中在最大位移处，x、F、a、Ep最大，v＝0，Ek＝0；在平衡位置处，x＝0，F＝0，a＝0，Ep最小，v、Ek最大.
?2?简谐运动中振动系统的动能和势能相互转化，机械能的总量不变，即机械能守恒.
【例3】 (多选)在物体做简谐运动的过程中，t1、t2两时刻物体分别处在关于平衡位置对称的两点，则从t1至t2这段时间物体的( )
A．t1、t2两时刻动能一定相同
B．t1、t2两时刻势能一定相同
C．速度一定先增大，后减小
D．加速度可能先增大，后减小，再增大
【审题指导】
1．简谐运动中关于平衡位置对称的两点，动能、势能一定相等吗？
2．简谐运动中关于平衡位置对称的两点，位移、回复力、加速度大小一定相等吗？方向呢？
3．简谐运动中关于平衡位置对称的两点，速度大小一定相等吗？方向呢？
【解析】 由对称性可知，物体分别处在关于平衡位置对称的两点，速度大小相同，动能相等，A正确．由机械能守恒知势能也一定相等，B正确．如果t1时刻物体向最大位移处运动，再回到该点后向t2时刻的位置运动，则速度是先减小再增大再减小，位移先增大再减小再增大，加速度先增大再减小再增大，故C错，D正确．
【答案】 ABD
(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( BC )
A．在第1
s内，质点速度逐渐增大
B．在第2
s内，质点速度逐渐增大
C．在第3
s内，动能转化为势能
D．在第4
s内，动能转化为势能
解析：质点在第1
s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2
s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3
s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4
s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，势能转化为动能，所以选项D错误．
学科素养提升
利用“对称性”展现简谐运动的全景
简洁美、对称美在物理现象和规律中司空见惯，特别是在最基本的机械振动——简谐运动中，对称美更体现得淋漓尽致．
在简谐运动中，若任意两位置P、P′关于平衡位置O对称，即OP＝OP′，则振动的质点在这两点速度大小一定相等，加速度一定等大反向，这就是说速度、加速度存在着对称性．利用这一对称性，可以把“残缺”的简谐运动的全景展现出来．
【典例】 如图所示，一升降机在箱底装有若干弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的运动过程中( )
A．升降机的速度不断减小
B．升降机的加速度不断变大
C．升降机的加速度最大值等于重力加速度值
D．升降机的加速度最大值大于重力加速度值
【解析】 从弹簧接触地面开始分析，升降机做简谐运动(简化为如图中小球的运动)，在升降机从A→O的运动过程中，速度由v1增大到最大vm，加速度由g减小到零，当升降机运动到A的对称点A′(OA＝OA′)时，速度也变为v1(方向竖直向下)，加速度为g(方向竖直向上)，升降机从O→A′的运动过程中，速度由最大vm减小到v1，加速度由零增大到g，从A′点运动到最低点B的过程中，速度由v1减小到零，加速度由g增大到a(a>g)，故答案为D选项．
【答案】 D
本题巧妙之处在于找出了A的对称点A′，A′并不是运动的最低点，A、A′两点速度、加速度对称，在A′点下面的B点为最低点，加速度最大，这样问题就迎刃而解．
1．(多选)物体做简谐运动的过程中，下述物理量中保持不变的是( AD )
A．振幅 B．动能 C．势能 D．机械能
解析：物体做简谐运动的过程中，机械能守恒，振幅不变，选项A、D正确；当物体向平衡位置运动时，动能增加，势能减少；当物体远离平衡位置运动时，动能减少，势能增加，选项B、C错误．
2．振动的物体都具有周期性，若简谐运动的弹簧振子的周期为T，那么它的动能、势能变化的周期为( C )
A．2T
B．T
C．
D．
解析：振动中动能、势能相互转化，总机械能不变，动能和势能为标量，没方向．C正确．
3．(多选)一质点做简谐运动，则下列说法中正确的是( AD )
A．若位移为负值，则加速度一定为正值
B．质点通过平衡位置时，动能为零，势能最大
C．质点每次通过平衡位置时，加速度不一定相同，速度也不一定相同
D．质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
解析：若位移为负值，由a＝－，可知加速度一定为正值，A正确；质点通过平衡位置时，动能最大，势能最小，B错误；质点每次通过平衡位置时，位移相同，加速度一定相同，而速度不一定相同，C错误；质点每次通过同一位置时，位移相同，加速度一定相同，速度有两种可能的方向，不一定相同，D正确．
4．做简谐运动的物体，其加速度a随位移x变化的规律应是下图中的( B )
解析：以弹簧振子为例，F＝－kx＝ma，所以a＝－，即a＝－k′x，故正确选项应为B.
5．做简谐运动的弹簧振子质量为0.2
kg，当它运动到平衡位置左侧20
cm时，受到的回复力是4
N；当它运动到平衡位置右侧40
cm时，它的加速度为( D )
A．20
m/s2，向右
B．20
m/s2，向左
C．40
m/s2，向右
D．40
m/s2，向左
解析：加速度方向指向平衡位置，因此方向向左．由力和位移的大小关系可知，当x＝40
cm时，F＝8
N，a＝＝40
m/s2.课时作业8 简谐运动的回复力和能量
1．关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是( D )
A．可以是恒力
B．可以是方向不变而大小改变的力
C．可以是大小不变而方向改变的力
D．一定是变力
2．物体做简谐运动的过程中，下述物理量中保持不变的是( B )
A．速度
B．振幅
C．势能
D．动能
解析：做简谐运动的物体，振幅保持不变，速度、动能、势能随时变化，故选B.
3．(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是( AD )
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
解析：回复力是根据作用效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在题图情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程中回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．
4．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图像，则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律，下列选项可能正确的是( C )
解析：加速度与位移的关系为a＝－，而x＝Asinωt，所以a＝－sinωt，则可知选项C可能正确．
5．(多选)一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是( AC )
A．t＝1
s时质点的速度最小
B．t＝2
s时质点所受的回复力最大
C．质点振动的振幅为4
cm
D．质点振动的频率为4
Hz
解析：在t＝1
s时质点位于负向最大位移处，速度为0，加速度最大，A正确；t＝2
s时位移为0，故质点所受的回复力为0，B错误；由题图可知质点振动的振幅为4
cm，周期为T＝4
s，则频率为f＝＝0.25
Hz，C正确，D错误．
6．(多选)一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，下列说法中正确的是( CD )
A．振子的速度相同时，弹簧的长度一定相等
B．振子从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧的弹力始终做负功
C．振子受到的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供
D．在振子运动的过程中，系统的机械能守恒
解析：振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置关于平衡位置对称，弹簧长度明显不相等，选项A错误；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，弹力做正功，选项B错误；振子受到的回复力由振子的重力和弹簧的弹力的合力提供，且振子运动过程中只有重力和弹簧的弹力做功，所以系统的机械能守恒，故选项C、D正确．
7．如图所示为水平放置的两个弹簧振子A和B的振动图像，已知两个振子质量之比为mA?mB＝2?3，弹簧的劲度系数之比为kA?kB＝3?2，则它们的周期之比TA?TB＝2∶3；它们的最大加速度之比为aA?aB＝9∶2.
解析：由题图可知，A振子的周期为0.4
s，B振子的周期为0.6
s，故周期之比为TA∶TB＝2∶3；最大加速度时，有mAaA∶mBaB＝10kA∶5kB，故最大加速度之比aA∶aB＝9∶2.
8．弹簧下面挂一小钢球如图所示，它所受的力与位移的关系也满足F＝－kx吗？x为弹簧的形变量吗？它振动的回复力由哪个力提供？是简谐运动吗？
答案：满足 不是 由弹簧弹力和重力的合力提供 是
解析：设振子的平衡位置为O，向下为正方向，此时弹簧已伸长了x0
设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kx0＝mg①
当振子偏离平衡位置距离为x时F回＝mg－k(x＋x0)②
由①②得F回＝－kx，
所以该振动是简谐运动．
1．在简谐运动中，振子每次经过同一位置时，下列各组中描述振动的物理量总是相同的是( B )
A．速度、加速度、动量和动能
B．加速度、动能、回复力和位移
C．加速度、动量、动能和位移
D．位移、动能、动量和回复力
解析：振子每次经过同一位置时，其加速度、动能、回复力和位移总相同，故选B.
2．以下对简谐运动的回复力公式F＝－kx的理解，正确的是( C )
A．k只表示弹簧的劲度系数
B．式中的负号表示回复力总是负值
C．位移x是相对平衡位置的位移
D．回复力只随位移变化，不随时间变化
3．关于简谐运动中弹簧振子的合力和位移的关系，图中表示正确的是( C )
解析：根据F＝－kx可知：回复力与位移的关系图像为一条直线，斜率为负值，C项正确．
4．如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( A )
A．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的回复力
D．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
解析：物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用．重力和支持力二力平衡，摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，由F＝－kx知，摩擦力随时间其大小和方向都变化，故A正确．
5．(多选)如图所示，质量为m的小球放在劲度系数为k的轻弹簧上，小球上下振动而又始终未脱离弹簧．则( AD )
A．小球的最大振幅为
B．在最大振幅下弹簧对小球的最大弹力是mg
C．小球在振动过程中机械能守恒
D．弹簧的最大弹性势能为
解析：最大振幅满足kA＝mg，所以A＝，故A项正确；在A＝的条件下小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以Fm－mg＝mg，得Fm＝2mg，所以B项错误；小球和弹簧组成的系统机械能守恒，所以C项错误；当小球到达最低点时弹簧的形变量最大，所以弹性势能最大，根据机械能守恒得最大弹性势能为2mgA＝，所以D项正确．
6．(多选)如图所示的弹簧振子(以O点为平衡位置在B、C间振动)，取水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移的正方向，得到如图所示的振动曲线．由曲线所给的信息可知，下列说法正确的是( AD )
A．t＝0时，振子处在B位置
B．t＝4
s时振子对平衡位置的位移为10
cm
C．t＝2.5
s时振子对平衡位置的位移为5
cm
D．如果振子的质量为0.5
kg，弹簧的劲度系数为20
N/cm，则振子的最大加速度大小为400
m/s2
解析：由振动图像可知t＝0时，振子的位移为负向最大，说明振子处于B位置，故A正确；由图看出，t＝4
s时振子对平衡位置的位移为－10
cm，故B错误；由于振子做的是变加速直线运动，不是匀速直线运动，所以t＝2.5
s时振子对平衡位置的位移不是5
cm，故C错误；k＝20
N/cm＝2
000
N/m，振幅A＝10
cm＝0.1m，振子的最大加速度在最大位移处，由弹簧受力和牛顿第二定律可得最大加速度大小为：am＝＝
m/s2＝400
m/s2，故D正确．
7．如图所示，光滑的水平面上放有一轻弹簧，轻弹簧右端固定在滑块上，已知滑块质量m＝0.5
kg，弹簧劲度系数k＝240
N/m，将滑块从平衡位置O向左平移，将弹簧压缩5
cm，静止释放后滑块在A、B间滑动，则
(1)滑块加速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时滑块加速度多大？
(2)滑块速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时滑块速度多大？(假设整个系统具有的最大弹性势能为0.3
J)
答案：(1)A点或B点 24
m/s2 (2)O点 1.1
m/s
解析：(1)由于简谐运动的加速度a＝＝－x，
故加速度最大的位置在最大位移处的A或B两点，加速度大小a＝x＝×0.05
m/s2＝24
m/s2.
(2)在平衡位置O滑块的速度最大．
根据机械能守恒，有Epm＝mv.
故vm＝＝
m/s≈1.1
m/s.(共50张PPT)
第二章
机械振动
3 简谐运动的回复力和能量
课堂效果检测
课前自主学习
课堂考点演练
课后作业
