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第二章
机械振动
1 简谐运动
课堂效果检测
课前自主学习
课堂考点演练
课后作业机械振动__
1 简谐运动
一、弹簧振子及其位移—时间图像
1．弹簧振子
(1)平衡位置：振子原来静止时的位置．
(2)机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动．
(3)弹簧振子：它是小球和弹簧组成的系统的名称，是一个理想化模型．
2．弹簧振子的位移—时间图像
建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点O，沿着它的振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．
如图所示，把一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑杆上能够自由滑动，把小球拉向右方，然后放开，小球将如何运动？它的运动有什么特点？
提示：小球做往复运动，其运动具有周期性和对称性．其位移随时间周期性变化，其加速度、速度也随时间周期性变化．
二、简谐运动及其图像
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动．简谐运动是最基本的振动．弹簧振子中小球的运动就是简谐运动．
如图所示为某弹簧振子的振动图像，它是一条正弦曲线．有的同学说既然其振动图像是正弦曲线，那么其运动轨迹也应该是正弦曲线，结合水平方向的弹簧振子讨论一下，这种说法对吗？为什么？
提示：不对，因为振动图像不是运动轨迹，而是振子相对于平衡位置的位移随时间的变化规律，如图所示，水平方向的弹簧振子振动时，振子在A′—O—A之间往复运动，则其运动轨迹是线段A′A.
考点一 弹簧振子
1．平衡位置：做往复运动的物体能够静止的位置．
2．机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动，简称振动．振动的轨迹可能是直线，也可能是曲线．
3．弹簧振子
(1)构造：用一根没有质量的弹簧一端固定，另一端连接一个可视为质点的小球．如右图所示．
弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统的名称，但有时也把其中的小球称为弹簧振子或简称振子.
(2)弹簧振子的特点
质量
弹簧质量比小球质量小得多，可以认为质量只集中于振子(小球)上
体积
弹簧振子中与弹簧相连的小球的体积要足够小，可以认为小球是一个质点
阻力
在振子振动过程中，忽略弹簧与小球受到的各种阻力
弹簧振子的平衡位置，一定在弹簧的原长位置吗？
不一定．如图所示，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置．
【例1】 (多选)下列说法正确的是( )
A．做简谐运动的物体一定做机械振动
B．机械振动就是简谐运动
C．简谐运动就是弹簧振子的运动
D．简谐运动是机械振动中最基本的一种
【审题指导】
1．什么是机械振动？
2．什么是简谐运动？
3．机械振动与简谐运动有什么联系？
【解析】 简谐运动是机械振动的一种最基本的振动形式．振动物体的位移—时间图像遵从正弦函数规律的振动形式，都是简谐运动，弹簧振子的振动只是简谐运动中的一种，故A、D正确，C错误；做简谐运动的物体一定做机械振动，但机械振动不一定都是简谐运动，如果位移—时间图像不满足正弦规律，则不是简谐运动，故B错误．
【答案】 AD
关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法正确的是( B )
A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置
B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
解析：平衡位置是物体可以静止的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关，所以选项A不正确；振动位移是以平衡位置为起点，到质点所在位置的有向线段，振动位移随时间而变化，振子偏离平衡位置最远时，振动位移最大，所以选项C、D不正确，只有选项B正确．
考点二 弹簧振子的位移—时间图像
1．弹簧振子的位移
(1)振子在某时刻的位移：从平衡位置指向振子在该时刻位置的有向线段．若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移为负．
(2)振子在某段时间内的位移：由初位置指向末位置的有向线段．
(3)振子在某时刻的位移与在某段时间内的位移的区别：振子在某时刻的位移方向总是背离平衡位置．如图所示，振子在AA′之间振动，O为平衡位置，t1时刻振子在M点的位移为xM，t2时刻振子在N点的位移为xN，而振子在Δt＝t2－t1时间内的位移为xMN，方向如上图所示．
通常说的振子的位移是指某时刻的位移，即振子相对平衡位置的位移.因此在研究振动时，字母x具有双重含义：它既表示小球的位置?坐标?，又表示振子在某时刻的位移.
2．弹簧振子的位移—时间图像(x－t图像)
(1)图像的建立：用横坐标表示物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中相对平衡位置的位移x，建立坐标系，如右图所示．
(2)图像的应用
①任一时刻质点离开平衡位置的位移：某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在的位置的坐标来表示．
如图所示，在t1时刻振子的位移为x1；t4时刻振子的位移为－x4.
振子在两端点的位移最大(如上图中的t2、t5时刻)，在平衡位置的位移为零(如上图中的t3时刻)，此时位移即将改变方向．
②速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上，速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．
如图所示，在x坐标轴上，设O点为平衡位置，A、B为位移最大处，则在O点速度最大，在A、B两点速度为零．
速度和位移是彼此独立的两个物理量，如振动物体通过同一个位置，其位移的方向是一定的，而其速度方向却有两种可能?两个“端点”除外?：指向或背离平衡位置，且振子在两“端点”速度改变方向
【例2】 某一弹簧振子的振动图像如下图所示，则由图像分析在3t0和6t0两时刻振子运动的速度方向．
【审题指导】
1．如何利用弹簧振子的位移—时间图像分析振子的位移？
2．根据振子位移变化情况能分析出振子的速度方向吗？
3．位移—时间图像的斜率表示什么物理意义？
4．能根据位移—时间图像的斜率分析振子的速度方向吗？
【解析】 解法一：从图像上可以看出从3t0到6t0这段时间内振子的位移沿x轴正向越来越大，因此振子是从平衡位置开始沿x轴正方向运动，速度方向是沿x轴正方向，3t0时刻速度方向沿x轴正方向.6t0时刻振子到达最大位移处速度变为0.
解法二：位移—时间图像的斜率表示运动物体的速度，故只要找出3t0和6t0时刻的斜率就可判断振子速度的方向.3t0时刻斜率是正的，故3t0时刻振子速度方向沿x轴正方向.6t0时刻斜率是零，故6t0时刻振子速度为0.
(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图像如图乙所示．则下列说法中正确的是( AC )
A．t2时刻振子在A点
B．t2时刻振子在B点
C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大
D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小
解析：振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为起点，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误．
考点三 简谐运动及其图像
1.简谐运动
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫作简谐运动．
(1)简谐运动是最基本的振动．
(2)简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，应为变力作用下的非匀变速运动．
2．简谐运动的图像
图像的意义：如右图所示，简谐运动的x－t图像描述的是做简谐运动的质点的位移随时间的变化规律，反映了振动质点各个时刻偏离平衡位置的位移．
(1)图像反映的是做简谐运动的质点的位移随时间的变化规律，它不是质点的运动轨迹，简谐运动的图像和运动轨迹是完全不同的两个概念．例如，弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为直线，而它的振动图像却是正弦曲线．
(2)从图像能看出质点的位移随时间的变化是不均匀的，这是振子只受弹簧弹力的作用做变加速运动的体现．
3．简谐运动的特点
简谐运动具有对称性：如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有：
(1)时间的对称
tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tCA＝tAC.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C、D两点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
(3)位移的对称
物体经过关于O点对称的两点，位移大小相等，方向相反，xC＝－xD，xA＝－xB.
?1?位移大小的变化规律：向着平衡位置运动时，位移越来越小，平衡位置处等于零，两端点处最大.
?2?速度?动能?大小的变化规律：向着平衡位置运动，速度?动能?越来越大，平衡位置处最大，最大位移处为零.
【例3】 (多选)如图，是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是( )
A．该图像的坐标原点建立在振子的平衡位置
B．从图像可以看出振子在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示振子在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图像中振子的疏密显示出相同时间内振子位置变化的快慢不同
【审题指导】
由图可直观地获得以下信息：①O时刻振子的位置；②振子的振动方向；③底片的运动方向(t轴负方向)；④振子速度的变化情况等．
【解析】 由图像可知，O时刻振子位移为0，故位于平衡位置，选项A正确；振子只在x轴上振动，选项B错误，C正确；图像中两相邻振子之间的时间间隔相同，疏处说明其位置变化快，密处说明其位置变化慢，故选项D正确．
本题易误选B，初学者由于对图像意义理解不到位，常误认为振子沿t轴方向移动．
【答案】 ACD
如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动．以平衡位置O为原点，建立Ox轴．向右为x轴正方向．若振子位于N点时开始计时，则其振动图像为( A )
解析：振子在N点时开始计时，其位移为正向最大，并按正弦规律变化，故选项A正确．
学科素养提升
辨析简谐运动的图像与质点的运动轨迹
振动质点的运动轨迹是往复运动的一段线段，而简谐运动的图像是正弦或余弦曲线．简谐运动的位移—时间图像反映的是质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律，简谐运动的图像并不是质点的运动轨迹，运动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度．
在x－t图像上，质点在某时刻的位移，即为此时刻对应的纵坐标．质点在某段时间内的路程(轨迹的长度)，需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算．
【典例】 (多选)如图所示为获取弹簧振子的位移—时间图像的一种方法，改变纸带运动的速度，下列说法正确的是( )
A．如果纸带不动，作出的振动图像仍然是正弦函数曲线
B．如果纸带不动，作出的振动图像是一条线段
C．图示时刻，振子正经过平衡位置向右运动
D．若纸带运动的速度不恒定，则纸带上描出的仍然是简谐运动的图像
【解析】 当纸带不动时，描出的只是振子在平衡位置两侧往复运动的轨迹，即一条线段，选项A错误，B正确；由振动图像可以看出，图示时刻振子正由平衡位置向右运动，选项C正确；只有当纸带匀速运动时，运动时间才与纸带运动的位移成正比，振动图像才是正弦或余弦函数曲线，而简谐运动的图像一定是正弦或余弦函数曲线，故选项D错误．
【答案】 BC
简谐运动图像表示振子对平衡位置的位移随时间变化的规律，横坐标表示时间，纵坐标表示振动物体对平衡位置的位移，振动图像是一条正(余)弦函数图像，是同一物体在不同时刻相对平衡位置的位移，而不是振动物体运动的轨迹．处理与图像有关的问题时，我们首先要从图像中获得有用信息，弄清这些信息之间有什么联系和区别，进而解题.
1．下列运动属于机械振动的是( D )
①乒乓球在地面上的自由来回上下运动
②弹簧振子在竖直方向的上下运动
③秋千在空中的来回运动
④竖立于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动
A．①②
B．②③
C．③④
D．①②③④
解析：机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动．故D项正确．
2．关于简谐运动，下列说法正确的是( D )
A．简谐运动一定是水平方向的运动
B．所有的振动都可以看做是简谐运动
C．物体做简谐运动时的轨迹线一定是正弦曲线
D．只要振动图像是正弦曲线，物体一定做简谐运动
解析：物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错；简谐运动是最简单的振动，B错；物体做简谐运动时的轨迹线并不一定是正弦曲线，C错；若物体振动的图像是正弦曲线，则其一定做简谐运动，D对．
3．如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同．那么，下列说法正确的是( C )
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
解析：由题意和简谐运动的对称性特点知：M、N两点关于平衡位置O对称．因位移、速度、加速度和力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等，方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反，由此可知，A、B选项错误；振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确；振子由M到O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动．振子由O到N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．由以上分析可知，该题的正确选项为C.
4．如图所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法中正确的是( B )
A．因为振动图像可由实验直接得到，所以振动图像就是振子实际运动的轨迹
B．振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹
C．振子在B位置的位移就是曲线BC的长度
D．振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向
解析：振动图像表示振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹，B对，A、C错；由于图像不是质点的运动轨迹，因此该点的切线方向并不表示速度的方向，D错．
5．(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知，t＝2.5
s时，质点的( BC )
A．速度沿负方向
B．速度沿正方向
C．质点正向平衡位置移动
D．质点正远离平衡位置向最大位移处运动
解析：根据振动的x－t图像可知，t＝2.5
s时位移x<0，且正在减小，对应振动情景如图所示．振子从负位移处向平衡位置运动，所以速度沿正方向且正在增大，位移沿负方向且正在减小，故选项B、C正确，选项A、D错误．第二章 机械振动
课时作业6 简谐运动
1．(多选)下列运动中属于机械振动的是( AB )
A．小鸟飞走后树枝的运动
B．爆炸声引起窗子上玻璃的运动
C．匀速圆周运动
D．竖直向上抛出的物体的运动
解析：物体在平衡位置附近所做的往复运动是机械振动，A、B正确；圆周运动和竖直上抛运动不是机械振动．
2．简谐运动属于下列哪一种运动( C )
A．匀变速运动 B．匀速直线运动
C．非匀变速运动
D．匀加速直线运动
解析：简谐运动的速度是变化的，B错．加速度a也是变化的，A、D错，C对．
3．装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图所示，将管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则下列描述试管振动的图像中可能正确的是( D )
解析：试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起试管的距离，就是其偏离平衡位置的位移，即正向最大位移，故正确答案为D.
4．如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，下列说法中正确的是( D )
A．钢球的最低处为平衡位置
B．钢球的最高处为平衡位置
C．钢球速度为0时的位置为平衡位置
D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
解析：钢球原来静止时所处的位置为平衡位置，只有D项正确．
5．(多选)如图，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，B、C间距离是4
cm，振子由B第一次运动到C所用时间为1
s，则( BD )
A．振动周期是1
s
B．经过一次全振动的路程是8
cm
C．从O→C→O是一次全振动
D．振子的最大位移大小为2
cm
解析：振子从B→O→C振动半个周期，则振动周期为T＝2
s，振子在B、C处时，位移最大，大小为2
cm，故A错误，D正确；经过一次全振动，通过的路程s＝4A＝8
cm，故B正确；从O→C→O→B→O是一次全振动，故C错误．
6．一质点做简谐运动，则下列说法中正确的是( D )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．质点通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．质点每次通过平衡位置时，加速度不一定相同，速度也一定相同
D．质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
解析：若位移为负值，加速度一定为正值，而速度有两种可能的方向，所以速度不一定为正值，故A错误；质点通过平衡位置时，速度最大，加速度为零，故B错误；质点每次通过同一位置时，位移相同，加速度一定相同，而速度不一定相同，故C错误，D正确．
7．(多选)如图所示为某质点做简谐运动的图像，若t＝0时，质点正经过O点向b运动，则下列说法正确的是( BC )
A．质点在0.7
s时，正在远离平衡位置运动
B．质点在1.5
s时的位移最大
C．1.2～1.4
s，质点的位移在增大
D．1.6～1.8
s，质点的位移在增大
解析：由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7
s时的位移方向向右，且正在向平衡位置运动，所以A项错误；质点在1.5
s时的位移达到最大，故B项正确；质点在1.2～1.4
s过程中，正在远离平衡位置，所以其位移在增加，故C项正确；1.6～1.8
s时间内，质点正向平衡位置运动，所以其位移正在减小，故D项错误．
8．如图所示的三个图线分别是用不同的传感器测出的不同物体的振动图线．从三个图线可知，这三个物体振动的共同特点是具有周期性，三个物体中，最简单的振动是弹簧振子的振动．图中心脏跳动的图线是某人的心电图，方格纸每个小方格的宽度是0.5
cm，心电图记录仪拖动方格纸的速度是1.8
cm/s，则此人的心率是67.5次/分．
解析：由图可看出，三个物体振动的共同特点是都具有周期性，弹簧振子的图线是简谐运动的图线，是最简单的振动；心脏跳动的频率为1.8×60/(0.5×3.2)次/分＝67.5次/分．
1．如图所示，一弹性小球被水平抛出，在两个互相竖直平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动( D )
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
解析：机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也肯定不是简谐运动．
2．做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它的速度方向，下列说法正确的是( D )
A．总是与位移方向相反
B．总是与位移方向相同
C．远离平衡位置时与位移方向相反
D．向平衡位置运动时与位移方向相反
解析：做简谐振动的振子，速度方向与位移方向存在两种可能，因为位移的方向总是背离平衡位置，所以当振子靠近平衡位置时，二者方向相反，远离平衡位置时，二者方向相同．
3．手机是常用的通信工具，当来电话时，它可以用振动来提示人们．振动原理很简单：是一个微型电动机带动转轴上的叶片转动．当叶片转动后，电动机就跟着振动起来．其中叶片的形状你认为是下图中的( A )
解析：由图，只有A是不平衡的，电动机带动它高速转动时，才会产生振动．故A正确．
4．一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如图所示，从某时刻起开始计时t＝0，经过周期，振子具有正向最大速度，则如图所示的图像中，哪一个能正确反映振子的振动情况( C )
解析：因为过周期，振子具有正方向的最大速度，可知t＝0时刻振子位于负的最大位移处，向正方向运动，故选项C正确，选项A、B、D错误．
5．(多选)物体做简谐运动的过程中，有P、Q两点关于平衡位置对称，则物体( BD )
A．在两点处的位移相等
B．在两点处的速度可能相同
C．在两点处的加速度可能相同
D．在两点处的动能相同
解析：位移是矢量，不仅有大小，而且有方向．加速度一定与位移反向，所以在P、Q两点位移、加速度一定不相同．而速度有时相同，有时相反，所以B、D选项正确．
6．(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( AB )
A．物体在0.2
s时刻与0.4
s时刻的速度相同
B．物体在0.6
s时刻与0.4
s时刻的动能相同
C．0.7～0.9
s时间内物体的加速度在减小
D．0.9～1.1
s时间内物体的势能在增加
解析：由图可知，物体在0.2
s与0.4
s时刻都向正x方向运动，速度大小相等，A正确；物体在0.6
s与0.4
s时刻速度大小相等，动能相同，B正确；物体在0.7～0.9
s内加速度在增大，C错误；物体在0.9～1.1
s内物体位移减小，靠近平衡位置，势能在减小，D错误．
7．(多选)一个弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，其中有两个时刻弹簧对振子的弹力大小相等，但方向相反，那么这两个时刻弹簧振子的( BC )
A．速度一定大小相等，方向相反
B．加速度一定大小相等，方向相反
C．位移一定大小相等，方向相反
D．以上三项都不对
解析：由弹簧振子的运动规律知，当弹簧弹力大小相等、方向相反时，这两时刻振子的位移大小相等、方向相反，加速度大小相等、方向相反，B、C正确；由于振子的运动方向在两时刻可能相同，也可能相反，故A、D错误．
8．如图所示是某质点做简谐运动的图像，根据图像中的信息，回答下列问题：
(1)质点离开平衡位置的最大距离有多大？
(2)在前4
s内，质点在哪些时刻的位移最大？
(3)在1.6
s和2.5
s两个时刻，质点向哪个方向运动？
答案：(1)10
cm (2)1
s末、3
s末 (3)均向x轴负方向运动
解析：(1)质点离开平衡位置的最大距离是10
cm.
(2)质点的最大位移在前4
s发生在1
s末和3
s末，位移大小为10
cm.
(3)在1.6
s至2
s内质点的位移减小，因此是向平衡位置运动．在2.5
s至3
s内质点的位移增大，因此是背离平衡位置运动，也可以说成是两个时刻质点均在向x轴负方向运动．
