3.2.3 平面直角坐标系（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学上册第二章位置与坐标
3.2
平面直角坐标系
第三课时
平面直角坐标系(3)
【知识清单】
1、建立平面直角坐标系方法：
根据已知条件建立直角坐标系的要求是尽量使计算方便，一般没有固定的要求，但有以下几条常用的方法：(1)以某已知点为原点，使它的坐标为(0，0)；(2)以图形中某线段所在的直线为x轴(y轴)；以已知线段中点为原点；(4)以两直线的交点为原点；(5)用图形的对称轴为坐标轴.
2、平行于坐标轴直线上的点的特点：
(1)直线平行于x轴，则直线上的所有点纵坐标相同；
(2)直线平行于y轴，则直线上的所有点横坐标相同.
【经典例题】
【例题】1、如图，长方形ABCD的长与宽分别是5，3，建立适当的直角坐标系，写出各顶点的
坐标．
【考点】平面直角坐标系的建立．
【分析】本题有多种建立直角坐标系的方法，建立坐标系时，
要充分运用图形的角、边特点，适当建立平面直角
坐标系，便于表达各点的坐标的方法是最优的方法．
【解答】如图所示：以长方形两邻边所在的直线为坐标轴，
建立坐标系.
则各点的坐标为：
A点的坐标为(0，3)，
B点的坐标为(0，0)，
C点的坐标为(5，0)，
D点的坐标为(5，3).
【点评】本题考查了平面直角坐标系建立，坐标系建立的不同，各点的坐标也不一样，本题属于开放型题型，答案不唯一．
例题2、如图，△ABC的顶点都在网格点上，每一个小正方形的边长均为1个长度单位，请你建立一个适当的直角坐标系，分别写出点A
的坐标为______，B的坐标为______，
C的坐标为______，△ABC的面积为______平方单位．
【考点】平面直角坐标系的建立．三角形的面积；坐标与图形性质．
【分析】①本题有多种建立直角坐标系的方法，根据已知条件建立
直角坐标系，使图形更直观计算更方便即可；
②根据图形，则△ABC的面积为矩形的面积减去3个
直角三角形的面积；也可以判定出△ABC是等腰直角三角形，求得面积即可.
【解答】如图所示：以点C为原点，建立坐标系.
则
点A的坐标是(2，4)，点B的坐标是(4，2)，
点C的坐标是(0，0)；
方法1：S△ABC
=S长方形EFGB
S△BECS△CAF
S△BAG
=EB·EFEB·ECCF·FAAG·BG
=4×6×4×2×4×2×6×2=10．
方法2：在Rt△EBC中，BC=，
同理可得AC=，AB=，
∵，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形.
S△ABC
=CB·CA=××=10.
【点评】此类题要能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．
【夯实基础】
1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(2，2)，(2，3)，(4，2)，
则第四个顶点的坐标为(??)
A．(4，4)???
?B．(4，3)
??
??C．(4，3)
??????D．(3，4)
2、若以B点为原点，建立直角坐标系，A点坐标为(5，6)，则以点A为原点，建立直角坐
标系，B点坐标为(　　)
A．(6，5)
B．(5，6)
C．(5，6)
D．(6，5)
3、如图，已知棋子“卒”的坐标为(2，3)，棋子“帅”的坐标为(1，7)，则棋子“相”的坐标为(?
??
)
A．(4，
4)
B．(4，3)
C．(4，
4)
D．(4，3)
4、已知a(ab，a+b)所在(???
??
)
A．第一象限??
B．第二象限??
C．第三象限??
?D．第四象限
5、若点P
(52a，5a9)到两坐标轴的距离相等，则102a的平方根
.
6、(1)已知点A
(3m+2，2)和点B
(2m3，5m12)，如果直线AB∥x轴，那么m的值
为
，线段AB的长度为
.
(2)点(2，3)与下列各点相连所得的直线与坐标轴平行的是
(填正确的序号).
①(2，3)；②(2，5)；③(7，3)；④(2，0)；⑤(2，0)；⑥(0，3).
7、如图，△AOB为对边三角形，点A，B的坐标分别为(3，a)，(b，0)，则a=
，
b=
，
△AOB的面积S△AOB=
.
8、如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，请你分别以A、B、C以及BC边的中点为原点，建立平面直角坐标系，写出A、B、C的坐标.
9、在如图所示的直角坐标系中，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O
(0，0)，A
(1，2)，
B
(4，5)，C
(7，3).求：四边形OABC的面积.
【提优特训】
10、如图，若点E的坐标为(2，1)，点F的坐标为(2，3)，则下列表述正确的是(
)
A．A为原点??
B．B为原点??
C．C为原点??
?D．D为原点
11、如图，方格纸上有B
(2，1)，C
(8，1)两点(每个小方格的边长为1个单位长度)，如果
以BC为底边的等腰三角形ABC的面积为12平方单位，则A点的坐标为
(　　)
A．(5，4)
B．(5，3)
C．(5，4)或(5，3)
D．(5，3)或(5，4)
12、若a为任意实数，则点P(6+2a，3a12)一定不在
(
)
A．第一象限??
B．第二象限??
C．第三象限??
?D．第四象限
13、如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有(　　)
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
14、已知点A(2，0)，B(0，4)，点P在y轴上，且△PAB的面积为10，则点P的坐标
为
.
15、如图，已知点A的坐标为(2，2)，在x轴上找一点P，使△POA是等腰三角形，则点P的坐
标为
.
16、如图，在直角坐标系中，设一动点M自P0
(1，0)处向上运动1个单位至P1(1，1)，然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去，设Pn
(xn，yn)，n=1，2，3，…则x1+x2+…+x2019+x2020=　
　
．
17、在平面直角坐标系中，设坐标轴的单位长度为1cm，整数点P从原点O出发，速度为1cm/s，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题：
(1)填表：
P从O点出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1秒
(0，1)、(1，0)
2
2秒
3秒
4秒
(2)当P点从点O出发2020秒，可得到的整数点的个数是______个．
(3)当P点从点O出发______秒时，可得到整数点(20，6)
18、平面直角坐标系中有两点M
(a，b)，N
(c，d)，规定(a，b)(c，d)
=
(a+c，b+d)，则称点
Q(a+c，b+d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A
(5，3)，
B(2，4)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，求点C的坐标．
【中考链接】
19、(2019?湖北黄石)
如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点，将正方形绕点C逆时针方向旋转90°后，点B的对应点的坐标是(
)
A．(1，2)??????
?
B．(1，4)???
?
C．(3，2)????
?
D．(1，0)
20、(2019?甘肃庆阳)
中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0，2)，“马”位于点(4，2)，则“兵”位于点　???　．
参考答案
1、B
2、C
3、A
4、C
5、±2或
6、(1)2，7
(
2)②③⑤⑥
7、
，6，
10、C
11、C
12、B
13、D
14、(0，6)
或(0，14)
15、（2，0）或（，0）或（4，0）
或（，0）
16、1010
19、C
20、(1，1)
8、如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，请你分别以A、B、C以及BC边的中点为原点，建立平面直角坐标系，写出A、B、C的坐标.
解：过点A作AD⊥BC，
根据等腰三角形底边上的高、中线，
顶角的平分线三线合一，
可得BD=CD=6，
在Rt△ABD中，AD=
=.
如图(1)以点A为原点，建立直角坐标系，
则有：A的坐标为(0，0)，
B的坐标为(6，
8)，
C的坐标为(6，
8)；
如图(2)以点B为原点，建立直角坐标系，
则有：A的坐标为(6，8)，
B的坐标为(0，0)，
C的坐标为(12，0)；
如图(3)以点C为原点，建立直角坐标系，
则有：A的坐标为(6，8)，
B的坐标为(12，0)，
C的坐标为(0，0)；
如图(4)BC边的中点D为原点，
建立直角坐标系，
则有：A的坐标为(0，8)，
B的坐标为(6，0)，
C的坐标为(6，0).
17、在平面直角坐标系中，设坐标轴的单位长度为1cm，整数点P从原点O出发，速度为1cm/s，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题：
(1)填表：
P从O点出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1秒
(0，1)、(1，0)
2
2秒
3秒
4秒
(2)当P点从点O出发2020秒，可得到的整数点的个数是______个．
(3)当P点从点O出发______秒时，可得到整数点(20，6)
解：(1)以1秒时达到的整数点为基准，向上或向右移动一格得到2秒时的可能的整数点；再以2秒时得到的整数点为基准，向上或向右移动一格，得到3秒时可能得到的整数点，再以3秒时得到的整数点为基准，向上或向右移动一格，得到4秒时可能得到的整数点．
如下表：
P从O点出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1秒
(0，1)、(1，0)
2
2秒
(0，2)，(2，0)，(1，1)
3
3秒
(0，3)，(3，0)，(2，1)，(1，2)
4
4秒
(0，4)，(4，0)，(3，1)，(1，3)，(2，2)
5
(2)1秒时，达到2个整数点；2秒时，达到3个整数点；3秒时，达到4个整数点，4秒时，达到5个整数点，那么2020秒时，应达到2021个整数点；
(3)横坐标为20，需要从原点开始沿x轴向右移动20秒，纵坐标为6，需再向上移动6秒，所以需要的时间为26秒．
18、平面直角坐标系中有两点M
(a，b)，N
(c，d)，规定(a，b)(c，d)
=
(a+c，b+d)，则称点
Q(a+c，b+d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A
(5，3)，
B(2，4)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，求点C的坐标．
解：∵以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，
①当C为A，B的“和点”时，C点的坐标为(52，3＋4)，即C(3，7)；
②当B为A，C的“和点”时，设C点的坐标为(x1，y1)，
则2=5+x1，4=3+y1，
解得x1=7，y1=1，
则解得即C
(7，1)；
③当A为B，C的“和点”时，设C点的坐标为(x2，y2)，
则5=2+x2，3=4+y2，
解得x2=7，y2=1，
解得即C
(7，1)．
∴点C的坐标为(3，7)或(7，1)或(7，1)．
第20题图
第10题图
例题2图
第7题图
第19题图
第16题图
第3题图
例题1图
例题2图
第11题图
第13题图
第8题图(3)
第8题图(4)
第8题图(1)
第15题图
第8题图(2)
例题1图
第9题图
第8题图
第8题图
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