专题09 立体几何 教案（文科专用）（解析版）

专题09
立体几何
1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．
2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）
A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【答案】B
【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线BM，EN
是三角形EBD的中线，是相交直线.过作于，连接，平面平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，，，故选B．
【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
3．【2019年高考江苏卷】如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E?BCD的体积是
▲
.
【答案】10
【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.
【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
【答案】（1）见详解；（2）18.
【解析】（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，
故．又，所以BE⊥平面．
（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以，故AE=AB=3，.
作，垂足为F，则EF⊥平面，且．
所以，四棱锥的体积．
【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
一、考向分析：
二、考向讲解
考查内容
解
题
技
巧
几何体表面积与体积
1、空间几何体表面积的求法（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量。（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理。（3）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用。2．求空间几何体体积的常用方法：(1)公式法(适用于规则几何体)。(2)割补法(适用于不规则的几何体，有时对不易求体积的规则几何体也用此法)。(3)等体积转化法(适用于求三棱锥的体积)。3．求空间几何体的体积最值的常用方法：(1)几何法：由图形的特殊位置确定最值，如垂直。(2)基本不等式法：根据条件建立两个变量的和或积为定值，利用基本不等式求体积的最值。(3)函数法：通过建立相关函数式，将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解，此法应用最为广泛。
三视图
1、根据三视图还原几何体（1）对柱、锥、台、球的三视图要熟悉。（2）明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图。（3）根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据。提醒：对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同。2、由三视图还原几何体的三个步骤：第一步，先画长(正)方体，在长(正)方体中画出俯视图；第二步，在三个视图中找直角；第三步，判断直角位置，并向上(或向下)做垂线，找到顶点，连线即可。
平行问题
1、证明线线平行的常用方法(1)利用公理4:找第三线,只需证明两线都与第三线平行即可.(2)利用三角形的中位线的性质.(3)构建平行四边形利用其对边平行.(4)利用面面平行的性质定理.2．判定线面平行的四种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)。(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)。(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)。(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)。3．在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行。4、证明面面平行的方法（1）面面平行的定义。（2）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行。（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行。（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化。5．三种平行关系的转化：线线平行线面平行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向。
垂直问题
1、证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．2、证明面面垂直的主要方法①利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等．②用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．3、必记结论：(1)直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b?α?a⊥b.(2)若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．4、垂直关系综合题的类型及解法（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化。（2）垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用。（3）垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积。
体积问题
求几何体体积的常见类型及解题策略(1)以三视图为载体的几何体体积问题:将三视图还原为几何体,利用空间几何体的体积公式求解.(2)直观图中几何体的体积问题:①锥体、柱体的体积问题:根据题设条件求出所给几何体的底面积和高,直接套用公式求解;②球的体积问题:直接利用球的体积公式求解,在实际问题中要根据题意作出图形,构造直角三角形确定球的半径;③不规则几何体的体积问题:常用分割或补形的思想,若几何体的底不规则,也需采用同样的方法,将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形,易于求解.
探索性问题
解决探索性问题的方法(1)对命题条件的探索的三种途径途径一:先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;途径二:先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.途径三:将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.(2)对命题结论的探索方法从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.
球体
1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)。(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝(a为正方体的棱长)。(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)。2．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)。(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)。
考查空间几何体的表面积与体积：
【例1】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】截面面积为，高，底面半径，表面积.
【例2】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接和，∵与平面所成角为，∴，∴，∴，∴，∴选C.
考查三视图：
【例1】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，，，，由勾股定理可知，，，，，则在四棱锥中，直角三角形有，，共三个，故选C．
【例2】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，
从到的路径中，最短路径的长度为（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】三视图还原几何体为一圆柱，如图，
将侧面展开，最短路径为连线的距离，
所以，所以选B.
考查平行、垂直问题：
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：平面．
【解析】（1），且为的中点，，
底面为矩形，，．
（2）底面为矩形，，平面平面，平面，．
又，平面，平面平面．
（3）如图，取中点，连接，．
，分别为和的中点，，且，
四边形为矩形，且为的中点，，，
，且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，平面．
【例2】如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，理由见解析.
【解析】（1）因为平面ABCD，所以．又因为底面ABCD为菱形，所以．
所以平面PAC．
（2）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．
所以AB⊥AE．所以AE⊥平面PAB．所以平面PAB⊥平面PAE．
（3）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的
中点，连结CF，FG，EG．则FG∥AB，且FG=AB．
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=AB．
所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG．
因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．
【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
考查空间线线角、线面角：
【例】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）由平面⊥平面，平面平面，，
可得平面，故．
（2）取棱的中点，连接，．又因为为棱的中点，故．
所以（或其补角）为异面直线与所成的角．
在中，，故，因为平面，
故．在中，，故．
在等腰三角形中，，可得．
所以，异面直线与所成角的余弦值为．
（3）连接，因为为等边三角形，为边的中点，故，．又因为平面⊥平面，而平面，故平面．
所以，为直线与平面所成的角．
在中，．在中，．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
1.如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(Ⅰ)求证：EM∥平面ABC；
(Ⅱ)求出该几何体的体积．
【解析】(Ⅰ)∵M为DB的中点，取BC中点G，连接EM、MG、AG，
则MG∥DC，且
∴MG∥AE且MG
=
AE
故四边形AGME为平行四边形，∴EM∥AG
又AG?平面ABC，EM平面ABC，∴EM∥平面ABC．
(Ⅱ)由已知，AE
=
2，DC
=
4，AB⊥AC，且AB
=
AC
=
2∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB
又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACDE∴AB是四棱锥B－ACDE的高，
梯形ACDE的面积
∴，即所求几何体的体积为4．
2．已知四棱锥中，底面，，，，.
（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）由，，知，则，
由平面，平面，得，
由，，平面，
得平面，
则点到平面的距离为一个定值，且.
（2）设直线与平面所成的角为，
由，可知，
又平面，平面，
故，
又，
则平面，
则点到平面的距离为，
由知点与点到平面的距离相等，
则点到平面的距离为，
由知，
故.
考查球体：
【例1】在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
【答案】
【解析】如图，在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接PF，CF，OP.由，得，
是以为斜边的等腰角三角形，,
又平面平面，平面，
，，则为棱锥的
外接球球心，外接球半径，该三棱锥外接球的表面积为，
【名师点睛】本题主要考查四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题.
要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径.求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直，则用（为三条棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变．归纳起来常见的命题角度有：
四面体的外接球问题
【例】正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为(　　)
A．64π
B．32π
C．16π
D．8π
【答案】A
【解析】如图，作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，PM＝6，连接AM，AO，则OP＝OA＝R(R为外接球半径)，在Rt△OAM中，OM＝6－R，OA＝R，又AB＝6，且△ABC为等边三角形，故AM＝＝2，则R2－(6－R)2＝(2)2，则R＝4，所以球的表面积S＝4πR2＝64π.
四棱锥的外接球问题
【例】已知四棱锥P?ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB＝2AD＝4，则球O的表面积为(　　)
A.π
B．32π
C．64π
D.π
【答案】D
【解析】依题意，AB⊥平面PAD且△PAD是正三角形，过P点作AB的平行线，交球面于点E，连接BE，CE，则可得到正三棱柱APD?BEC.因为△PAD是正三角形，且AD＝2，所以△PAD的外接圆半径是，球O的半径R＝＝，球O的表面积S＝4πR2＝，故选D.
三棱柱的外接球问题
【例】已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．
【答案】3
【解析】设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝，又易得AM＝，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为×()2×2＝3.
四面体的内切球问题
【例】若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.
【答案】
【解析】设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.
求解与球有关的切、接问题的关键点：
解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．
立体几何
几何体表面积与体积
体积问题
空间距离
垂直问题
平行问题
球
三视图
2
4
A
B
C
D
E
M
直观图
侧视图
俯视图