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人教版数学科目八年级上
11.2.2三角形的外角
第一课时教学设计
课题
11.2.2三角形的外角
单元
十一单元
学科
数学
年级
八年级上
学习目标
知识目标：1.明白三角形外角的概念;2.掌握三角形外角的性质技能目标：能够运用三角形外角性质进行角度的计算情感目标：结合生活实际，在实践中掌握数学，体验数学与生活实际的紧密联系
重点
1.明白三角形外角的概念;2.掌握三角形外角的性质
难点
运用三角形外角性质进行角度的计算
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习
直角三角形两角和为90度一个三角形，如果两角和为90度，则这个三角形是直角三角形
回顾知识
回顾知识，帮助学生做到温故知新
导入新课
三角形的角有哪些类型？角分为锐角，直角和钝角这些角有什么特点？都在三角形内部对于如图所示的角，在三角形外部，这样的角叫什么？
回顾知识，回答问题
采用复习导入，通过回顾知识，引出本节课的内容
讲授新课
教学过程如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.情景：如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°.∠ACD是△ABC的一个外角。能由∠A，∠B求出∠ACD吗？解：发现：∠ACD=∠A+∠B！三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.拓展性质（1）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角（2）三角形的外角和等于360°你能证明第二个结论吗？证明（2），如图所示结合三角形内角和为180度可知，三个外角之和相加等于360°课本练习如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=
∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）由∠1+∠2十∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠
ACD=2180°=
360°.课堂练习1.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE//BC，若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（
）A.
24°
B.59°
C.60°
D.69°答案：B2.一副三角板如图摆放，且AB//CD，则∠1的度数为________故答案为：105°3.如图，∠1=∠2=65°，∠3=35°，则下列结论错误的是（
）A.
AB//CD
B.∠B=
30°
C.∠C+∠2=∠EFC
D.
CG>FG答案：C4.如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=35，∠DAE=60°，求∠ACD的度数.解：因为AD是∠CAE的平分线，∠DAE=60°，所以∠CAE=2∠DAE=260°=120°.所以∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°
=60°因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠BAC+∠B=60°
+35°
=95°.拓展练习1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，CD是AB边上的高，CD和AE交于点F。判断∠CFE和∠CEF的关系，并说明理由。【答案】∠CFE和∠CEF相等，理由因为∠ACB=90°，CD是高，所以∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°所以∠ACD=∠B又因为AE是角平分线。所以∠BAE=∠CAF因为∠CFE是ACF的外角，∠CEF是ABE的外角，所以∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠B+∠BAE，所以∠CFE=∠CEF.拓展练习1.如图，BE是△ABC的角平分线，DE||BC，交AB于点D，∠A=126°，∠DEB=14°，求∠BEC的度数.解：因为BE是∠CBA的平分线，所以∠CBE=∠EBD，因为DE||BC，所以∠DEB=∠CBE，所以∠DEB=∠EBD=14°所以∠BEC=∠A+∠CBA=140°.2.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE||BC，交AB于E，∠A=55°，∠BDC=95°，求△BDE各内角的度数.解因为BD是∠ABC的角平分线，综上3.如图所示，已知在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠B，∠2=∠C，∠BAC=78°，求∠DAC的度数.解：∠2=∠1+∠B，∠1=∠B所以∠2=2∠1因为∠2=∠C所以∠C=2∠1所以∠BAC=78°=180°-4∠1+∠1.解得∠1=34°所以∠DAC=78°-∠1=44°.4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，CD是AB边上的高，CD和AE交于点F。判断∠CFE和∠CEF的关系，并说明理由。【答案】∠CFE和∠CEF相等，理由因为∠ACB=90°，CD是高，所以∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°所以∠ACD=∠B又因为AE是角平分线。所以∠BAE=∠CAF因为∠CFE是ACF的外角，∠CEF是ABE的外角，所以∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠B+∠BAE，所以∠CFE=∠CEF.
认真听讲，对重难点部分做好笔记结合基础知识，完成各个小题在原有基础上，完成难度更大的题目，可分组讨论
讲解关于外角等基础知识和性质，为后续相关习题计算做好铺垫理论联系实际，帮助学生在实践中掌握知识设置拓展练习，帮助学生进一步提升能力
课堂小结
三角形外角的定义三角形外角性质：外角等于与它不相邻的两个内角的和
学生根据标题，回顾本节课的知识
一节课过后，容易对本节课知识点以往，总结一下，加深印象
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（共
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2020
人教版
八年级上
11.2.2三角形的外角
直角三角形两角和为90度
一个三角形，如果两角和为90度，则这个三角形是直角三角形
教学目标
复习
1.明白三角形外角的概念
2.掌握三角形外角的性质
3.能够运用三角形外角性质进行角度的计算
教学目标
学习目标
教学目标
导入新课
三角形的角有哪些类型？
角分为锐角，直角和钝角
这些角有什么特点？
都在三角形内部
对于如图所示的角，在三角形外部，这样的角叫什么？
教学目标
教学过程
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
教学目标
教学过程
情景：如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°.∠ACD是△ABC的一个外角。能由∠A，∠B求出∠ACD吗？
解：
∠ACD与∠A，∠B
有什么关系？
教学目标
教学过程
发现：∠ACD=∠A+∠B！
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
教学目标
教学过程
拓展性质
（1）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角
（2）三角形的外角和等于360°
你能证明第二个
结论吗？
教学目标
教学过程
证明（2），如图所示
结合三角形内角和为180度
可知，三个外角之和相加等于360°
E
F
教学目标
课本练习
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=
∠1+∠3，
∠ACD=∠1+∠2.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）由∠1+∠2十∠3=180°，得
∠BAE+∠CBF+∠
ACD=2
180°=
360°.
教学目标
课堂练习
1.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE//BC，若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（
）
A.
24°
B.59°
C.60°
D.69°
答案：B
教学目标
课堂练习
2.一副三角板如图摆放，且AB//CD，则∠1的度数为________
故答案为：105°
教学目标
课堂练习
3.如图，∠1=∠2=65°，∠3=35°，则下列结论错误的是（
）
A.
AB//CD
B.∠B=
30°
C.∠C+∠2=∠EFC
D.
CG>FG
答案：C
教学目标
课堂练习
4.如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=35，∠DAE=60°，求∠ACD的度数.
解：因为AD是∠CAE的平分线，∠DAE=60°，
所以∠CAE=2∠DAE=2
60°
=120°.
所以∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°
=60°
因为∠ACD是△ABC的一个外角，
所以∠ACD=∠BAC+∠B=60°
+35°
=95°.
教学目标
拓展练习
1.如图，BE是△ABC的角平分线，DE||BC，交AB于点D，∠A=126°，∠DEB=14°，求∠BEC的度数.
解：因为BE是∠CBA的平分线，所以∠CBE=∠EBD，
因为DE||BC，
所以∠DEB=∠CBE，
所以∠DEB=∠EBD=14°
所以∠BEC=∠A+∠CBA=140°.
教学目标
拓展练习
2.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE||BC，交AB于E，∠A=55°，∠BDC=95°，求△BDE各内角的度数.
解
因为BD是∠ABC的角平分线，
综上
教学目标
拓展练习
3.如图所示，已知在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠B，∠2=∠C，∠BAC=78°，求∠DAC的度数.
解：∠2=∠1+∠B，∠1=∠B
所以∠2=2∠1
因为∠2=∠C
所以∠C=2∠1
所以∠BAC=78°=180°-4∠1+∠1.
解得∠1=34°
所以∠DAC=78°-∠1=44°.
教学目标
拓展练习
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，CD是AB边上的高，CD和AE交于点F。判断∠CFE和∠CEF的关系，并说明理由。
教学目标
拓展练习
【答案】∠CFE和∠CEF相等，理由
因为∠ACB=90°，CD是高，
所以∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°
所以∠ACD=∠B
又因为AE是角平分线。所以∠BAE=∠CAF
因为∠CFE是ACF的外角，∠CEF是ABE的外角，
所以∠CFE=∠CAF+∠ACD
∠CEF=∠B+∠BAE，
所以∠CFE=∠CEF.
今天我们学习了哪些知识？
教学目标
课堂小结
三角形外角的定义
三角形外角性质：外角等于与它不相邻的两个内角的和
教学目标
作业布置
完成15页的练习题，17页11题
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11.2.2三角形的外角
一、单选题
1.如图，
是
的外角，若
，
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
2.一副三角尺按如图方式叠放，含30°角三角形尺的直角边AD在含45°角三角形尺的直角边AC上，则∠BFE的度数是（?
?）
A.?60°??????????????????????????????????????
?B.?70°????????????????????????????????????C.?75°??????????????????????????????????D.?80°
3.如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2=44°，则∠1的大小为(???
)
A.?14°????????????????????????
????????????B.?16°????????????????????????????????????C.?90°-α??????????????????????????????D.?α-44°
4.如图，直线a∥b，若∠1＝50°，∠3＝95°，则∠2的度数为（???
）
A.?30°???????????????????????????????????
????B.?40°?????????????????????????????????????C.?45°???????????????????????????????????D.?55°
5.一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（??
）
A.?15海里???????????????????????????????
B.?20海里???????????????????????????????C.?30海里?????????????????
??????D.?60海里
6.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个结论，你发现的结论是（??
）
A.?2∠A=∠1-∠2??????????
B.?3∠A=2（∠1-∠2）?????????????
C.?3∠A=2∠1-∠2????????????????
D.?∠A=∠1-∠2
二、填空题
7.如图，AB∥CD，∠B=160°，∠D=120°，则∠E=________
8.如图，
的一边
为平面镜，
，一束光线（与水平线
平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在
上的点E处，则
的度数是________度．
9.如图所示，边长为1正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则
的度数为________．
三、解答题
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，CD是AB边上的高，CD和AE交于点F。判断∠CFE和∠CEF的关系，
并说明理由。
11.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．
求证：AD∥BC．
12.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE//BC，交AB于E，∠A=55°，∠BDC=95°，求△BDE各内角的度数．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解析：解：∵
是
的外角，
∴
=∠B+∠A
∴∠A=
-∠B，
∴∠A=60°
故答案为：D
分析：根据三角形的外角的性质进行计算即可．
2.答案：
C
解析：解：∵∠BAC＝90°，∠DAE＝60°，
∴∠FAB＝90°﹣60°＝30°，
∵∠B＝45°，
∴∠EFB＝∠FAB+∠B＝30°+45°＝75°.
故答案为：C.
分析：利用三角形的外角的性质，求出∠FAB即可解决问题.
3.答案：
A
解析：解：如图：
??????????????????
∵AD∥BC，
???????????????????
∴∠3=∠2=44°，
???????????????????
∵∠3=∠1+30°，
???????????????????
∴∠1=14°.
???????
故答案为：A.
分析：根据平行线的性质得∠3=∠2=44°，由三角形外角性质得∠3=∠1+30°，即可求出∠1=14°.
4.答案：
C
解析：解：如图，
根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，
∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°，
∵a∥b，
∴∠2=∠4=45°．
故答案为：C．
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．
5.答案：
C
解析：解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，
∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，
∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，
∴BC=30海里，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故答案为：C.
分析：根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．
6.答案：
A
解析：解：如图，
由翻折的性质得，∠3=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∴∠3=
（180°﹣∠1），
在△ADE中，∠AED=180°﹣∠3﹣∠A，
∠CED=∠3+∠A，
∴∠A′ED=∠CED+∠2=∠3+∠A+∠2，
∴180°﹣∠3﹣∠A=∠3+∠A+∠2，
整理得，2∠3+2∠A+∠2=180°，
∴2×
（180°﹣∠1）+2∠A+∠2=180°，
∴2∠A=∠1﹣∠2.
故答案为：A.
分析：根据翻折的性质可得∠3=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，再利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质分别表示出∠AED和∠A′ED，然后整理即可得解.
二、填空题
7.答案：
40°
解析：解：延长AB交DE于F，
∵AB∥CD，∠D=120°，
∴∠EFB=∠D=120°，
∴∠E=∠B-∠EFB=40°．
故答案为40°．
分析：延长AB交DE于F，由平行线的性质得出同位角相等∠EFB=∠D=120°，再由三角形的外角性质即可求出∠E的度数．
8.答案：
76°
解析：解：∵DC∥OB，
∴∠ADC=∠AOB=38°，
由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，
∠DEB=∠ODE+∠AOB
=38°+38°=76°，
故答案为：76°．
分析：根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．
9.答案：
45°
解析：解：过C作CD
AB交BA的延长线于
D，则D刚好在格点上，
?边长为1正方形，
?
?
是
的外角，
?
故答案为：
分析：过C作CD
AB交BA的延长线于
D，则D刚好在格点上，利用正方形的性质，三角形的外角的性质可得答案．
三、解答题
10.答案：
∠CFE和∠CEF相等,
理由:
∵∠ACB=90°，CD是高,
∴∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=
90°
∴∠ACD=∠B
又:
AE是角平分线,
∴∠BAE=∠CAF,
∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角,
∴∠CFE=
∠CAF+∠ACD
∠CEF=∠B+∠BAE
,
∴∠CFE=∠CEF.
解析：分析：根据等角的余角相等得出∠ACD=∠B，由角平分线的定义得出∠BAE=∠CAF，由三角形外角的性质得出∠CFE=
∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠B+∠BAE，即可证得∠CFE=∠CEF.
?
11.答案：
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=
∠EAC．
又∵∠B=∠C，∠EAC=∠B+∠C，
∴∠B=
∠EAC．
∴∠EAD=∠B．
所以AD∥BC．
解析：分析：由角平分线的定义可知：∠EAD=
∠EAC，再由三角形的外角的性质可得∠EAD=∠B，然后利用平行线的判定定理可证明出结论.
12.答案：
∵∠A＝55°，∠BDC＝95°，
∴∠ABD＝95°?55°＝40°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝40°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝40°，
在△BDE中，∠BED＝180°?∠BDE?∠ABD＝180°?40°?40°＝100°，
综上，在△BDE中，∠ABD=∠BDE＝40°,
∠BED=100°.
解析：分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ABD，再根据角平分线的定义可得∠DBC＝∠ABD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠BDE＝∠DBC，最后利用三角形的内角和定理列式计算求出∠BED．
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