《三角形的面积》教学设计
【教学内容】
青岛2011课标版五年级上册数学第五单元81-83页。
【教材分析】
《三角形的面积》是五年级上册第5单元《多边形的面积》中的内容，本单元的学习内容根据图形间的内在联系安排教学内容，按照“平行四边形——三角形——梯形”的顺序开展学习，旨在通过沟通这些图形的内在联系，以转化思想探索图形面积的计算方法。图形面积的相关学习内容，在十二册书中编排如下：
册数
单元
内容
三年级下册
第五单元
面积
五年级上册
第六单元
多边形的面积
六年级上册
第五单元
圆
平行四边形的面积计算公式推导是通过数格子和剪移拼的方法，让学生经历“猜想—动手实验—验证猜想—推导概括”的探究步骤，获得“转化”思想。而三角形的面积计算公式推导，主要引导学生把三角形转化成学过的图形，通过学生操作和实验，发现三角形与平行四边形的关系，推导出三角形面积计算公式。通过研读教材发现，平行四边形的面积计算推导运用“等积变换”的思想转化，而三角形的面积计算推导教材运用“倍积变换”的思想转化。与北师大版教材对比发现，人教版教材的探究方法较为单一，北师大版教材的探究过程会更开放。因此，我们设计这节课的探究以推理为主，渗透“推导验证”的学习方法和“转化”的思想，为初中学习几何证明打下基础，并适当拓展了不同的推导方法，以开拓学生的思维。
【学情分析】
本课是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形和平行四边形的面积计算的基础上学的。学生已经有运用“转化”的思想方法把图形转化为学过的图形，再通过合作学习的方式，探索转化后的图形与原来图形的联系，从而发现新图形的面积计算公式的活动经验。不同之处在于，平行四边形的探究活动是利用剪移拼的方法把一个平行四边形转化为一个长方形，本课教学拟采用的探究活动是用两个完全相同的三角形转化为一个平行四边形，学生没有用两个完全相同的图形推导出面积计算公式的活动经验。为此，我们对本校光大校区五年级322名学生进行了前测分析，发现有相当一部分学生对三角形面积的计算公式已有认识，有72.3%的学生能正确写出三角形面积的计算公式，但是访谈后发现学生对三角形的面积计算公式的由来知其然而不知其所以然。其次，根据以往的教学经验，学生在应用三角形面积公式解决问题时，还是会经常忘记除以2，归根结底是对三角形与拼成的平行四边形面积之间的关系不明晰导致。针对以上种种学情，如何让学生经历“操作、发现、推导、应用”的过程，理解并掌握三角形面积计算公式，是我们本节课研究的重点。我们拟采用“激趣引学，聚焦亮点—精雕细琢，积聚火彩—巧学活用，人人闪光—回顾反思，增值扬彩”的教学模式，重点引导学生经历探究的过程，积累图形面积公式推导的科学经验。
【教学准备】
教师：多媒体课件、三角形纸片
学生：学习单、学具袋
【教学目标】
1.经历自主探索三角形面积计算公式的推导过程，理解三角形的面积计算公式并能运用这一公式解决简单的实际问题。
2.通过观察、想象、概括，在合作交流和动手操作中，渗透转化的思想方法，发展空间观念，积累图形面积计算公式推导的科学经验，发展推理能力。
3.感受数学与现实生活的密切联系，体会学数学、用数学的乐趣。
【教学重点】
探索三角形面积计算公式的推导过程及对这一公式的理解。
【教学难点】
用“转化”的思想推导三角形面积计算公式。
【教学过程】
激趣引入，探究特例
1.出示红领巾，提出实际问题：做一条这样的红领巾要多少布，其实就是求什么。板书课题。
2.
回顾已经学过图形面积计算的推导方法。（数格子，剪移拼的方法）
3.
抽象出一个三角形，发现这是一个等腰三角形。
【设计意图】贴近生活的引入，激发学生的学习兴趣，回顾已学图形的面积计算推导方法，简单有效地引起学生从数学的角度进行思考。
二、动手操作，自主探究
1.讨论：能不能把这个三角形转化为我们学过的图形。同桌讨论，汇报。
预设：
沿高剪开得到两个完全相同的直角三角形，可以拼成一个长方形或平行四边形。追问：如何证明两个三角形是完全相同的？
引导学生找到不同的拼法。
2.设疑：一个等腰三角形我们可以沿高剪开得到两个完全相同的直角三角形，这两个完全相同的直角三角形可以转化为长方形或平行四边形，那任意一个三角形也可以这样沿高剪开后再转化成我们学过的图形吗？
课件演示一个任意三角形沿高剪开后无法拼成一个长方形或平行四边形的情况。
设问：一个三角形用沿高剪开这种方法不一定能转化为学过的图形，你觉得要怎么办？（预设：2个？）是不是2个就可以呢？
【设计意图】等腰三角形是一个特殊的三角形，学生自主迁移用剪移拼的方法转化为学过的长方形或平行四边形，同时产生认知冲突，一个任意的三角形不一定能用这种方法转化为学过的图形，从而让学生自主提出要用两个三角形来研究，从特殊到一般，很自然地从借助一个图形来推导突破为用两个图形来推导。
3.四人小组活动
任务单：
（1）操作：从学具袋中选择两个三角形转化成学过的图形。
（2）思考：每个三角形和拼成后的图形有什么关系？
4.学生汇报：
（1）预设1：2个完全相同的直角三角形拼成一个长方形或平行四边形；
预设2：2个完全相同的钝角三角形拼成一个平行四边形；
预设3：2个完全相同的锐角三角形拼成一个平行四边形。
找到两个完全相同的锐角三角形有三种拼法，展示直角三角形和钝角三角形的三种拼法。
（3）辨析1：两个大小不一的钝角三角形不能拼成一个学过的图形；
辨析2：两个完全相同的直角三角形拼成一个三角形。
小结：任意两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
【设计意图】为了让学生在操作活动中增强只有两个完全相同的三角形才能拼成一个平行四边形的体验感受，精心设计了学具。学具袋中，直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个，按拼摆的结果分为两类。一类是能够全部成功拼成平行四边形；另一类是有的能拼成功，有的不能拼成功。在成功和失败的冲突认知中，加深对两个完全相同的三角形才能拼成平行四边形这一知识点的理解，也为三角形面积计算公式的推导埋下伏笔。
5.观察、交流、汇报
每个三角形和拼成后的图形有什么关系？（四人小组交流）
预设：a.两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形；
b.每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；
c.平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高。
（2）初步猜测三角形面积计算公式。
6.推导三角形的面积计算公式
完成学习单，整理记录推导过程。
7.学生指板书汇报整理过程，师相机板书。
追问：底×高是什么意思？一半是怎么体现的？
小结：把未知转化成已知，再根据平行四边形的面积推导出三角形的面积。
8.根据图示用字母表示公式：S=ah÷2。
9.实际应用
红领巾的底是100
cm，高33
cm，它的面积是多少平方厘米？
10.看书质疑
【设计意图】学生通过自主探究、合作交流等充分的操作活动，经历知识的形成过程，激发学生的探究欲望，感受“转化”的数学思想。既有正向的建模过程，又有反向的深入辨析，深刻地理解了三角形和拼成的平行四边形的关系，水到渠成地推导出三角形面积的计算公式。
三、应用新知，巩固提升
1.基础练习
求三角形的面积
2.综合练习
你能想办法计算出三角形的面积吗？
引导学生提出需要三角形的底和高才能计算面积，学生独立计算并订正。
给出另外一条底边，要求计算出它的面积，
引导学生提出要找到相对应的高。
小结：计算三角形的面积要知道它的底和高，而且是相对应的底和高。
3.拓展练习
（1）平行线间的三角形。
小结：同底等高的三角形面积一定相等。
（2）同底等高的三角形和平行四边形
小结：三角形的面积是同底等高的平行四边形面积的一半。
【设计意图】通过层次分明、循序渐进的练习，既夯实了基础，又提升了学生的思维，强化了对三角形面积计算公式的理解，提高了学生灵活运用知识解决问题的能力。
四、回顾反思，总结提升
1.对比、沟通。
2.
拓展学生的思维。
【设计意图】梳理全课知识，通过两种图形的面积计算公式推导的对比，沟通前后知识的联系，进而拓展三角形的面积计算的其他推导方法，引入后续知识的探究，形成知识网络。
五、作业布置
思考三角形面积的其他探究方法。
六、板书设计
6
/
6《三角形的面积》教学设计
一、教学内容
青岛版小学数学五年级上册《三角形的面积》
二、教学目标
1.经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形的面积计算公式。
2.通过操作和对图形的观察、比较，发展学生的空间观念。使学生知道转化的思考方法在研究三角形的面积时的运用，培养学生的分析、综合、抽象、概括和运用转化方法解决实际问题的能力。
3.培养学生的创新意识和合作精神。
三、教学重、难点
教学重点：理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积。
教学难点：在转化中发现内在联系及推导说理。
四、教材分析
三角形面积的计算方法是小学阶段学习几何知识的重要内容，也是学生今后学习的重要基础。《数学课程标准
》中明确指出:利用方格纸或割补等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。为落实这一目标，这部分教材均是以探索活动的形式出现的，学生在学习三角形面积的计算方法之前，已经亲身经历了平行四边形面积计算公式的推导过程，当学生亲身经历了三角形面积计算公式的推导过程时，不仅可以借鉴前面“转化”的思想，
而且为今后逐渐形成较强的探索能力打下较为扎实的基础。
五、教、学具准备
每组准备两个完全一样的三角形(两个完全一样的直角三角形、两个完全一样的钝角三角形或者两个完全一样的锐角三角形)。
六、教学过程
一、创设情境，引发思考
师:同学们，为了加强市民的交通安全意识，交警大队及市政相关部门要在路上面增加一些交通标志。让我们一起来看看！
(出示情境图)
师:
你们认识这些交通标志吗?它们有含义？
生：……
师：同学们要遵守交通规则，注意交通安全。这些道路交通警告牌都是三角形的，你知道一个标志牌是多少平方分米吗?这节课我们就来共同探究三角形面积的计算方法。(板书课题)
[设计意图：通过交通标志的情境,引发学生的思考，使学生产生解决问题的欲望,并能积极主动的投入到探究活动中，加强交通安全的意识。]
二、合作探究，汇报交流
(一)用数方格法得到三角形面积
1.你有什么方法能知道这个三角形的面积呢?
请用数方格法的同学先说说自己的思路，教师配合课件演示过程。
2.这种方法有什么局限性呢?
(
比较大的三角形数格子麻烦)有没有更好的方法呢?
(计算的方法)
(二)利用转化法得出三角形面积计算公式
1.引导学生猜想交流
师:上节课我们推导了平行四边形的面积，是如何推导的？
生：通过剪拼，把平行四边形转化为我们学过的长方形。
师：我们猜测一下：三角形的面积能否转化成已学过的图形来研究呢？
2.
合作学习——拼接法得出三角形面积公式
（1）提出操作和探究要求，
学生以小组为单位进行操作和讨论并完成实验记录。
师：大胆的猜测需要科学的验证!老师为每名同学都准备了两个三角形，你可以试着拼一拼、摆一摆，看能不能推导出三角形的面积公式。
（屏幕出示小组活动要求）
1.独立思考如何将三角形转化成我们学过的图形；
2.操作完成后将实验结果记录在学习任务单上；
3.在小组内交流自己的拼接方法。
（屏幕出示实验单）
实验记录
操作:我们是用(
)拼成了(
)。
思考:拼成的新图形和原来三角形有什么关系?
1.原三角形的底等于拼成的(
)形的(
)；
2.原三角形的高等于拼成的(
)形的(
):
3.原三角形的面积等于拼成的(
)形的(
)。
结论：
三角形的面积=
(2)独立操作完成实验记录，组内交流。
教师巡视指导。
（3）展示学生的简拼过程，交流汇报。
请学生将自己的拼图贴于黑板上，对照拼图进行汇报交流，不完整的地方，小组内其他同学补充。
拼法①:用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形。(引导学生得出:三角形的一条直角边(底)相当于长方形的长，另一条直角边(高)相当于长方形的宽，长方形的面积相当于三角形面积的两倍，因为长方形的面积=长×宽，所以，三角形的面积=底×高÷2。)
拼法②:两个完全一样的锐角三角形拼成一个平行四边形。
拼法③:两个完全一样的钝角三角形拼成一个平行四边形。
拼法④:两个完全样的等腰直角三角形可拼成一个正方形。
3.归纳公式
请同学们观察黑板上的转化过程，无论什么样的三角形，只要是两个完全一样的三角形，都可以拼成一个平行四边形，谁能说说，每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系?三角形的底和高与平行四边形的底和高有什么关系?那么现在，你能得到三角形面积的计算公式吗?根据学生回答板书:
三角形的面积=底×高÷2
生：无论是两个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形都可以拼接成一个平行四边形(或长方形或正方形)，这个平行四边形的底相当于三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高,
(强调等底等高因为每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以，推出:三角形的面积=底×高÷2
(教师板书)
教师追问：
底X高表示什么?
为什么要除以2?
师：如果用S表示三角形面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那你能用字母写出三角形的面积公式吗?结合学生回答，教师板书
S=ah÷2
[设计意图:当将三角形转化成已学过的平行四边形，找出它们间的关系，使学生感知了三角形面积的计算后，讨论:“
三角形面积的计算公式是怎样的?”从而启发学生依靠自己的思维去抽象出事物的本质属性，得出计算公式，培养学生的抽象概括能力。]
(三)公式运用
我们探究出来的三角形面积计算方法来解决前面的问题:标志牌的底9cm,高是7.8
cm,标志牌的面积是多少平方分米?
三、巩固练习，拓展应用
1.算出下面每个三角形的面积。(感受三个三角形面积相等却形状不同)
2.用两种方法计算下面三角形的面积。(感受三角形中底和高的对应关系
)
3.
[设计意图通过有层次的练习，使学生能够较好的巩固所学知识，开拓学生思维。]
四、小结。
你都有哪些收获?
今天我们探究出了三角形面积的计算方法，我们是怎样得到的?
板书设计:
三角形的面积
学生作品展示区
三角形的面积=平行四边形的面积÷2
=底×高÷2
S=ah÷
2
《三角形面积》学习任务单
姓名：
1.活动记录：
操作:我们是用(
)拼成了(
)。
讨论:拼成的新图形和原来三角形有什么关系?
1.原三角形的底等于拼成的(
)形的(
)；
2.原三角形的高等于拼成的(
)形的(
)；
3.原三角形的面积等于拼成的(
)形的(
)。
结论：
三角形的面积=
2.制作这个标志牌至少需要多少平方分米的铝皮？
答：制作这个标志牌需要平方分米的铝皮。
3.画一个任意三角形，想办法验证它的面积=底×高÷2。
4.计算下面三角形的面积（单位：厘米）。
5.哪个三角形的面积大？为什么？《三角形的面积》教学设计
教学内容：
五年级上册《三角形的面积》。
教学目标：
知识与能力
探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。
过程与方法
使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方思想的价值，发展学生的空间观念，培养学生的几何直观能力。
情感、态度与价值观
让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学
的兴趣。
教学重点：
通过动手操作，把三角形转化成我们学过的图形，从而推导出三角形的面积计算公式。
教学难点：三角形的面积等于等底等高的平行四边形面积的一半。
教学准备：
师备：课件，小组合作记录单。
生备：每组准备一个长方形、一个正方形，两个平行四边形；每人准备直尺、铅笔、剪刀和练习本。
教学过程：
一、知识链接
1．长方形、正方形、平行四边形的面积分别怎样计算？用字母怎样表示计算公式？
2．说说平行四边形的面积计算公式怎样推导出来的？
3．师出示红领巾，提问：“如果想知道做这条红领巾要多少布，是求什么？”
揭示课题：三角形的面积。
二、新知探究
（一）大胆假设
我们可以把三角形转化成我们学过的什么图形来计算它的面积呢？
学生猜测，教师把相应图形的图片贴在黑板上。
（二）合作探究
1．剪一剪
每人选择一个自己假设的图形想办法把它分成
2
个三角形。
（1）方法提示。
师：仔细想想，该怎样剪呢？
生：沿对角线剪。
师：老师有一个小小的建议，用直尺把对角线画下来再剪会剪得更好哟。
组内讨论交流。
你分成了两个什么三角形？这两个三角形有什么关系？
每个三角形的面积与原图形有什么关系？
你们组一共得到了哪些不同类型的三角形？
（3）展示汇报。
2．拼一拼
（1）课件出示活动要求
①每种图形能拼出哪些假设的图形？
②同桌之间每人拿出一个三角形合作拼一拼，你们有什么发现？
③组长收集信息，填写记录单。
（2）学生动手操作
（3）汇报展示
用两个（
）的直角三角形能拼成一个（
）形。
用两个（
）的锐角三角形能拼成一个（
）形。
用两个（
）的钝角三角形能拼成一个（
）形。
小结：用两个（
）的三角形都能拼成一个（
）形。
3．讨论交流
（1）通过合作探究，你们发现把三角形转化成什么图形来计算它的面积比较合适？
（2）每个三角形的面积与平行四边形有什么关系？
（3）质疑
每个三角形的面积等于所有平行四边形面积的一半吗？
每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。
4．观察发现
每个三角形与拼成的平行四边形有什么关系？
每个三角形的底等于拼成的平行四边形的底。
每个三角形的高等于拼成的平行四边形的高。
每个三角形与拼成的平行四边形等底等高。
小结：每个三角形的面积等于等底等高的平行四边形面积的一半。
5．推导公式
平行四边形的面积=底×高
三角形的面积=底×高÷2
6．用字母表示公式
S＝ah÷2
（三）尝试运用
完成书上第85页例题2
例2
你能计算出红领巾的面积吗？
三、、巩固提高
1．
选择合适的条件计算下面三角形的面积(单位:分米)
2．判断题
①两个三角形能拼成一个平行四边形。（
）
②三角形的面积是平行四边形面积的一半。（
）
角形的面积S=ah
(
)
四、拓展提升
五、盘点收获
这节课你学到了什么？
六、课外延伸
我国古代数学家刘徽利用出入相补的原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补、而面积保持不变。（见书本第96页）
六、板书设计
三角形的面积
七、板书设计三角形面积的计算
一教材分析
本节课的内容是义务教育课程《三角形面积的计算》。三角形面积的计算是在学生学习了三角形的特征以及掌握了长方形、平行四边形面积计算的基础上安排的。在学习平行四边的时候，学生已经初步感受到了可以用剪拼、平移、旋转的方法使原有的图形改变形状，所以我将采用迁移和同化的理论使三角形面积这一新知识纳入到原有的知识体系中去。同时本课也是学习梯形、组合图形面积的基础，在实际生活中这部分的应用也非常广泛，所以为本单元的学习起到了承上启下的作用。
二教学目标：
1、认知目标
经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形的面积计算公式，掌握求三角形面积的计算方法。
2、能力目标
通过学生动手拼摆，渗透旋转、平移的数学思想，引导学生用多种方法推导公式，发散学生的思维，培养学生求异思维的能力。同时学生通过自主探索学习活动，提高实际操作、自主探索能力及运用三角形的面积公式解决实际问题的能力。
3、情感目标
在探索学习活动中，培养实践能力，培养学生主动参与学习活动的意识、合作意识和创新意识，体会数学问题的探索性，并获得积极的情感体验和成功体验。
三教学重点、难点
重点：掌握并运用三角形面积公式。
难点：理解三角形面积公式的推导过程，弄清楚为什么除以2。
教法学法
“动手实践、自主探究与合作交流”是学生学习数学的重要方式。因此，在本课的教学采用：
1、实验法
学生通过自己动手操作学习新知识比听教师讲解新知识记忆更加深刻，兴趣更加浓厚。因此，在教学三角形面积计算公式推导过程时，让学生动手操作、讨论，体现了以学生为主体，教师为主导的教学原则。
2、课件演示，配合启发。
学生动手实验，交流汇报之后，再看课件演示，教师给予点拨，使学生更直观，更形象地理解三角形面积的计算方法。
四教具学具
1、教师准备多媒体课件；
2、学生准备两个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，一个长方形，一个平行四边形，任意三角形，剪刀，直尺等。
五教学过程
1、创设情境，揭示课题
2、主动探究，获取新知
3、理解应用，解决问题
(1)
尝试解决，交流总结
(2)
分层达标，巩固练习
4、自我评价，总结提高
（一）创设情境，揭示课题。
我通过创设故事情境来引入新课。课件演示：秋天来了，森林的小动物可高兴了，这一天，小狗、小猫、和大公鸡聚到了一起，它们都认为自己的三角形最大，可是谁也说服不了对方。同学们，你们愿意帮他们解决这个问题吗？那么要比较三角形的大小就是比较什么呢？学生会很轻松地回答要比较三角形的大小就是比较三角形的面积。今天我们就一起来探索如何计算三角形的面积。（从而揭示课题：三角形面积的计算，并板书课题。）
（二）主动探究，获取新知。
1、让学生利用手中的材料，小组合作想办法解决。在小组充分操作、讨论、交流后，出示课件，与学生一起总结出：用两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形或平行四边形。从而得出每个直角三角形的面积等于拼成的长方形或平行四边形面积的一半；拼成的平行四边形的底等于直角三角形的底，平行四边形的高等于直角三角形的高。并对表现出色的小组给予表扬。
2、再次提出挑战性问题：那么锐角三角形、钝角三角形与平行四边形之间是否也有这样的关系呢？同学们想不想亲自来验证一下？再次激发学生的探究欲望。此环节采用小组合作，自由发挥，自主探索，使学生成为课堂的主人。最后每个小组选代表边演示边汇报探究结果。我出示多媒体课件，引导学生得出：每个锐角三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半；每个钝角三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。
3、在学生拼摆过程中进行转化很自然地渗透“旋转”、“平移”的思想。同时我还注意引导学生用多种方法探究三角形面积计算公式，我用课件演示并提出问题:
A.
拼得的平行四边形的底与所用三角形的底有什么关系？
B.
拼得的平行四边形的高与所用三角形的高有什么关系？
C.
其中一个三角形的面积与
拼得的平行四边形的面积有什么关系？(让学生边看边回答,课件演示)
将长方形或平行四边形剪成两个完全一样的三角形。说明每个三角形的面积是平行四边形面积的一半。
三角形面积=拼成的平行四边形面积
2
三角形面积=底╳高
2
S=ah
2
（三）实践运用、拓展创新
在练习部分我安排了四方面的内容：
1、基础练习
引导学生直接运用所学知识来解决小狗、小猫和大公鸡哪一个三角形面积最大，强化新知，解决一个会。
?2、解决问题
请同学们说一说你们认识下面这些道路警示标志吗？
?如果制作一个这样的道路警示标志需要多少铁皮？从而使学生感受到数学源于生活。
3、问题讨论
图中哪个三角形的面积和红颜色的三角形的面积相等？为什么？你能在图中再画出一个与涂颜色的三角形的面积相等的三角形吗？试试看。
（通过讨论得出：等底等高的三角形面积相等。）
（四）回顾反思，全课总结
1、学生谈收获。
2、教师总结。
[设计意图：教师引导学生不仅要反思学到的知识，还要进行学习过程和学习方法的反思，重点是“转化”这一数学思想和“猜测--探究、得出结论--验证”
这一学习方法的渗透，提高学生获取知识、解决问题的能力。]
六、板书设计?
三角形的面积
平行四边形的面积=底×高
三
角
形
的
面
积
＝底×高÷2
字
母
表
示：
s＝ah÷2
