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人教版数学科目八年级上
11.3.2多边形的内角和
第一课时教学设计
课题
11.3.2多边形的内角和
单元
11单元
学科
数学
年级
八年级上
学习目标
知识目标：1.明白n边形内角和推导过程；2.明白多边形的外角和技能目标：能够运用多边形内角和与外角和进行有关角的计算情感目标：结合生活实际，在实践中掌握多边形内角和与外角和的概念，体验数学与生活的紧密联系
重点
多边形的内角和与外角和
难点
多边形的内角和与外角和
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习
1.多边形的内角，外角对角线，凸多边形和正多边形的概念2.多边形变数n与对角线m的关系
回顾知识
回顾知识，帮助学生做到温故知新，为本节课提供知识基础
导入新课
在纸上任意画出一个正方形，它的内角和等于多少？你能发现什么规律吗？
(?导入.mp4?)
观看视频，思考问题
结合生活实际，激发学生兴趣，为本节课教学做好准备
讲授新课
教学过程证明四边形ABCD的内角和为证明：如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.由此可得∠DAB+∠B+∠_BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=（∠l+∠B+∠3）+（∠2+∠4+∠D）因为∠1+∠B+∠3=180°，∠2+∠4+∠D=180°，所以∠DAB+∠B+∠
BCD+∠D=180°+180°
=
360°
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于180°（n-2）.这样就得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n-2）180°.已知正多边形的内角和为m，边数为n，则每个内角的度数为如果一个四边形的--组对角互补，那么另一-组对角有什么关系？解：如图，在四边形ABCD中，∠A
+∠C=180°.∠A+∠B
+∠C
+∠D
=（4-2）180°=
360°，所以∠B+∠D
=360°-（∠A+∠C）=360°-180°=
180°.这就是说，如果四边形的一-组对角互补，那么另一组对角也互补.如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6180°.这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6180°-（6-2）180°=2180°=360°.如果是n边形，外角和也是证明：n边形的内角和为内角和与外角和之和为所以外角和仍然为多边形的外角和等于课堂练习1.已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于________答案：122.已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为__________度。答案：363.如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°....照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（
）A.80米
B.96米
C.64米
D.48米答案：C4.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是_______边形.答案：六5.一个内角和为720°的多边形的边数是_________答案：66.如图，四边形ABCD中，过点A的直线1将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和β，则a+β的度数是（
）A.360°
B.540°
C.720°
D.900°答案：B拓展提高1.如图，四边形ABCD中，已知∠B、∠C的角平分线相交于点0，∠A+∠D
=200°，求∠BOC的度数.解：四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°因为∠A+∠D=200°所以∠ABC+∠BCD=360°-200°=
160°因为BO、CO分别是∠ABC、∠BCD的平分线∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD所以∠OBC=（∠ABC+∠BCD）=160°=80°因为∠BOC+
∠OBC+∠OCB=180°所以∠BOC=180°-80°=100°所以∠BOC的度数为100°.2.已知n边形的内角和等于1800°，试求出n边形的边数.解：由题意得，（n-2）180°=1800°解得：n=12.答：n边形的边数是12.3.已知一个正多边形内角和比外角和多720°，求此多边形的边数及每一个内角的度数.解：因为内角和比外角和多720°所以内角和=720°+360°=1080°设多边形的边数为n则：（n-2）x180=1080解得：n=8因为是正多边形所以每个内角=1080=135°4.如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，已知EF⊥BC，求证：EF平分∠AED。证明：因为五边形内角和为（5-2）x180°
=540°.且五边形ABCDE的5个内角都相等，所以∠A=∠B=∠AED=540°
/5=108
°因为EF⊥BC，所以∠3=90°又因为四边形的内角和为360°，所以在四边形ABFE中，∠1=360°-（108°
+
108°
+90°）=54°，又因为∠AED=108°，∠1=∠2=54°，所以EF平分∠AED5.如图，若∠B=40°，∠C=71°，∠BME=133°，∠EPB=140°，∠F=47°.求∠A，∠D.解：在ABC中，因为∠B=40°，∠C=71°所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-71°=69°，因为∠EME=133°，∠EPB=
140°所以∠E=360°-133°-140°-40°=47°，在
DEF中，∠D=180°-47°-47°=86°
认真听讲，思考问题结合多边形内角和公式
，完成各个小题在课堂练习的基础上，进一步完成各个小题，难度较大的题目可以分组讨论
讲解多边形的内角和与外角和，为后续习题练习做好铺垫本道题考查了内角和与外角和公式，联系具体例子，强化认知采用简答题的形式，将多边形内角和与外角和的定律融会贯通，进一步提升学生的学习能力
课堂小结
n边形内角和为多边形的外角和为
学生根据标题，回顾本节课的知识
一节课过后，容易对本节课知识点以往，总结一下，加深印象
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精品试卷·第
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2020
人教版
八年级上
11.3.2多边形的内角和
1.多边形的内角，外角对角线，凸多边形和正多边形的概念
2.多边形变数n与对角线m的关系
教学目标
复习
1.明白n边形内角和推导过程
2.明白多边形的外角和
3.能够运用多边形内角和与外角和进行有关角的计算
教学目标
学习目标
教学目标
导入新课
在纸上任意画出一个正方形，它的内角和等于多少？你能发现什么规律吗？
教学目标
教学过程
证明四边形ABCD的内角和为
证明：如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
由此可得
∠DAB+∠B+∠_BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=（∠l+∠B+∠3）+（∠2+∠4+∠D）
因为∠1+∠B+∠3=180°，∠2+∠4+∠D=180°，
所以∠DAB+∠B+∠
BCD+∠D=180°+180°
=
360°
教学目标
教学过程
观察图，填空：
从五边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的内角和等于180°
_______.
从六边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将六边形分为_______个三角形，六边形的内角和等于180°
________.
通过以上过程，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？
2
3
3
3
3
3
教学目标
教学过程
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于180°
（n-2）.
这样就得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n-2）
180°.
已知正多边形的内角和为m，边数为n，则每个内角的度数为
教学目标
课本练习
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解：如图，在四边形ABCD中，
∠A
+∠C=180°.
∠A+∠B
+∠C
+∠D
=（4-2）
180°=
360°，
所以∠B+∠D
=360°-（∠A+∠C）
=360°-180°=
180°.
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
教学目标
课本练习
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6
180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
6
180°-（6-2）
180°=2
180°=360°.
教学目标
教学过程
如果是n边形，外角和也是
证明：n边形的内角和为
内角和与外角和之和为
所以外角和仍然为
多边形的外角和等于360
教学目标
课堂练习
1.已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于________
答案：12
教学目标
课堂练习
2.已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为__________度。
答案：36
教学目标
课堂练习
3.如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°....照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（
）
A.80米
B.96米
C.64米
D.48米
答案：C
教学目标
课堂练习
4.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是_______边形.
答案：六
教学目标
课堂练习
5.一个内角和为720°的多边形的边数是_________
答案：6
教学目标
课堂练习
6.如图，四边形ABCD中，过点A的直线1将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和β，则a+β的度数是（
）
A.360°
B.540°
C.720°
D.900°
答案：B
教学目标
拓展提高
1.如图，四边形ABCD中，已知∠B、∠C的角平分线相交于点0，∠A+∠D
=200°，求∠BOC的度数.
教学目标
拓展提高
解：四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°
因为∠A+∠D=200°
所以∠ABC+∠BCD=360°-200°=
160°
因为BO、CO分别是∠ABC、∠BCD的平分线
∠OBC=
∠ABC，∠OCB=
∠BCD
所以∠OBC=
（∠ABC+∠BCD）=
160°=80°
因为∠BOC+
∠OBC+∠OCB=180°
所以∠BOC=180°-80°=100°
所以∠BOC的度数为100°.
教学目标
拓展提高
2.已知n边形的内角和等于1800°，试求出n边形的边数.
解：由题意得，（n-2）
180°=1800°
解得：n=12.
答：n边形的边数是12.
教学目标
拓展提高
3.已知一个正多边形内角和比外角和多720°，求此多边形的边数及每一个内角的度数.
解：因为内角和比外角和多720°
所以内角和=720°
+360°=1080°
设多边形的边数为n
则：（n-2）x180=1080
解得：n=8
因为是正多边形
所以每个内角=1080=135°
教学目标
拓展提高
4.如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，已知EF⊥BC，求证：EF平分∠AED。
证明：因为五边形内角和为（5-2）x180°
=540°.且五边形ABCDE的5个内角都相等，
所以∠A=∠B=∠AED=540°
/5=108
°
因为EF⊥BC，所以∠3=90°
又因为四边形的内角和为360°，
所以在四边形ABFE中，∠1=360°-（108°
+
108°
+90°）=54°，又因为∠AED=108°，∠1=
∠2=54°，所以EF平分∠AED
教学目标
拓展提高
5.如图，若∠B=40°，∠C=71°，∠BME=133°，∠EPB=140°，∠F=47°.求∠A，∠D.
解：在
ABC中，因为∠B=40°，∠C=71°
所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-71°=69°，
因为∠EME=133°，∠EPB=
140°
所以∠E=360°-133°-140°-40°=47°，在
DEF中，∠D=180°-47°-47°=86°
今天我们学习了哪些知识？
教学目标
课堂小结
n边形内角和为
多边形的外角和为
教学目标
作业布置
完成25页的8、9题
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11.3.2多边形的内角和
一、单选题
1.正十边形的每一个外角的度数为（??
）
A.?????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
2.如图，点E在四边形ABCD的CD边的延长线上，若∠ADE＝120°，则∠A+∠B+∠C的度数为（??
）
A.?240°????????????????????????????????????B.?260°????????????????????????????????????C.?300°????????????????????????????????????D.?320°
3.若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是(??
)
A.?六边形????????????????????????????????B.?七边形????????????????????????????????C.?八边形????????????????????????????????D.?十边形
4.已知正多边形的每个外角是72°，则这个正多边形是
（???
）
A.?正五边形???????????????????????????B.?正六边形??????????????????????????
?C.?正七边形???????????????????????????D.?正八边形
5.已知三角形纸片ABC，其中∠B＝45°，将这个角剪去后得到四边形ADEC，则这个四边形的两个内角∠ADE与∠CED的和等于（??
）
A.?235°????????????????????????????????????B.?225°????????????????????????????
????????C.?215°?????????????????
?????????????????D.?135°
6.八边形的内角和、外角和共多少度（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????
??C.????????????????????????????????D.?
7.如图，在四边形ABCD中，∠α、∠β分别是与∠BAD、∠BCD相邻的补角，且∠B+∠CDA=140°，则∠α+∠β=（???
）．
A.?260°??????????????????????????????????
??B.?150°????????????????????????????????
????C.?135°???????????????????????????????
?????D.?140°
二、填空题
8.已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为________度．
9.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是________边形.
10.正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n=________．
11.已知一个多边形的内角和等于外角和的3倍，则这个多边形的边数为________?。
三、解答题
12.如图，求x的值．
13.如图，四边形ABCD中，已知∠B、∠C的角平分线相交于点O，∠A+∠D
=200°，求∠BOC的度数．
14.已知n边形的内角和等于1800°，试求出n边形的边数．
15.已知一个正多边形内角和比外角和多720°，求此多边形的边数及每一个内角的度数．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
A
解析：解：360°÷10＝36°，
故答案为：A.
分析：利用多边形的外角性质计算即可求出值.
2.答案：
C
解析：解：因为∠ADE＝120°，∠ADE+∠ADC＝180°，
所以∠ADC＝180°﹣∠ADE＝180°﹣120°＝60°，
因为∠ADC+∠A+∠B+∠C＝360°，
所以∠A+∠B+∠C＝360°﹣∠ADC＝360°﹣60°＝300°，
故答案为：C.
分析：根据四边形的外角与相邻内角互补，以及多边形内角和定理：（n﹣2）?180
（n≥3）且n为整数）解答即可.
3.答案：
C
解析：解：任意一个多边形外角和=360°
?????任意一个多边形内角和=（n-2）×180°
∵多边形的内角和是外角和的3倍
∴
（n-2）×180°=360°×3
∴
n=8
故答案为：C
分析：本题考查多边形的内角和和外角和，任意一个多边形外角和为360°，????任意一个多边形内角和=（n-2）×180°，根据题意列方程即可得到答案.
4.答案：
A
解析：解：360°÷72°=5，故这个正多边形是五边形.
故答案为：A.
分析：多边形的外角和为360°，用360°直接除以正多边形的一个外角，即可得到正多边形的边数.
5.答案：
B
解析：解：∵∠B＝45°，
∴∠A+∠C＝135°，
∵∠ADE+∠CED+∠A+∠C＝360°，
∴∠ADE+∠CED＝360°﹣135°＝225°.
故答案为：B.
分析：根据三角形内角和可得∠A+∠C＝135°，由于四边形内角和为360°，利用∠ADE+∠CED＝360°﹣（∠A+∠C）即得结论.
6.答案：
B
解析：解：八边形的内角和为（8?2）?180°＝1080°；
外角和为360°，
1080°＋360°＝1440°．
故答案为：B．
分析：n边形的内角和是（n?2）?180°，已知多边形的边数，代入多边形的内角和公式就可以求出内角和；任何多边形的外角和是360度，与多边形的边数无关；再把它们相加即可求解．
7.答案：
D
解析：因为∠DAB+∠B+∠DCB+∠CDA=360°，且∠B+∠CDA=140°
所以∠DAB+∠DCB=360°-140°=220°
又因为
+∠DAB=180°，
+∠DCB=180°
所以
?+
=360°-(∠DAB+∠DCB)
=360°-220°=140°
故答案为：D
分析：四边形的内角和为360°，根据BO、CO分别是∠ABC、∠BCD的平分线可知∠OBC=
∠ABC，∠OCB=
∠BCD，从而可转化为∠OBC=-
?(∠ABC+∠BCD)，容易求出∠ABC+∠BCD的值，?进而得到∠OBC的度数。
二、填空题
8.答案：
36
解析：设此多边形为n边形，
根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，
解得：n=10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故答案为：36．
分析：首先设此正多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，即可求得n=10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
9.答案：
六
解析：设这个多边形的边数为
，
∴
，
解得：
，
故答案为：六．
分析：设这个多边形的边数为
，根据内角和公式和外角和公式，列出等式求解即可．
10.答案：
12
解析：解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．
分析：先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．
11.答案：
8
解析：解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
（n-2）·180°=360°×3
解之：n=8.
故答案为：8.
分析：利用n边形的内角和为（n-2）·180°，任意多边形的外角和为360°，再根据多边形的内角和=外角和的3倍，建立关于n的方程，解方程求出n的值。
三、解答题
12.答案：
解：由已知可得
2x+120+150+x+90=（5-2）×180
解得x=60
解析：分析：根据5边形的内角和等于（5-2）×180°可得到方程，解方程可得．
13.答案：
四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°
∵∠A+∠D=200°
∴∠ABC+∠BCD=360°-200°=160°?
∵BO、CO分别是∠ABC、∠BCD的平分线
∠OBC=
∠ABC，∠OCB=
∠BCD
∴∠OBC=
（∠ABC+∠BCD）=
×160°=80°
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°
∴∠BOC=180°-80°=100°
∴∠BOC的度数为100°．
解析：分析：已知四边形的内角和为360°，∠A+∠D
=200°，可得∠ABC+∠BCD的度数，又因为∠B、∠C的角平分线是OB和OC，根据角平分线性质可得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形内角和可求出∠BOC的度数．
14.答案：
解：由题意得，（n﹣2）?180°=1800°，
解得：n=12．
答：n边形的边数是12．
解析：分析：利用多边形内角和公式（n﹣2）?180°即可解得.
15.答案：
解：∵内角和比外角和多720°
∴内角和=720°+360°=1080°
设多边形的边数为n
则：(n－2)×180=1080
解得：n=8
∵是正多边形
∴每个内角=
解析：分析：先根据内外角和的关系，得出内角和，再利用内角和公式确定边数，最后得出每一个内角大小．
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