§2.1 数列的概念与简单表示法(二)
课时目标
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．
1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列可以看作是一个定义域为正整数集N
(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值．
3．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1
一、选择题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数项
D．不能确定
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N
B．an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N
，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N
，n≥2
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列第4项是( )
A．1
B.
C.
D.
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
5．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2
010的值为( )
A.
B.
C.
D.
6．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A．a1，a30
B．a1，a9
C．a10，a9
D．a10，a30
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.
8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N
)，则使an>100的n的最小值是________．
9．若数列{an}满足：a1＝1，且＝(n∈N
)，则当n≥2时，an＝________.
10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N
，则实数λ的最小值是________．
三、解答题
11．在数列{an}中，a1＝，an＝1－
(n≥2，n∈N
)．
(1)求证：an＋3＝an； (2)求a2
011.
12．已知an＝
(n∈N
)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
能力提升
13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
，则通项公式an＝________.
14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．
函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N
或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增?an＋1>an对任意的n
(n∈N
)都成立．类似地，有{an}递减?an＋1)都成立．
答案
一、选择题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数项
D．不能确定
答案 A
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N
B．an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N
，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N
，n≥2
答案 B
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列第4项是( )
A．1
B.
C.
D.
答案 B
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.
5．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2
010的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，
又知2
010除以3能整除，所以a2
010＝a3＝.
6．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A．a1，a30
B．a1，a9
C．a10，a9
D．a10，a30
答案 C
解析 ∵an＝
＝＋1
∴点(n，an)在函数y＝＋1的图象上，
在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图象，
由图象易知
当x∈(0，)时，函数单调递减．
∴a9当x∈(，＋∞)时，函数单调递减，
∴a10>a11>…>a30>1.
所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.
答案 3·21－n
8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N
)，则使an>100的n的最小值是________．
答案 12
9．若数列{an}满足：a1＝1，且＝(n∈N
)，则当n≥2时，an＝________.
答案
解析 ∵a1＝1，且＝(n∈N
)．
∴··…·
＝···…·，
即an＝.
10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N
，则实数λ的最小值是________．
答案 －3
解析 an≤an＋1?n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)
?λ≥－(2n＋1)，n∈N
?λ≥－3.
三、解答题
11．在数列{an}中，a1＝，an＝1－
(n≥2，n∈N
)．
(1)求证：an＋3＝an； (2)求a2
011.
(1)证明 an＋3＝1－＝1－
＝1－
＝1－＝1－＝1－
＝1－(1－an)＝an.
∴an＋3＝an.
(2)解 由(1)知数列{an}的周期T＝3，
a1＝，a2＝－1，a3＝2.
又∵a2
011＝a3×670＋1＝a1＝，∴a2
011＝.
12．已知an＝
(n∈N
)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
解 因为an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)
＝n＋1·＝n＋1·，则
当n≤7时，n＋1·>0，
当n＝8时，n＋1·＝0，
当n≥9时，n＋1·<0，
所以a1a10>a11>a12>…，
故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝.
能力提升
13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
，则通项公式an＝________.
答案 －
解析 ∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
… …
an－an－1＝；
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－.
∴an＋1＝1－，∴an＝－.
14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．
答案
解析 ∵(n＋1)a－na＋anan＋1＝0，
∴[(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0，
∵an>0，∴an＋an＋1>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0.
方法一 ＝.
∴····…·
＝····…·，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
方法二 (n＋1)an＋1－nan＝0，
∴nan＝(n－1)an－1＝…＝1×a1＝1，
∴nan＝1，an＝.
3第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
课时目标
1．理解数列及其有关概念；
2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3．对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．
1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n位的数称为这个数列的第n项．
2．数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}．
3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
4．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
一、选择题
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n
B．an＝n＋1
C．an＝n＋2
D．an＝2n
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0
B．0,1,0,1
C.，0，，0
D．2,0,2,0
3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
A．第5项
B．第6项
C．第7项
D．非任何一项
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1
B．an＝
C．an＝
D．an＝n2＋1
6．设an＝＋＋＋…＋
(n∈N
)，那么an＋1－an等于( )
A.
B.
C.＋
D.－
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝.则它的前4项依次为____________．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)，那么是这个数列的第______项．
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．
三、解答题
11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…
(2)0.8,0.88,0.888，…
(3)，，－，，－，，…
(4)，1，，，…
(5)0,1,0,1，…
12．已知数列；
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
能力提升
13．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是______________________．
14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成
an＝其中k∈N
.
答案
一、选择题
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n
B．an＝n＋1
C．an＝n＋2
D．an＝2n
答案 B
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0
B．0,1,0,1
C.，0，，0
D．2,0,2,0
答案 A
3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
答案 D
解析 令n＝1,2,3,4代入验证即可．
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
A．第5项
B．第6项
C．第7项
D．非任何一项
答案 C
解析 n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1
B．an＝
C．an＝
D．an＝n2＋1
答案 C
解析 令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排除A、B、D，从而选C.
6．设an＝＋＋＋…＋
(n∈N
)，那么an＋1－an等于( )
A.
B.
C.＋
D.－
答案 D
解析 ∵an＝＋＋＋…＋
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝.则它的前4项依次为____________．
答案 4,7,10,15
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)，那么是这个数列的第______项．
答案 10
解析 ∵＝，
∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
答案 an＝2n＋1
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．
答案 55
解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
三、解答题
11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…
(2)0.8,0.88,0.888，…
(3)，，－，，－，，…
(4)，1，，，…
(5)0,1,0,1，…
解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N
)．
(2)数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，
(1－0.001)，…，∴an＝(n∈N
)．
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·(n∈N
)．
(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得它的一个通项公式为an＝(n∈N
)．
(5)an＝或an＝(n∈N
)
或an＝(n∈N
)．
12．已知数列；
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
(1)解 设f(n)＝
＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)解 令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明 ∵an＝＝＝1－，
又n∈N
，∴0<<1，∴0∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令即.∴又∵n∈N
，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.
能力提升
13．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是______________________．
答案 an＝＋(－1)n＋1
解析 a＝＋，b＝－，
故an＝＋(－1)n＋1.
14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．
解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.§2.3 等差数列的前n项和(一)
课时目标
1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．
2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．
1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以记作S16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1
(n≥2)．
2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.
3．等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则＝.
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13
B．35
C．49
D．63
2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于( )
A.
B．2
C.
D．4
3．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )
A．－9
B．－11
C．－13
D．－15
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
A．63
B．45
C．36
D．27
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765
B．665
C．763
D．663
6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )
A．3
B．－3
C．－2
D．－1
二、填空题
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则的值是________．
9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．
三、解答题
11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
能力提升
13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9
B．10
C．19
D．29
14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．
2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．
答案
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13
B．35
C．49
D．63
答案 C
解析 S7＝＝＝49.
2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于( )
A.
B．2
C.
D．4
答案 A
解析 由题意得：
10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
∴10a1＝5d，∴＝.
3．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )
A．－9
B．－11
C．－13
D．－15
答案 D
解析 由a＋a＋2a3a8＝9得
(a3＋a8)2＝9，∵an<0，
∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝
＝＝＝－15.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
A．63
B．45
C．36
D．27
答案 B
解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765
B．665
C．763
D．663
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )
A．3
B．－3
C．－2
D．－1
答案 B
解析 由
得nd＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.
二、填空题
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
答案 15
解析 设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，
即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，
即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则的值是________．
答案
解析 ＝＝＝.
9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
答案 10
解析 S奇＝＝165，
S偶＝＝150.
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，
∴n＝10.
10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．
答案 210
解析 方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
三、解答题
11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解 由
得
解方程组得或
12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴，
即，解得，
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
能力提升
13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9
B．10
C．19
D．29
答案 B
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 D
解析 ＝＝＝
＝＝7＋，
∴n＝1,2,3,5,11.§2.2 等差数列(一)
课时目标
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝.
3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.
4．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．
一、选择题
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N
)，则a101的值为( )
A．49
B．50
C．51
D．52
4．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1
B．2
C．4
D．6
6．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2
(n∈N
)
B．an＝2n＋4
(n∈N
)
C．an＝－2n＋12
(n∈N
)
D．an＝－2n＋10
(n∈N
)
二、填空题
7．已知a＝，b＝，则a、b的等差中项是
________________________________________________________________________．
8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．
9．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为________．
10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
三、解答题
11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
12．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－
(n≥2)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
能力提升
13．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41
(n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是( )
A．6
B．7
C．8
D．不确定
14．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N
时，有＝，设bn＝，
n∈N
.
(1)求证：数列{bn}为等差数列．
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；
如果不是，请说明理由．
1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
3．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.
答案
一、选择题
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
答案 C
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
答案 B
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N
)，则a101的值为( )
A．49
B．50
C．51
D．52
答案 D
4．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( )
A.
B.
C.
D.
答案C
解析 ∴a＝，b＝x.
∴＝.
5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1
B．2
C．4
D．6
答案 B
解析 设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，∴d>0，即d＝2，∴a1＝2.
6．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2
(n∈N
)
B．an＝2n＋4
(n∈N
)
C．an＝－2n＋12
(n∈N
)
D．an＝－2n＋10
(n∈N
)
答案 D
解析 由??
所以an＝a1＋(n－1)d，即an＝8＋(n－1)×(－2)，
得an＝－2n＋10.
二、填空题
7．已知a＝，b＝，则a、b的等差中项是
________________________________________________________________________．
答案
8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．
答案 an＝n＋1
解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.
∴这个等差数列的前三项依次为，，.
∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1.
9．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为________．
答案
解析 n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝.
10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
答案 解析 设an＝－24＋(n－1)d，
由解得：三、解答题
11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
∴ 解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
12．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－
(n≥2)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵an＝4－
(n≥2)，
∴an＋1＝4－
(n∈N
)．
∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.
∴bn＋1－bn＝，n∈N
.
∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.
(2)解 b1＝＝，d＝.
∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.
∴＝，∴an＝2＋.
能力提升
13．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41
(n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是( )
A．6
B．7
C．8
D．不确定
答案 B
解析 由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，
d＝为整数，且n≥3.
则n＝3,5,6,9,11,21,41共7个．
14．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N
时，有＝，设bn＝，
n∈N
.
(1)求证：数列{bn}为等差数列．
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；
如果不是，请说明理由．
(1)证明 当n>1，n∈N
时，＝?＝
?－2＝2＋?－＝4?bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.
∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
∴an＝＝，n∈N
.
∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.令an＝＝，
∴n＝11.
即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．§2.5 等比数列的前n项和(一)
课时目标
1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．
2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．
1．等比数列前n项和公式：
(1)公式：Sn＝.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中
A＝.
3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．
一、选择题
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11
B．5
C．－8
D．－11
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )
A．－3
B．5
C．－31
D．33
3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2
B．4
C.
D.
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A.
B.
C.
D.
5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )
A．514
B．513
C．512
D．510
二、填空题
7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．
10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
三、解答题
11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.
12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn
(x≠0)．
能力提升
13．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝54，S2n＝60，求S3n.
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．
答案
一、选择题
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11
B．5
C．－8
D．－11
答案 D
解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )
A．－3
B．5
C．－31
D．33
答案 D
解析 由题意知公比q≠1，＝
＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5
＝1＋25＝33.
3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2
B．4
C.
D.
答案 C
解析 方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，
得＝＋1＋q＋q2＝.
方法二 S4＝，a2＝a1q，
∴＝＝.
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，
∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8(1－)＝.
5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
答案 C
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)
＝3n－3n－1＝2·3n－1.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，
∴k＝－1.
6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )
A．514
B．513
C．512
D．510
答案 D
解析 由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，
得方程组，解得或.
∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.
二、填空题
7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
答案 －
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
答案 3
解析 S6＝4S3?＝?q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．
∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．
答案 10
解析 Sn＝，∴－341＝，
∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，
∴n＝10.
10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
答案 2n－1
解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N
.
三、解答题
11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.
解 ∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组
得①
或②
将①代入Sn＝，可得q＝，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.
将②代入Sn＝，可得q＝2，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.
12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn
(x≠0)．
解 分x＝1和x≠1两种情况．
(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.
∴Sn＝－.
综上可得Sn＝
.
能力提升
13．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝54，S2n＝60，求S3n.
解 方法一 由题意Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
∴62＝54(S3n－60)，∴S3n＝.
方法二 由题意得a≠1，∴Sn＝＝54
①
S2n＝＝60
②
由②÷①得1＋qn＝，
∴qn＝，∴＝，
∴S3n＝＝(1－)＝.
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由题意，Sn＝2n＋2－4，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N
.
(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，
∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，
①
2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2.
②
②－①得，
Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2
＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1
＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.习题课(1)
课时目标
1．熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题．
2．熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．
要点回顾
1．若Sn是数列{an}的前n项和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝
2．若数列{an}为等差数列，则有：
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)前n项和：Sn＝na1＋＝.
3．等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)若Sn表示等差数列{an}的前n项和，则
Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差数列．
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为( )
A．24
B．22
C．20
D．－8
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝6，则S13等于( )
A．24
B．25
C．26
D．27
3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0
B．37
C．100
D．－37
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )
A．120
B．105
C．90
D．75
5．若{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则Sn>0成立的最大自然数n为( )
A．11
B．12
C．13
D．14
6．在等差数列{an}中，a1＝－2
008，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2
012等于( )
A．－2
012
B．2
012
C．6
033
D．6
036
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sp＝Sq(p，q∈N
且p≠q)，则Sp＋q＝________.
9．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．
10．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N
，则数列{an}的通项公式an＝________.
三、解答题
11．甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2
m，以后每分钟比前1分钟多走1
m，乙每分钟走5
m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1
m，乙继续每分钟走5
m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
12．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
能力提升
13．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且|a10|A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零
B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零
C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零
D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……………………………
根据以上排列规律，数阵中第n
(n≥3)行从左至右的第3个数是______________.
1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n项和公式的出发点．
2．通项公式与前n项和公式联系着五个基本量：a1、d、n、an、Sn.掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．
3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．
答案
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为( )
A．24
B．22
C．20
D．－8
答案 A
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝6，则S13等于( )
A．24
B．25
C．26
D．27
答案 C
解析 ∵a3＋a7＋a11＝6，∴a7＝2，
∴S13＝＝13a7＝26.
3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0
B．37
C．100
D．－37
答案 C
解析 设数列{an}，{bn}的公差分别为d，d′，
则a2＋b2＝(a1＋d)＋(b1＋d′)
＝(a1＋b1)＋(d＋d′)
＝100.
又∵a1＋b1＝100，∴d＋d′＝0.
∴a37＋b37＝(a1＋36d)＋(b1＋36d′)
＝(a1＋b1)＋36(d＋d′)＝100.
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )
A．120
B．105
C．90
D．75
答案 B
解析 ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.
∵a1＝5－d，a3＝5＋d，d>0，
∴a1a2a3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80，
∴d＝3，a1＝2.
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)
＝3a1＋33d＝3×2＋33×3＝105.
5．若{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则Sn>0成立的最大自然数n为( )
A．11
B．12
C．13
D．14
答案 A
解析 S4＝S8?a5＋a6＋a7＋a8＝0?a6＋a7＝0，又a1>0，d<0，S12＝＝0，n<12时，
Sn>0.
6．在等差数列{an}中，a1＝－2
008，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2
012等于( )
A．－2
012
B．2
012
C．6
033
D．6
036
答案 D
解析 ＝a1＋，
∴－＝a1＋d－a1－d
＝d＝2.
∴S2
012＝2
012×(－2
008)＋×2
＝2
012×3＝6
036.
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．
答案 80
解析 a6＋a7＋…＋a10＝S10－S5＝111－31＝80.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sp＝Sq(p，q∈N
且p≠q)，则Sp＋q＝________.
答案 0
解析 设Sn＝an2＋bn，由Sp＝Sq.
知ap2＋bp＝aq2＋bq，∴p＋q＝－.
∴Sp＋q＝a(p＋q)2＋b(p＋q)
＝a(－)2＋b(－)
＝－＝0.
9．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．
答案 5或6
解析 d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0，
∴a6＝0，∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>….
∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．
10．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N
，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案 n2－2n＋21
解析 ∵an＋1－an＝2n－1，
∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝2n－3，n≥2.
∴an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)．
∴an＝20＋＝n2－2n＋21.
三、解答题
11．甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2
m，以后每分钟比前1分钟多走1
m，乙每分钟走5
m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1
m，乙继续每分钟走5
m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解 (1)设n分钟后第1次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.
解之得n＝7，n＝－20(舍去)．
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有
2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
12．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，
又公差d>0，∴a3∴，∴，∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－
(c＝0舍去)．
能力提升
13．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且|a10|A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零
B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零
C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零
D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
答案 D
解析 ∵S19＝＝19a10<0，
S20＝.
而a1＋a20＝a10＋a11，∵a10<0，a11>0且|a10|∴a10＋a11>0，
∴S20＝＝10(a10＋a11)>0.
又∵d＝a11－a10>0.
∴Sn>0
(n≥20)．
14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……………………………
根据以上排列规律，数阵中第n
(n≥3)行从左至右的第3个数是______________.
答案 －＋3
解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1
(n≥3)行的最后一个数为＝－，则第n行从左至右的第3个数为－＋3.
3习题课(2)
课时目标
1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式；
2．掌握数列求和的几种基本方法．
1．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
2．等比数列前n项和公式：
(1)当q＝1时，Sn＝na1；
(2)当q≠1时，Sn＝＝.
3．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝.
4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：
(1)＝－；
(2)＝(－)；
(3)＝－.
一、选择题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )
A．1
B.
C.
D.
2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为( )
A．11
B．99
C．120
D．121
3．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
A.(n2＋n＋2)－
B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－
D.n(n＋1)＋2(1－)
4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是( )
A．n(n＋2)
B.n(n＋4)
C.n(n＋5)
D.n(n＋7)
5．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
6．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于( )
A．2n－1
B．2n－1－1
C．2n＋1
D．4n－1
二、填空题
7．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．
8．在数列{an}中，an＋1＝，对所有正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.
9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．
10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn
(n≥1)，则an＝____________.
.
三、解答题
11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N
)，求数列{bn}的前n项和Tn.
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
能力提升
13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
A．2＋ln
n
B．2＋(n－1)ln
n
C．2＋nln
n
D．1＋n＋ln
n
14．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，求{an}的通项公式．
1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．
2．求数列前n项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．
答案
一、选择题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )
A．1
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵an＝＝－，
∴S5＝(1－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－＝.
2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为( )
A．11
B．99
C．120
D．121
答案 C
解析 ∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
3．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
A.(n2＋n＋2)－
B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－
D.n(n＋1)＋2(1－)
答案 A
解析 1＋2＋3＋…＋(n＋)
＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)
＝＋
＝(n2＋n)＋1－
＝(n2＋n＋2)－.
4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是( )
A．n(n＋2)
B.n(n＋4)
C.n(n＋5)
D.n(n＋7)
答案 C
解析 a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.
∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝.
5．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
答案 B
解析 S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，
S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，
S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，
所以S17＋S33＋S50＝1.
6．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于( )
A．2n－1
B．2n－1－1
C．2n＋1
D．4n－1
答案 A
解析 由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，
那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.
二、填空题
7．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．
答案 －6
8．在数列{an}中，an＋1＝，对所有正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.
答案
解析 ∵an＋1＝，∴＝＋.
∴是等差数列且公差d＝.
∴＝＋(n－1)×＝＋＝，
∴an＝.
9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．
答案 1
473
解析 100内所有能被3整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝＝1
683.
100内所有能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.
∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为
S1－S2＝1
683－210＝1
473.
10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn
(n≥1)，则an＝____________.
答案
解析 an＋1＝Sn，an＋2＝Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝(Sn＋1－Sn)＝an＋1，
∴an＋2＝an＋1
(n≥1)．
∵a2＝S1＝，∴an＝.
三、解答题
11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N
)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以
解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝·
＝·，
所以Tn＝·(1－＋－＋…＋－)
＝·(1－)＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
能力提升
13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
A．2＋ln
n
B．2＋(n－1)ln
n
C．2＋nln
n
D．1＋n＋ln
n
答案 A
解析 ∵an＋1＝an＋ln，
∴an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－ln
n.
又a1＝2，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln
2－ln
1＋ln
3－ln
2＋ln
4－ln
3＋…＋ln
n－ln(n－1)]＝2＋ln
n－ln
1＝2＋ln
n.
14．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，求{an}的通项公式．
解 当n＝1时，a1＝S1，所以a1＝(a1＋1)2，
解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝(a－a＋2an－2an－1)，
∴a－a－2(an＋an－1)＝0，
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1－2＝0.
∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
3§2.2 等差数列(二)
课时目标
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式．
2．熟练运用等差数列的常用性质．
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．已知在公差为d的等差数列{an}中的第m项am和第n项an(m≠n)，则＝d.
3．对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等差数列{an}中，am＋an与
ap＋aq之间的关系为am＋an＝ap＋aq.
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A.
B．±
C．－
D．－
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12
B．8
C．6
D．4
4．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14
B．21
C．28
D．35
5．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182
B．－78
C．－148
D．－82
6．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q
B．0
C．－(p＋q)
D.
二、填空题
7．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
9．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝______.
10．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则
|m－n|＝________.
三、解答题
11．等差数列{an}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．
12．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
能力提升
13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )
A．18
B．9
C．12
D．15
14．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，{bn}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？
1．在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N
)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
答案
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
答案 C
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)
＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A.
B．±
C．－
D．－
答案 D
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan
＝tan＝－.
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12
B．8
C．6
D．4
答案 B
解析 由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，
∴m＝8.
4．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14
B．21
C．28
D．35
答案 C
解析 ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，
∴a4＝4.∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.
5．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182
B．－78
C．－148
D．－82
答案 D
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
6．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q
B．0
C．－(p＋q)
D.
答案 B
解析 ∵d＝＝＝－1，
∴ap＋q＝ap＋qd＝q＋q×(－1)＝0.
二、填空题
7．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
答案 24
解析 ∵a60＝a15＋45d，∴d＝，
∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
答案 1
解析 ∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.
∴a2＋a4＋a6＝3a4＝99.
∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
9．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝______.
答案
解析 －＝－＝2d，即d＝.
所以＝＋4d＝＋＝，所以a10＝.
10．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则
|m－n|＝________.
答案
解析 由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.
则＋＝2，∴d＝，∴这4个根依次为，，，，
∴n＝×＝，
m＝×＝或n＝，m＝，
∴|m－n|＝.
三、解答题
11．等差数列{an}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．
解 设an＝a1＋(n－1)d，
则a4a9－a6a7＝(a1＋3d)(a1＋8d)－(a1＋5d)(a1＋6d)
＝(a＋11a1d＋24d2)－(a＋11a1d＋30d2)
＝－6d2<0，所以a4a912．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
解 ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
能力提升
13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )
A．18
B．9
C．12
D．15
答案 D
解析 设这7个数分别为a1，a2，…，a7，
公差为d，则27＝3＋8d，d＝3.
故a4＝3＋4×3＝15.
14．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，{bn}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？
解 在数列{an}中，a1＝5，公差d1＝8－5＝3.
∴an＝a1＋(n－1)d1＝3n＋2.
在数列{bn}中，b1＝3，公差d2＝7－3＝4，
∴bn＝b1＋(n－1)d2＝4n－1.
令an＝bm，则3n＋2＝4m－1，∴n＝－1.
∵m、n∈N
，∴m＝3k(k∈N
)，
又，解得0∴0<3k≤75，∴0∴k＝1,2,3，…，25
∴两个数列共有25个公共项．§2.5 等比数列的前n项和(二)
课时目标
1．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．
2．能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝＝；当q＝1时，Sn＝na1.
2．等比数列前n项和的性质：
(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数)
(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．
(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝q.
3．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．
一、选择题
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )
A．33
B．72
C．84
D．189
2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )
A．1.14a
B．1.15a
C．10a(1.15－1)
D．11a(1.15－1)
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( )
A.或5
B.或5
C.
D.
4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A．300米
B．299米
C．199米
D．166米
5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于( )
A．90
B．70
C．40
D．30
6．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A.万元
B.万元
C.万元
D.万元
二、填空题
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
8．在等比数列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝
________________________________________________________________________.
9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．
10．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．
三、解答题
11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)
参考数据：0.910≈0.35.
12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg
657＝2.82，lg
2＝0.30，lg
3＝0.48)
能力提升
13．有纯酒精a
L(a>1)，从中取出1
L，再用水加满，然后再取出1
L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.
14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．
2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．
答案
一、选择题
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )
A．33
B．72
C．84
D．189
答案 C
解析 由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.
2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )
A．1.14a
B．1.15a
C．10a(1.15－1)
D．11a(1.15－1)
答案 D
解析 注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( )
A.或5
B.或5
C.
D.
答案 C
解析 若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，
则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得9×＝，
解得q＝2.
故an＝a1qn－1＝2n－1，
＝()n－1.
所以数列{}是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为
S5＝＝.
4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A．300米
B．299米
C．199米
D．166米
答案 A
解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．
5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于( )
A．90
B．70
C．40
D．30
答案 C
解析 q≠1
(否则S30＝3S10)，
由，∴，
∴，∴q20＋q10－12＝0.
∴q10＝3，∴S20＝＝S10(1＋q10)
＝10×(1＋3)＝40.
6．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A.万元
B.万元
C.万元
D.万元
答案 B
解析 设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，
∴x＝.
二、填空题
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
答案
解析 由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．
∴a2＝3a3，
∴{an}的公比q＝＝.
8．在等比数列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝
________________________________________________________________________.
答案 63
解析 方法一 ∵S8≠2S4，∴q≠1，
由已知得
由②÷①得
1＋q4＝，∴q4＝ ③
将③代入①得＝64，
∴S12＝＝64(1－)＝63.
方法二 因为{an}为等比数列，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以S3n＝＋S2n，
所以S12＝＋S8＝＋60＝63.
9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．
答案 729
解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝3，q＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝36＝729(只)．
10．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．
答案 (1＋q)12－1
解析 设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂第一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.
则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，
第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，
∴该厂生产总值的平均增长率为＝－1＝(1＋q)12－1.
三、解答题
11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)
参考数据：0.910≈0.35.
解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1
(n≥1)．
(2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，
即a≤，∴a≤12.3.
故2010年最多出口12.3吨．
12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg
657＝2.82，lg
2＝0.30，lg
3＝0.48)
解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7＝a1·q6＝128×1.56＝1
458(辆)．
(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
依据题意，得>，
于是Sn＝>5
000(辆)，即1.5n>.
两边取常用对数，则n·lg
1.5>lg
，
即n>≈7.3，又n∈N＋，因此n≥8.
所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
能力提升
13．有纯酒精a
L(a>1)，从中取出1
L，再用水加满，然后再取出1
L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.
答案 8
解析 用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为＝1－，a2＝1－，加水后浓度为＝2，a3＝2，
依次类推：a9＝8，a10＝9.
∴8＋9＝8.
14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为
1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.63(万元)，
到期时银行贷款的本息为
10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为
42．63－25.94≈16.7(万元)．
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，
1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)
＝
＝32.50(万元)，
而贷款本利和为
1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]
＝1.1×
≈17.53(万元)．
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为
32．50－17.53≈15.0(万元)，
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．§2.3 等差数列的前n项和(二)
课时目标
1．熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用．
2．掌握等差数列前n项和的最值问题．
3．理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
1．前n项和Sn与an之间的关系
对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝
2．等差数列前n项和公式
Sn＝＝na1＋d.
3．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
一个有用的结论：
若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于( )
A．n
B．n2
C．2n＋1
D．2n－1
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2
B．－1
C．0
D．1
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5A．9
B．8
C．7
D．6
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1
B．－1
C．2
D.
6．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
二、填空题
7．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n，(n∈N
)，则通项an＝________.
8．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和Sn的最大值是________．
9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.
10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是________．
三、解答题
11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
12．已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
能力提升
13．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2
(n∈N
)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( )
A．Sn>na1>nan
B．Sn>nan>na1
C．na1>Sn>nan
D．nan>Sn>na1
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
．
1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N
都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
2．求等差数列前n项和的最值
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N
，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．
答案
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于( )
A．n
B．n2
C．2n＋1
D．2n－1
答案 D
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2
B．－1
C．0
D．1
答案 B
解析 等差数列前n项和Sn的形式为：Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5A．9
B．8
C．7
D．6
答案 B
解析 由an＝，∴an＝2n－10.
由5<2k－10<8，得7.54．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 方法一 ＝＝?a1＝2d，
＝＝＝.
方法二 由＝，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3?S9＝6S3，
S12－S9＝S3＋3S3＝4S3?S12＝10S3，所以＝.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1
B．－1
C．2
D.
答案 A
解析 由等差数列的性质，＝＝＝，
∴＝＝×＝1.
6．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
答案 C
解析 由S50.又S6＝S7?a7＝0，所以d<0.
由S7>S8?a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9
＝2(a7＋a8)<0即S9二、填空题
7．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n，(n∈N
)，则通项an＝________.
答案 2n－2
8．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和Sn的最大值是________．
答案 169
解析 方法一 利用前n项和公式和二次函数性质．
由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，
所以Sn＝25n＋(n－1)×(－2)
＝－(n－13)2＋169，
由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 先求出d＝－2，因为a1＝25>0，
由 得
所以当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，
又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，
故当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.
答案 10
解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得
(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.
由Sn＝＝＝155，得n＝10.
10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是________．
答案 10或11
解析 方法一 由S9＝S12，得d＝－a1，由，得
，
解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，
∴该数列前10项或前11项的和最小．
方法二 由S9＝S12，得d＝－a1，
由Sn＝na1＋d＝n2＋n，
得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1
(a1<0)，
由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．
但n∈N
，故n＝10或11时Sn取得最小值．
三、解答题
11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
可解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
12．已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解 由S2＝16，S4＝24，得
即 解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n
(n∈N
)．
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝
能力提升
13．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2
(n∈N
)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( )
A．Sn>na1>nan
B．Sn>nan>na1
C．na1>Sn>nan
D．nan>Sn>na1
答案 C
解析 方法一 由an＝，
解得an＝5－4n.
∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，
∴nan＝5n－4n2，
∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0.
Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0.
∴na1>Sn>nan.
方法二 ∵an＝5－4n，
∴当n＝2时，Sn＝－2，
na1＝2，nan＝－6，
∴na1>Sn>nan.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解 (1)根据题意，有： 整理得：
解之得：－(2)∵d<0，
而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.
又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，
∴a6>0.
∴数列{an}的前6项和S6最大．§2.4 等比数列(一)
课时目标
1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．
2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．
3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1.
3．等比中项的定义
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±.
一、选择题
1．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16
B．27
C．36
D．81
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64
B．81
C．128
D．243
3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A．1＋
B．1－
C．3＋2
D．3－2
4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )
A.
B.
C.
D.
6．若正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于( )
A.
B.
C.
D．不确定
二、填空题
7．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
8．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则
a6＋a7＝________.
9．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.
10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
三、解答题
11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)
(n∈N
)．
(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．
能力提升
13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式．
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q
(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2
(n∈N
)．
2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1共涉及an，a1，q，n四个量．已知其中三个量可求得第四个．
答案
一、选择题
1．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16
B．27
C．36
D．81
答案 B
解析 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64
B．81
C．128
D．243
答案 A
解析 ∵{an}为等比数列，
∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.
3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A．1＋
B．1－
C．3＋2
D．3－2
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，
∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
答案 B
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．
∴ac＝b2＝9.
5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，
解得x＝25，
∴这三个数45,75,125，公比q为＝.
6．若正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于( )
A.
B.
C.
D．不确定
答案 A
解析 a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，
∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q－1)＝0
(q≠1)，
∴q2－q－1＝0，∴q＝
(q＝<0舍)
∴＝＝.
二、填空题
7．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
答案 4·()n－1
解析 由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
得a＝5，则a1＝4，q＝＝，
∴an＝4·()n－1.
8．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则
a6＋a7＝________.
答案 18
解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(＋)×32＝18.
9．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.
答案 5
解析 设公比为q，
则??q2＝4，
得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.
10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
答案
解析 设三边为a，aq，aq2
(q>1)，
则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.
较小锐角记为θ，则sin
θ＝＝.
三、解答题
11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
解 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.
解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，
∴an＝18×n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，
∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；
当q＝3时，an＝2×3n－3.
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)
(n∈N
)．
(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．
(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
能力提升
13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
答案 －9
解析 由题意知等比数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，
四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q＝－，∴6q＝－9.
14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式．
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2.
∴{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列．
公比为2，首项a1＋1＝2.
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.§2.4 等比数列(二)
课时目标
1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式．
2．掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．
1．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al，特别地，当m＋n＝2k时，am·an＝a.
2．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N
)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
3．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3
B．2
C．1
D．－2
3．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则＋＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
4．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．5
B．7
C．6
D．4
5．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为( )
A.
B.
C．2
D．3
6．在正项等比数列{an}中，an＋1A.
B.
C.
D.
二、填空题
7．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.
8．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是________．
三、解答题
11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
12．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
能力提升
13．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于( )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
14．等比数列{an}同时满足下列三个条件：
①a1＋a6＝11 ②a3·a4＝ ③三个数a2，a，a4＋依次成等差数列，试求数列{an}的通项公式．
1．等比数列的基本量是a1和q，依据题目条件建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其它问题．
2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an，an＋1，an＋2，使a≠an·an＋2.
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
答案
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
答案 C
解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.
∵am＝a1qm－1＝qm－1，
∴m－1＝10，∴m＝11.
2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3
B．2
C．1
D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
3．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则＋＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
答案 C
解析 设等比数列公比为q.
由题意知：m＝，n＝，
则＋＝＋＝＋＝2.
4．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．5
B．7
C．6
D．4
答案 A
解析 ∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝.
∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝.
∴a＝a2a8＝＝50，
又∵数列{an}各项为正数，
∴a5＝50.
∴a4a5a6＝a＝50＝5.
5．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为( )
A.
B.
C．2
D．3
答案 A
解析 ∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3，得a5＝3.
∵a1a9＝a2a8＝a，
∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)
＝log3a＝log33＝.
6．在正项等比数列{an}中，an＋1A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1由a2·a8＝6，得a＝6.
∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝()2＝.
二、填空题
7．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.
答案 4
解析 由题意知，q4＝＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.
8．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
答案 －6
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，
解得a1＝－8，∴a2＝－6.
9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
答案 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，
则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是________．
答案
解析 ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，
则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2<0.
∴b2＝－2，∴＝＝.
三、解答题
11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
解 设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，
则由题意得，
解得或.
故所求的四个数为3,6,12,18或，，，.
12．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明 设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，p≠q，cn＝an＋bn.
要证{cn}不是等比数列，只需证c≠c1·c3成立即可．
事实上，c＝(a1p＋b1q)2＝ap2＋bq2＋2a1b1pq，
c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)
＝ap2＋bq2＋a1b1(p2＋q2)．
由于c1c3－c＝a1b1(p－q)2≠0，因此c≠c1·c3，故{cn}不是等比数列．
能力提升
13．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于( )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
答案 D
解析 依题意有
①代入③求得b＝2.
从而?a2＋2a－8＝0，
解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，c＝2，即a＝b＝c与已知不符，
∴a＝－4.
14．等比数列{an}同时满足下列三个条件：
①a1＋a6＝11 ②a3·a4＝ ③三个数a2，a，a4＋依次成等差数列，试求数列{an}的通项公式．
解 由等比数列的性质知a1a6＝a3a4＝
∴解得求
当时q＝2
∴an＝·2n－1
a2＋a4＋＝，2a＝
∴a2，a，a4＋成等差数列，
∴an＝·2n－1
当时q＝，an＝·26－n
a2＋a4＋≠2a，
∴不符合题意，
∴通项公式an＝·2n－1.
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