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25.2用列举法概率（重点练）
1．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（?）
A．
B．
C．
D．
2．袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为(
)
A．
B．
C．
D．
3．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是___________．
4．在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别为O（0，0），B（1，1）A（x，y）（均为整数），则所作△OAB为直角三角形的概率是
．
5．九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：
编号
一
二
三
四
五
人数
15
20
10
已知前面两个小组的人数之比是．
解答下列问题：
（1）
．
（2）补全条形统计图：
（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率．（用树状图或列表把所有可能都列出来）
6．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.230
0.210
0.300
0.260
0.254
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数；
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
7．如图，三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色小强和小亮用转盘和转盘做一个转盘游戏：同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则小强获胜；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮获胜；在其他情况下，小强和小亮不分胜负.
（1）用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
（2）小强说，此游戏不公平请你说明理由；
（3）请你在转盘的空白处，涂上适当颜色，使得用转盘替换转盘后，使游戏对小强和小亮是公平的（在空白处填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种结果即可）.
8．小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，同时随机转动两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由.
9．某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，每次转盘停止后指针所指扇形内的数字为每次所得的数字（指针指在分界线时重转），当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为7时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时，返现金10元某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少?
10．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放人一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据.
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
（1）补全表中的有关数据，根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是_______.
（2）估算袋中白球的个数为________.
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率_________
11．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
(1)求摸出1个球是白球的概率；
(2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；
(3)现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．
12．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注
数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回
袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．
（1）写出点M坐标的所有可能的结果；
（2）求点M在直线y＝x上的概率；
（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．
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25.2用列举法概率（重点练）
1．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（?）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小亮选到同一社区参加实践活动的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：.
故选A.
【点评】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于画出树状图.
2．袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所成的两位数是3的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是3的倍数的结果数为5，
所以成的两位数是3的倍数的概率是
；
故选B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，熟练掌握是解题的关键.
3．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是___________．
【答案】
【解析】【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】
解：列表得：
（1，5）
（2，5）
（3，5）
?（4，5）
-
?（1，4）
?（2，4）
?（3，4）
-
?（5，4）
?（1，3）
?（2，3）
-
?（4，3）
?（5，3）
?（1，2）
-
?（3，2）
?（4，2）
?（5，2）
-
?（2，1）
?（3，1）
?（4，1）
?（5，1）
∴一共有20种情况，这两个球上的数字之和为偶数的8种情况，
∴这两个球上的数字之和为偶数的概率是．
【点评】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别为O（0，0），B（1，1）A（x，y）（均为整数），则所作△OAB为直角三角形的概率是
．
【答案】．
【解析】如图，满足均为整数的点A（x，y）共有25个，
由勾股定理和逆定理，可知有8点能使△OAB为直角三角形（图中黑点）．
∴所作△OAB为直角三角形的概率是．
5．九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：
编号
一
二
三
四
五
人数
15
20
10
已知前面两个小组的人数之比是．
解答下列问题：
（1）
．
（2）补全条形统计图：
（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率．（用树状图或列表把所有可能都列出来）
【答案】（1）5；（2）补全条形统计图见解析；（3）这两名同学是同一组的概率为．
【解析】【分析】(1)用全班人数减去二、三、四组的人数即可得；
(2)根据第三组数据补全条形图即可；
(3)先求出a、b的值，然后画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，利用概率公式求解即可.
【详解】
(1)由题意知，
故答案为：5；
(2)补全图形如下：
(3)∵a：15=1：5，
∴，
∴=2，
即第一组有3名同学，第五组有2名同学，
设第一组3位同学分别为，设第五组2位同学分别为，
由上图可知，一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：．
【点评】本题考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．
6．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.230
0.210
0.300
0.260
0.254
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数；
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
【答案】（1）0.251，从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；（2）估计袋中有3个白球；（3）见解析，两次摸到的球都是白球的概率为．
【解析】【分析】本题主要考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
（1）直接利用频数÷总数=频率求出答案；
（2）设袋子中白球有x个，利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程，解之得出答案；
（3）首先根据题意画出表格或树状图，然后由表格或树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）0.251．
∵大量重复摸球试验后发现，摸到黑球的频率逐渐稳定到0.251附近，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.251．
（2）设袋中白球有个，
则，解得．
∴估计袋中有3个白球．
（3）用代表一个黑球，代表白球，将摸球情况列表如下：
第二次
第一次
总共有16种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有9种，
∴两次摸到的球都是白球的概率为．
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，频率求法以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
7．如图，三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色小强和小亮用转盘和转盘做一个转盘游戏：同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则小强获胜；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮获胜；在其他情况下，小强和小亮不分胜负.
（1）用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
（2）小强说，此游戏不公平请你说明理由；
（3）请你在转盘的空白处，涂上适当颜色，使得用转盘替换转盘后，使游戏对小强和小亮是公平的（在空白处填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种结果即可）.
【答案】（1）见解析；（2）此游戏不公平；（3）游戏对小强和小亮是公平的.
【解析】【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由列表法即可求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中的列表法，即可求得配成紫色与两个转盘转出的颜色相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得小强获胜与小亮获胜的概率，比较大小，即可求得此游戏不公平；
（3）使得小强获胜与小亮获胜的概率相等即可．
【详解】
（1）列表如下：
红
蓝
白
蓝
黄
红
（红，红）
（红，蓝）
（红，白）
（红，蓝）
（红，黄）
蓝
（蓝，红）
（蓝，蓝）
（蓝，白）
（蓝，蓝）
（蓝，黄）
黄
（黄，红）
（黄，蓝）
（黄，白）
（黄，蓝）
（黄，黄）
（2）由（1）中表格可知，共有15种等可能的结果，能酿成紫色的结果有3种，两个转盘转出的颜色相同的结果有4种，
（小强获胜），（小亮获胜）.
（小强获胜），（小亮获胜）.
此游戏不公平.
（3）如图，此时（小强获胜）（小亮获胜），
则游戏对小强和小亮是公平的.（答案不唯一，正确即可）
转盘C
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
8．小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，同时随机转动两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由.
【答案】不公平.理由见解析
【解析】【分析】将A盘中蓝色划分为两部分，将B盘中红色也划分为两部分，画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求出两人获胜的概率即可判断．
【详解】
解：不公平.理由如下：
将A盘中蓝色部分记为蓝a、蓝b，B盘中红色部分记为红1、红2，
画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有5种，
∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为.
，
∴这个游戏对双方不公平.
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，每次转盘停止后指针所指扇形内的数字为每次所得的数字（指针指在分界线时重转），当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为7时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时，返现金10元某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少?
【答案】
【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；求得某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能的结果，能获得返还现金的结果有6种，所以该顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率：.
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放人一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据.
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
（1）补全表中的有关数据，根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是_______.
（2）估算袋中白球的个数为________.
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率_________
【答案】（1）0.25；（2）3；（3）.
【解析】【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）列用概率公式列出方程求解即可；
（3）用画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【详解】
（1）补全表格如下：
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
0.26
0.25
0.25
（1）0.25
根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是0.25，故答案填0.25.
（2）3
设口袋中白球有个，根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是0.25，可得，解得，经检验，是原分式方程的解，
所以估算袋中白球的个数为3.
（3）画树状图如下：
开始
第一次
黑
白
白
白
第二次
黑
白
白
白
黑
白
白
白
黑
白
白
白
黑
白
白
白
由树状图可知，共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种结果，
所以两次都摸出白球的概率为.
【点评】此题考查列表法与树状图法，利用频率估计概率，解题关键在于利用画树状图将所有可能列举出来.
11．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
(1)求摸出1个球是白球的概率；
(2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；
(3)现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）经检验，n＝4是所列方程的根，且符合题意．
【解析】【分析】（1）由一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，根据概率公式直接求解即可求得答案；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；
（3）根据概率公式列方程，解方程即可求得n的值．
【详解】
(1)∵一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，
∴摸出1个球是白球的概率为；
(2)画树状图、列表得：
∴一共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；
(3)由题意得：=，
解得：n=4.
经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，
∴n=4.
【点评】本题考查列表法与树状图法、分式方程的应用，解题的关键是掌握列表法与树状图法、分式方程的应用.
12．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注
数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回
袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．
（1）写出点M坐标的所有可能的结果；
（2）求点M在直线y＝x上的概率；
（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．
【答案】（1）(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)；（2）；（3）．
【解析】【分析】【详解】
（1）列表得：
1
2
3
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
∴点M坐标的所有可能的结果有九个：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)．
（2）P（点M在直线y＝x上）＝P（点M的横、纵坐标相等）＝＝．
（3）列表如下：
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
∴P（点M的横坐标与纵坐标之和是偶数）＝．
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