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25.3用频率估计概率（重点练）
1．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（?）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小亮选到同一社区参加实践活动的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：.
故选A.
【点评】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于画出树状图.
2．“学习强国”的英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是（
）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】【分析】直接利用频率的定义分析得出答案．
【详解】
∵“学习强国”的英语“Learningpower”中，一共有13个字母，n有2个，
∴字母“n”出现的频率是：
故选：C．
【点评】此题主要考查了频率的求法，正确把握定义是解题关键．
3．做“用频率估计概率”的试验时，根据某一结果出现的频率绘制成统计图（如图所示），则该试验最有可能的是（
）
A．在玩“剪刀、石头布”的游戏中，小莉随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，结果向上一面的点数是3
C．某学校初中部三个年级的学生数相同，从中任选一名学生，结果是九年级学生
D．从只有颜色不同且仅有一个红球和两个黄球的袋中任取一球是黄球
【答案】B
【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．
【详解】
A项，在“石头
：剪刀布”的游戏中，小莉随机出的是“剪刀”的概率为，故A项错误；
B项，掷一个质地均匀的正六面体骰子，结果向上一面的点数是3的概率为，故B项试验的概率最符合题中的频率统计图；
C项，某学校初中部三个年级的学生数相同，从中任选一名初中学生，结果是九年级学生的概率为，故C项错误；
D项，从只有颜色不同且仅有一个红球和两个黄球的袋中任取一球是黄球的概率为，故D项错误.
故选B.
【点评】此题考查频数（率）分布折线图，利用频率估计概率，解题关键在于根据图象信息得到概率P≈0.17.
4．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球．
【答案】20.
【解析】【分析】先由频率=频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．
【详解】
解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有个白球，则，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．
5．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是___________．
【答案】
【解析】【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】
解：列表得：
（1，5）
（2，5）
（3，5）
?（4，5）
-
?（1，4）
?（2，4）
?（3，4）
-
?（5，4）
?（1，3）
?（2，3）
-
?（4，3）
?（5，3）
?（1，2）
-
?（3，2）
?（4，2）
?（5，2）
-
?（2，1）
?（3，1）
?（4，1）
?（5，1）
∴一共有20种情况，这两个球上的数字之和为偶数的8种情况，
∴这两个球上的数字之和为偶数的概率是．
【点评】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．三个袋中各装有2个球，其中第一个袋和第二个袋中各有一个红球和一个黄球，第三个袋中有一个黄球和一个黑球，现从三个袋中各摸出一个球，则摸出的三个球中有2个黄球和一个红球的概率为_________．
【答案】
【解析】【分析】画出树状图，然后用符合情况的情况数除以所有可能发生的情况数即可.
【详解】
画出树状图，
由树状图可知共有2×2×2=8种可能，摸出的三个球中有2个黄球和一个红球的情况有2种，所以概率是.
故答案为：.
【点评】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可,即.
7．2019年女排世界杯中，中国女排以11站全胜且只丢3局的成绩成功卫冕本届世界杯冠军.某校七年级为了弘扬女排精神，组建了排球社团，通过测量同学们的身高(单位：cm)，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题.
(1)填空：样本容量为___，a=___；
(2)把频数分布直方图补充完整；
(3)若从该组随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于165cm的概率.
【答案】（1）样本容量为100，a=30;（2）见解析（3）
【解析】【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；
（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）计算出样本中身高低于165cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．
【详解】
解：（1）15÷
=100，
所以样本容量为100；
B组的人数为100-15-35-15-5=30，
所以a%=
×100%=30%，则a=30；
故答案为100，30；
（2）补全频数分布直方图为：
（3）样本中身高低于165cm的人数为15+30+35=80，
样本中身高低于165cm的频率为，
所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于165cm的概率为．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．
8．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.230
0.210
0.300
0.260
0.254
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数；
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
【答案】（1）0.251，从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；（2）估计袋中有3个白球；（3）见解析，两次摸到的球都是白球的概率为．
【解析】【分析】本题主要考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
（1）直接利用频数÷总数=频率求出答案；
（2）设袋子中白球有x个，利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程，解之得出答案；
（3）首先根据题意画出表格或树状图，然后由表格或树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）0.251．
∵大量重复摸球试验后发现，摸到黑球的频率逐渐稳定到0.251附近，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.251．
（2）设袋中白球有个，
则，解得．
∴估计袋中有3个白球．
（3）用代表一个黑球，代表白球，将摸球情况列表如下：
第二次
第一次
总共有16种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有9种，
∴两次摸到的球都是白球的概率为．
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，频率求法以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
9．小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，同时随机转动两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由.
【答案】不公平.理由见解析
【解析】【分析】将A盘中蓝色划分为两部分，将B盘中红色也划分为两部分，画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求出两人获胜的概率即可判断．
【详解】
解：不公平.理由如下：
将A盘中蓝色部分记为蓝a、蓝b，B盘中红色部分记为红1、红2，
画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有5种，
∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为.
，
∴这个游戏对双方不公平.
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，每次转盘停止后指针所指扇形内的数字为每次所得的数字（指针指在分界线时重转），当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为7时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时，返现金10元某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少?
【答案】
【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；求得某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能的结果，能获得返还现金的结果有6种，所以该顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率：.
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放人一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据.
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
（1）补全表中的有关数据，根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是_______.
（2）估算袋中白球的个数为________.
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率_________
【答案】（1）0.25；（2）3；（3）.
【解析】【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）列用概率公式列出方程求解即可；
（3）用画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【详解】
（1）补全表格如下：
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
0.26
0.25
0.25
（1）0.25
根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是0.25，故答案填0.25.
（2）3
设口袋中白球有个，根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是0.25，可得，解得，经检验，是原分式方程的解，
所以估算袋中白球的个数为3.
（3）画树状图如下：
开始
第一次
黑
白
白
白
第二次
黑
白
白
白
黑
白
白
白
黑
白
白
白
黑
白
白
白
由树状图可知，共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种结果，
所以两次都摸出白球的概率为.
【点评】此题考查列表法与树状图法，利用频率估计概率，解题关键在于利用画树状图将所有可能列举出来.
12．小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下：
掷石子次数石子落在的区域ABC
50次
150次
300次
石子落在圆内（含圆上）的次数m
14
43
93
石子落在阴影内的次数n
19
85
186
（1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值．
（2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积．
【答案】（1）；（2）3π．
【解析】【分析】（1）根据次数越多，频率越稳定，用300次时石子落在圆内（含圆上）的次数
石子落在阴影内的次数即可得答案.（2）根据石子落在圆内和石子落在阴影内的次数的关系求出圆的面积约占封闭图形ABC面积的比例即可求出封闭图形ABC的大致面积.
【详解】
（1）根据统计表，可得石子落在圆内的概率与落在阴影部分的概率之比k==；
（2）石子落在圆内和石子落在阴影内的次数关系，随着试验次数的增多，逐渐趋向于为1：2，
所以圆的面积约占封闭图形ABC面积的，
因为S圆=π，
所以封闭图形ABC的面积约为3π．
【点评】本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，关键是得到阴影与圆的比；用规则图形来估计不规则图形的比是常用的方法．
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25.3用频率估计概率（重点练）
1．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（?）
A．
B．
C．
D．
2．“学习强国”的英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是（
）
A．1
B．
C．
D．2
3．做“用频率估计概率”的试验时，根据某一结果出现的频率绘制成统计图（如图所示），则该试验最有可能的是（
）
A．在玩“剪刀、石头布”的游戏中，小莉随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，结果向上一面的点数是3
C．某学校初中部三个年级的学生数相同，从中任选一名学生，结果是九年级学生
D．从只有颜色不同且仅有一个红球和两个黄球的袋中任取一球是黄球
4．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球．
5．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是___________．
6．三个袋中各装有2个球，其中第一个袋和第二个袋中各有一个红球和一个黄球，第三个袋中有一个黄球和一个黑球，现从三个袋中各摸出一个球，则摸出的三个球中有2个黄球和一个红球的概率为_________．
7．2019年女排世界杯中，中国女排以11站全胜且只丢3局的成绩成功卫冕本届世界杯冠军.某校七年级为了弘扬女排精神，组建了排球社团，通过测量同学们的身高(单位：cm)，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题.
(1)填空：样本容量为___，a=___；
(2)把频数分布直方图补充完整；
(3)若从该组随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于165cm的概率.
8．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.230
0.210
0.300
0.260
0.254
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数；
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
9．小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，同时随机转动两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由.
10．某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，每次转盘停止后指针所指扇形内的数字为每次所得的数字（指针指在分界线时重转），当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为7时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时，返现金10元某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少?
11．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放人一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据.
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
（1）补全表中的有关数据，根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是_______.
（2）估算袋中白球的个数为________.
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率_________
12．小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下：
掷石子次数石子落在的区域ABC
50次
150次
300次
石子落在圆内（含圆上）的次数m
14
43
93
石子落在阴影内的次数n
19
85
186
（1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值．
（2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积．
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